Un desafío por semana

Septiembre 2021, cuarto desafío

El 24 septiembre 2021  - Escrito por  Ana Rechtman
El 24 septiembre 2021
Artículo original : Septembre 2021, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 38

Tres pilas tienen $11, 7$ y $6$ piezas. Un juego consiste en desplazar las piezas de una de estas pilas a otra de modo que a cada movimiento una pila duplique el número de sus piezas y solo otra lo disminuya.

¿Cuál es el número mínimo de movimientos que hay que hacer para obtener tres pilas iguales?

Solución del tercer desafío de septiembre:

Enunciado

Observemos primero que esto se puede para la gráfica $2$: basta con partir de $A$, recorrer todo el contorno exterior de la gráfica para regresar a $A$, y luego cubrir las dos diagonales para llegar a $B$.

Ahora mostremos que es imposible para las gráficas $1$ y $3$. Esto se debe al hecho de que debe haber necesariamente un número impar de aristas que partan del vértice $B$.

En efecto, cuando se recorre la gráfica, cada vez que pasamos por $B$ sin detenernos, cubrimos exactamente dos aristas partiendo de $B$; como debemos acabar en $B$, esto añade una arista suplementaria, lo cual nos da un número impar de aristas partiendo de $B$. Ahora bien, para las gráficas $1$ y $3$, hay respectivamente dos y cuatro aristas saliendo de $B$, lo cual vuelve imposible el recorrido.

Observación: usando el mismo razonamiento mostramos fácilmente que una condición necesaria para recorrer una gráfica arrancando de $A$ y llegando a $B$ sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por la misma arista es que de los vértices $A$ y $B$ emane un número impar de aristas y que de cada uno de los demás vértices salga un número par. Un conocido teorema de Euler afirma que estas condiciones son suficientes.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Para citar este artículo:

— «Septiembre 2021, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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