Introduction

La dérivée d’un polynôme est encore un polynôme.
Par exemple pour P(x)=x⁴-7x²+3 on trouve P’(x)=4x³-14x.

Comment ça, mon polynôme a des racines ?
Les racines d’un polynôme P, ce sont les nombres complexes z solutions de l’équation P(z)=0. Voici quelques exemples : le polynôme z²-1 a deux racines : 1 et -1. Le polynôme z²+1 a deux racines : i et -i. Le polynôme z³ n’a qu’une racine : 0.

Factorisation totale. Il y a un théorème très utile, appelé LE théorème fondamental de l’algèbre (et parfois théorème de d’Alembert-Gauss), qui dit qu’un polynôme, qu’il soit à coefficients réels ou complexes, a toujours une racine complexe.
Une conséquence [1] est qu’un polynôme de degré m se factorise ainsi : P(z)=A(z-a₁)…(z-a_m) où A et a₁, … , a_m sont des nombres complexes. Il possède donc m racines, certaines pouvant se répéter comme dans P(z) = (z-1)(z-1)(z+2). Une racine qui se répète est appelée racine multiple.

Si P est de degré m, alors P’ est de degré m-1, donc il possède m-1 racines, qui peuvent très bien se répéter.

Y a-t-il une relation entre les racines complexes de P et celles de P’ ?
Si w est une racine multiple de P, alors c’est une racine de P’.
Si le degré de P est égal à deux, alors la racine de P’ est le milieu du segment reliant les deux racines de P (et si P a une racine double, c’est aussi la racine de P’).
Si P est de degré 3, il y a également une caractérisation géométrique des racines de P’, nettement plus élaborée.

Dans le cas général, il n’y a pas de réponse simple, mais on a le joli théorème suivant :

Théorème de Gauss-Lucas, version classique. Pour tout polynôme P (de degré un ou plus), l’enveloppe convexe des racines de P contient les racines de P’.

D’après Wikipedia, ce résultat est utilisé de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich Gauss et prouvé en 1874 par Félix Lucas.

Nous vous avons mijoté un exemple particulier : $P(z)=(z^2+2)(z-4)^2$. Il se factorise ainsi : $P(z) = (z+i\sqrt2)(z-i\sqrt2)(z-4)(z-4)$ et se développe ainsi : $P(z)=z^4-8z^3+18z^2-16z+32$. Sa dérivée $P'(z) = 4z^3-24z^2+36z-16$ se factorise ainsi : $P'(z)=4(z-1)(z-1)(z-4)$. L’enveloppe convexe des racines de $P$ est le triangle de sommets $i\sqrt2$, $-i\sqrt2$, $4$ et les racines de $P'$ sont $1$, $1$ et $4$, qui sont bien dans l’enveloppe convexe, la dernière étant pile sur un sommet.
Dans l’image ci-dessous, nous avons figuré les racines de $P$ comme des arbres et fait appel à des moutons pour celles de $P'$. Le bord de l’enveloppe convexe correspond à la clôture orange (l’épaisseur des arbres nous a obligés à la décaler légèrement).

Dans l’applet ci-dessous, vous pouvez vous amuser à déplacer les racines de P, voir varier leur enveloppe convexe et les racines de P’, et constater que ces dernières restent sagement dans leur enclos. Les racines de P sont les petits carrés rouges, celles de P’ sont les points noirs, et le bord de l’enveloppe convexe est constitué des segments orange.
Essayez également d’ajouter/retirer des racines avec le click droit ou ctrl-click.

Une preuve classique du théorème de Gauss-Lucas

Si on dérive $P(z)=A(z-a_1)\cdots(z-a_m)$, on trouve que
P’ est la somme pour j allant de 1 à m des produits $A(z-a_1)\cdots(z-a_m)$ dont on a retiré le facteur $(z-a_j)$ :
\[P'(z) = \sum_{j=1}^m \frac{P(z)}{z-a_j}\ .\]
Autrement dit
\[\frac{P'(z)}{P(z)}=\frac{1}{z-a_1}+\cdots + \frac{1}{z-a_m}\ .\]
À partir de là il y a plusieurs façons de procéder. Celle que nous présentons a une saveur géométrique et un rapport avec la suite.

Rappelons la méthode pour calculer l’inverse d’un nombre complexe $z$ : si $z=x+iy$, alors son module $|z|$ est $\sqrt{x^2+y^2}$ et son conjugué $\bar z$ est $x-iy$. On a la relation $z\bar z=|z|^2$, ou encore, $\frac1z=\frac{\bar z}{|z|^2}$ si $z$ est non nul.

