Un desafío por semana

Septiembre 2017, segundo desafío

El 8 septiembre 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 8 septiembre 2017
Artículo original : Septembre 2017, 2e défi Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 36 :

¿Cuántos números formados por diez dígitos distintos $abcdefghij$ cumplen $a+j=b+i=c+h=d+g=e+f=9$ ?

Solución del primer desafío de septiembre:

Enunciado

La respuesta es $\frac{5}{18}$.

Para que la penúltima bola tenga el número $8$, es necesario que la bola número $9$ o la número $10$ estén entre las que sacamos de la caja, pero no pueden estar ambas, pues de lo contrario la bola $8$ no será la penúltima. Vamos a calcular la probabilidad de que las bolas $8$ y $9$ estén en el conjunto de las $5$ bolas extraídas sin que lo esté la bola número $10$. Supongamos que ya elegimos las bolas $8$ y $9$, nos quedan entonces $8$ bolas en la caja. Nos falta sacar tres otras bolas de la caja y contar de cuántas maneras es posible sacar estas tres sin sacar la número $10$. Haciendo un cálculo de combinatoria obtenemos: $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=35$ conjuntos de tres bolas que no contienen el número $10$, es decir, $35$ conjuntos de cinco bolas con contienen el número $8$ y número $9$ pero no el número $10$. Del mismo modo, existen $35$ conjuntos de cinco bolas que contienen el número $8$ y el número $10$ pero no el número $9$. Por lo tanto, la probabilidad que estamos buscando es:

$\frac{2\times35}{\binom{10}{5}}=\frac{70}{\frac{10!}{5!5!}}=\frac{70\times5\times 4\times3\times2}{10\times9\times8\times7\times6}=\frac{5}{18}.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

— «Septiembre 2017, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.