Un desafío por semana

Septiembre 2019, cuarto desafío

Le 27 septembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 27 septembre 2019
Article original : Septembre 2019, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 39

Construimos la secuencia de números $X_n$ de la siguiente manera : $X_1 = 19$, $X_2 = 95$ y
\[ X_{n+2} = \bigl[X_{n+1}, X_n\bigr]+X_n, \]
donde $[a,b]$ denota el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.

Encuentra el máximo común divisor de $X_{2018}$ y $X_{2019}$.

Solución del tercer desafío de septiembre :

Enunciado

La solución es $99$.

Escribamos el número inicial $n$ de dos dígitos como $n = 10t + u$, siendo $t$ y $u$ sus dígitos, y distingamos dos casos :

  • Si $u\neq 9$, el número obtenido al sumarle $1$ y voltear sus dígitos es $10(u+1) + t$. Observa que $10(u+1) + t\neq 10t + u$, porque si no, tendríamos que $u = t = u+1$, lo cual no es posible. Entonces, para que $10(u+1) + t$ divida $n$, forzosamente tiene que ser menor o igual a $n/2$, es decir, $2[(u+1)\times 10 + t]\leqslant t\times 10 + u$, de donde se deduce que el dígito de las decenas del número obtenido es $2(u+1)\leqslant t$.
    • Si $u = 0$, tenemos que $t\geqslant 2$ y $n = 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80$ o $90$ ;
    • si $u = 1$, entonces $t\geqslant 4$ y $n = 41, 51, 61, 71$, $81$ o $91$ ;
    • si $u = 2$, entonces $t\geqslant 6$ y $n = 62, 72, 82$ o $92$ ;
    • si $u = 3$, entonces $t\geqslant 8$ y $n = 83$ o $93$ ;
    • si $u\geqslant 4$, entonces $t\geqslant 10$, lo cual es imposible.

Uno a uno verificamos que ninguno de los números arriba listados nos conviene, así que $u$ solo puede ser igual a $9$.

  • Si $u = 9$, entonces $n = 10t + 9$, y como además $t < 9$, tenemos que $n+1 = (t+1)\times 10$. En este caso, volteando las cifras de $n + 1$ obtenemos $t + 1$, que no divide $n = 10(t+1) - 1$, luego $t$ tiene que ser $9$ igualmente y así $n = 99$ ; el divisor que buscábamos es $001$, o bien, $1$.
Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

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