L’équation citée plus haut se traduit alors ainsi :
\[\frac{P'(z)}{P(z)}= \frac{\overline{z-a_1}}{|z-a_1|^2}+\cdots+\frac{\overline{z-a_m}}{|z-a_m|^2} \ .\]

Pour des raisons pratiques, on passe au conjugué dans l’équation plus haut puis on multiplie par -1. On obtient :
\[-\overline{\, \frac{P'(z)}{P(z)}\,}= \frac{a_1-z}{|z-a_1|^2}+\cdots+\frac{a_m-z}{|z-a_m|^2} \ .\]
Si z est une racine de P’ et pas de P alors P’(z)/P(z) = 0 donc
\[ \frac{a_1-z}{|z-a_1|^2}+\cdots+\frac{a_m-z}{|z-a_m|^2} =0\ .\]

Comme les $ \frac{1}{|z-a_k|^2}$ sont des nombres réels positifs,
chaque terme de cette somme est un vecteur qui pointe dans la direction de z vers l’un des $a$_j. Si z était en dehors de l’enveloppe convexe, tous ces vecteurs seraient non nuls et pointeraient dans un même cône, comme sur l’image ci-dessous. Leur somme ne pourrait pas être nulle, ce qui contredirait l’équation. C’est donc que la racine z de P’ est dans l’enveloppe convexe des racines $a$_j de P.

Astuce ou raison ?

L’astuce de calcul consistant à diviser par P pourra apparaître, selon la personne, comme une étrangeté ou une évidence. Certains, quand ils voient une preuve élémentaire mais basée sur une astuce la jugent insatisfaisante : à quoi bon démontrer sans expliquer ? Le problème c’est que la notion même d’expliquer est très subjective. Untel qui aime les manipulations algébriques la trouvera très ludique. Tel autre tentera d’en donner une version géométrique, éliminant les calculs au maximum. Nous présentons en fin d’article la preuve de Bill Thurston, maître en la matière.

Ci-dessous nous donnons une interprétation géométrique du nombre complexe $-\overline{\,\frac{P'(z)}{P(z)}\,}$ apparaissant dans la preuve précédente. Nous allons considérer notre polynôme P sous un angle différent, c’est-à-dire
comme une application ou une transformation du plan complexe [3].
Pour cela imaginons un premier plan complexe (le plan de départ) comme une feuille de papier calque élastique, puis un deuxième plan complexe (le plan d’arrivée) comme une feuille de papier habituelle. À chaque nombre complexe z dans le plan de départ, on associe le nombre complexe P(z) dans le plan d’arrivée. Le premier est appelé antécédent du second et ce dernier image du premier. On dit aussi que P ’envoie’ z sur P(z).

On peut donc imaginer que P prend le premier plan et tente de le transformer pour couvrir le deuxième plan, de sorte que chaque point z se trouve pile au-dessus du point P(z)
 [4].

Imaginons un motif dans le plan d’arrivée constitué de demi-droites issues de l’origine, que nous appelons des rayons droits. Imprimons ce motif sur le plan élastique de départ déformé par P. Puis décalquons. Cela donne une figure sur le plan de départ,
indiquant les antécédents des rayons droits. L’exemple
ci-dessous illustre le cas d’un certain polynôme de degré 4. Nous obtenons des courbes et quand elles sont parcourues par z alors P(z) se déplace le long d’un rayon droit. Nous les appelons courbes radiales. Notons qu’un nombre fini d’entre elles se brisent, précisément aux racines de P’. Elles sont figurées en bleu sur le dessin. Les autres plongent vers l’une des 4 racines.

Lemme de la courbe radiale. Le vecteur $ -\overline{\,\frac{P'(z)}{P(z)}\,}$ basé en z est tangent à la courbe radiale passant par z, et orienté dans le sens où P(z) se rapproche de 0.

(Un lemme est souvent un énoncé auxiliaire servant à préparer la démonstration d’un résultat plus important ; cela ne veut pas dire que le lemme est en soi sans intérêt).

Gauss-Lucas et les courbes radiales

On peut choisir un sens de parcours des demi-droites issues de 0 : celui se dirigeant vers 0. Cela induit un sens de parcours des courbes radiales : celui pour lequel P(z) se dirige vers 0. Considérons maintenant une courbe radiale, un point z dessus et la droite
tangente en z à la courbe. On appellera demi-tangente la moitié de cette droite, démarrant en z et dirigeant dans le sens de parcours de la courbe.

La preuve du théorème de Gauss-Lucas donne alors un résultat intéressant :

Théorème de Gauss-Lucas, version radiale. Soit P un polynôme complexe non-constant. Alors les demi-tangentes aux courbes radiales rencontrent toutes l’enveloppe convexe des racines de P.

