Enunciado

Escojamos diez números consecutivos en el contorno del círculo y llamémoslos $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ y $j$, con $a$ negro. Entonces tenemos que $b = ac$, o bien, $c = b/a$.

Como $c = b + d$, se sigue que $d = c - b = b(1-a) / a$, y como $d = ce$, tenemos que $e = d/c = 1 - a$. Prosiguiendo con estas substituciones, obtenemos que :
\[ \begin{align*} f &= e-d = \frac{(1-a)(a-b)}{a}, \\ g &= \frac{f}{e} = \frac{a-b}{a}, \\ h &= g-f = a-b, \\ i &= \frac{h}{g} = a, \\ j &= i-h = b. \end{align*} \]

Queda claro que este patrón se repite cada ocho números. Si $S$ es la suma de ocho números consecutivos, entonces :
\[ \begin{align*} S &= a + b +\frac{b}{a} +\frac{b(1-a)}{a} +(1-a) +\frac{(1-a)(a-b)}{a} +\frac{(a-b)}{a} + (a-b) \\ &= a+b+(1-a)+(a-b) +\frac{b + b(1-a) + (1-a)(a-b) + (a-b)}{a} \\ &= 1 + a + 2 - a = 3. \end{align*} \]
Como $1000 = 8\times 125$, la suma de los mil números es $3\times 125 =375$.