Un desafío por semana

Septiembre 2021, primer desafío

Le 3 septembre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 3 septembre 2021
Article original : Septembre 2021, 1er défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 35

¿Cuántos números de cuatro cifras hay cuyo producto de dígitos vale $1225$ ?

Solución del cuarto desafío de agosto :

Enunciado

Repartamos la sucesión en bloques de enteros consecutivos :

Enteros consecutivos de la sucesión Números dejados de lado
Línea $1$ $1, 2, 3, 4$ $5$
Línea $2$ $6, 7, 8, 9, 10$ $11, 12 $
Línea $3$ $13, 14, 15, 16, 17, 18$ $19, 20, 21$
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$
Línea $997$ $996\, 001, 996\,002, \ldots$ $\cdots$

En la primera línea tenemos cuatro números ; en la segunda, cinco ; en la tercera, seis, etc. En las primeras $996$ líneas, hay :
\[ 4 + 5 + 6 +\dots + 999 =\frac{999\times 1000}{2} - 6 = 499\,494\text{ números.} \]

Entonces el número en la posición $500\,000$ se encuentra en la línea $997$, adonde hay $1000$ enteros consecutivos, y su posición en dicha línea es la $506$.

Contando todos los enteros del cuadro, tanto los de la sucesión como los descartados, podemos hallar el último número de la línea $996$ :
\[ 499\,494 + (1 + 2 + 3 +\cdots + 996) = 499\,494 + 496\,506 = 996\,000. \]

Entonces la línea $997$ comienza con el número $996\, 001$, y el número buscado es $996\,000 + 506 = 996\,506$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

Partager cet article

Pour citer cet article :

— «Septiembre 2021, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?