Vous remarquerez dans cet énoncé une petite manie des mathématiciens. En effet si z est dans l’enveloppe convexe, il est évident que la tangente en z passe dans l’enveloppe, puisqu’elle passe par z ! L’énoncé est donc complètement inintéressant dans ce cas, et on aurait donc pu supposer dès le départ z en dehors... Mais on a trouvé plus élégant de faire l’économie de cette hypothèse.

Dans l’applet ci-dessous, qui reprend l’illustration précédente, vous pouvez déplacer la souris et voir se dessiner en rouge la demi-tangente aux courbes radiales, partant du point indiqué par le curseur (le reste de la droite tangente est dessiné en plus pâle). Nous avons également ajouté en orange le bord de l’enveloppe convexe des racines de P. Vous constaterez que les demi-droites rouges traversent toutes le triangle.

Un demi-plan suffit pour tout recouvrir

Nous avons jusqu’ici réussi à visualiser à la fois l’énoncé et la preuve
du théorème de Gauss-Lucas. Que peut-on dire de plus ?

En fait nous ne sommes qu’à la moitié de notre histoire, ce théorème
nous cache encore des facettes bien fascinantes. Par exemple il peut
s’énoncer sans même mentionner les racines du polynôme en question.
Est-ce que vous nous croyez ?

Notons encore P un polynôme complexe non-constant.
Le théorème fondamental de l’algèbre dit que P admet
au moins une racine, ou encore, de notre point de vue géométrique,
le point 0 admet au moins un antécédent par P.

Soit v un nombre complexe quelconque. Vous remarquerez qu’une solution
de l’équation P(z)=v est aussi une solution de l’équation P(z)-v=0, ou encore
une racine du nouveau polynôme P(z)-v. D’autre part P(z)=v s’interprète géométriquement comme z étant un antécédent de v par P.

En appliquant le théorème fondamental de l’algèbre à P(z)-v pour tout v parcourant le plan complexe, on peut conclure que tout point v admet au moins un antécédent par P. Autrement dit, P arrive à recouvre tout le plan d’arrivée avec la feuille calque du plan de départ.
On dit alors que P est surjectif sur le plan du départ.

L’air de rien, le théorème de Gauss-Lucas indique une économie sur la région suffisante à recouvrir le plan d’arrivée tout entier :

Théorème de Gauss-Lucas, version surjective. Un polynôme non-constant P est surjectif sur tout demi-plan (frontière comprise) qui rencontre des racines du polynôme dérivé P’.

Vous avez bien vu qu’il n’est plus question de parler des racines de P !

Et si on faisait danser les racines ?

Dans la preuve précédente, on a considéré les solutions de P(z)=v, ou encore les racines de P(z)-v. On peut se demander comment ces solutions bougent quand v change. C’est l’objet de l’applet ci-dessous. À gauche, l’ensemble de départ (le plan où vit le nombre complexe z). À droite, celui d’arrivée (le plan où vit le nombre complexe v). Le polynôme P envoie les points à gauche sur des points à droite. Déplacez le curseur dans le plan de droite et voyez valser les racines de P(z)-v.

Code :

• la croix orange à droite est v, elle suit le curseur,
• les croix orange à gauche sont les racines de P(z)-v,
• les points noirs à gauche sont les racines de P’ (ils sont réglables),
• les points noirs à droite sont les images par P des points noirs à gauche.

$\ $

Une région encore plus économique pour couvrir le plan ?

Ainsi, si l’on veut couvrir le plan d’arrivée tout entier avec un demi-plan contenant le moins de points possible, il faut prendre un demi-plan qui ’touche’ tout juste
l’enveloppe convexe des racines du polynôme dérivé P’.

Pour être encore plus économe, il serait intéressant de trouver une région D en un seul morceau (ou bien une région connexe comme disent les mathématiciens) sur laquelle l’image de P couvre chaque point du plan d’arrivée une et une seule fois. On dit alors que P est bijectif sur D. Pour être plus précis, on voudrait que D comprenne la région, appelée intérieur, délimitée par des morceaux de courbes qui forment ce qu’on appelle sa frontière, ainsi qu’une partie de ces courbes (mais pas tout !).

Le résultat suivant, qui est plus puissant que le théorème de Gauss-Lucas classique, nous a été communiqué par Bill Thurston en janvier 2011. Nous ne l’avions jamais vu ailleurs :

Théorème de Gauss-Lucas-Thurston, version bijective. Soit P un polynôme non-constant. Soit F un demi-plan posé sur l’enveloppe convexe des racines du polynôme dérivé P’ et extérieur à ces racines. Il y a sur la droite délimitant F une ou plusieurs racines de P’. Soit c l’une d’entre elles. Alors dans F on peut trouver une région connexe D_F sur laquelle P est bijectif, et dont l’intérieur est envoyé par P sur un plan privé d’une demi-droite issue de P(c).

