Enunciado

Observemos primero que esto se puede para la gráfica $2$ : basta con partir de $A$, recorrer todo el contorno exterior de la gráfica para regresar a $A$, y luego cubrir las dos diagonales para llegar a $B$.

Ahora mostremos que es imposible para las gráficas $1$ y $3$. Esto se debe al hecho de que debe haber necesariamente un número impar de aristas que partan del vértice $B$.

En efecto, cuando se recorre la gráfica, cada vez que pasamos por $B$ sin detenernos, cubrimos exactamente dos aristas partiendo de $B$ ; como debemos acabar en $B$, esto añade una arista suplementaria, lo cual nos da un número impar de aristas partiendo de $B$. Ahora bien, para las gráficas $1$ y $3$, hay respectivamente dos y cuatro aristas saliendo de $B$, lo cual vuelve imposible el recorrido.

Observación : usando el mismo razonamiento mostramos fácilmente que una condición necesaria para recorrer una gráfica arrancando de $A$ y llegando a $B$ sin levantar el lápiz ni pasar dos veces por la misma arista es que de los vértices $A$ y $B$ emane un número impar de aristas y que de cada uno de los demás vértices salga un número par. Un conocido teorema de Euler afirma que estas condiciones son suficientes.