Il n’est pas si difficile de trouver des régions bijectives, et on a un large choix sur la forme de l’image par P de leur intérieur. L’intérêt du théorème est qu’il situe certaines de ces régions, d’image un plan moins une demi-droite, dans les demi-plans F appuyés sur l’enveloppe des racines de P’. Sa preuve est également intéressante, en ce qu’elle consiste à appliquer le théorème de Gauss-Lucas non pas à P, mais à P’, et la version radiale qui plus est.

L’image suivante essaye d’illustrer le théorème. Le polynôme a degré 4. Les trois racines de P’ sont les sommets du triangle orange. Nous ne savons pas où sont les racines de P et, pour une fois, on s’en moque ! Le demi-plan F est délimité par la droite noire et s’appuie sur un des sommets, sans toutefois contenir le triangle. La région D est la zone contenue dans F et peinte avec les damiers noirs et verts. Sa frontière est la courbe rouge. Le polynôme P envoie la région D sur l’image de droite, l’intérieur est envoyé sur le plan privé de la demi-droite rouge. On a pris soin, pour z dans D ou sa frontière, de peindre z avec la même couleur que P(z). On peut s’imaginer que P prend la région D, la déforme pour recoudre la courbe rouge sur elle-même à partir du point de contact avec le triangle, de façon à obtenir le plan d’arrivée.

Puisque la seule contrainte sur la droite noire est qu’elle doit être posée sur le triangle blanc, on pourrait sans doute la faire pivoter autour du triangle. Que va-t-il se passer ?
Observez l’animation ci-dessous.

b)

Observez que D est toujours inclus dans F, bien qu’il ne soit pas toujours convexe.

Une preuve sans calcul ?

Pour terminer notre tour de visite du théorème de Gauss-Lucas, nous vous indiquons une autre preuve de la version classique de ce théorème. Elle nous a été proposée par Bill Thurston. Par rapport à la preuve présentée en début d’article, elle élimine les deux lignes de calcul de $P'(z)/P(z)$. Elle est donc encore plus géométrique !
Par contre, elle n’offre pas le raffinement de bijectivité. Comme certaines notions nécessitent une connaissance du cours de Calcul Différentiel en L3,
nous la présenterons sous forme d’une série d’exercices sans fournir tous les détails. Nous ne présenterons pas les illustrations non plus. Comme disait souvent le maître, il faut entraîner le muscle cérébral de notre imagination !

Soit $z$ un point hors l’enveloppe convexe des racines d’un polynôme $P$.

— Pour chaque racine $a_j$ de $P$, traçons la droite passant par $z$ perpendiculaire au segment $[z,a_j]$. La fonction distance $z\mapsto |z-a_j|$ a une dérivée directionnelle strictement positive dans n’importe quelle direction pointant
vers le côté opposé à $a_j$ de cette droite.

— Comme $z$ admet un cône visuel vers les racines $a_j$,
il existe une direction dans laquelle la dérivée directionnelle de $z\mapsto |z-a_j|$ est strictement positive pour toutes les racines $a_j$.

— Ceci implique que dans cette direction, la dérivée directionnelle de $ z\mapsto |P(z)|$ est aussi strictement positive, car $|P(z)|$ est le produit des $|z-a_j|$.

— $P'(z)$ est donc non nul.

Ceci démontre le théorème de Gauss-Lucas.

Et après ?

Nous sommes enfin arrivés à la fin de notre histoire. Mais la fin d’une histoire est peut-être le début d’une autre, n’est-ce pas ?

Derrière ce théorème ultra classique et innocent, il y a encore de multiples questions
dont on ne connait pas de réponses. Par exemple, malgré beaucoup de résultats partiels, on ne sait toujours pas bien localiser les racines de P’ par rapport à celles de P. Après tout l’enveloppe convexe des racines pourrait être un trop grand terrain pour cacher nos trésors...

Un autre problème intéressant est d’étudier l’intersection K, sur tout v possible, de l’enveloppe convexe des racines de P(z)-v. Elle doit contenir toutes les racines de P’, et par conséquent leur enveloppe convexe C. On aurait pu s’attendre à ce que K se réduise à C.
Mais des expériences numériques suivies des arguments rigoureux montrent que ce n’est souvent pas le cas !
Pour plus de détail, le lecteur est invité à consulter une discussion sur Mathoverflow [6].

Ce théorème est aussi lié à une conjecture d’Eduardo Casas-Alvero, formulée en 2001. Soit P un polynôme ayant une racine commune avec chacune de ses dérivées successives. Cette conjecture prédit que toutes les racines de P se confondent en un seul point. Voir par exemple cet article.