Problème isopérimétrique

Didon, fondatrice de Carthages, aborda l’Afrique où le roi Jarbas
lui accorda la portion de terrain que pourrait contenir la peau d’un
bœuf. Didon fit découper cette peau en une bande étroite et s’en
servit pour délimiter le bord d’un territoire semi-circulaire centré
en un point de la côte, elle obtint ainsi un terrain assez vaste
pour y construire une citadelle qui fut ensuite l’acropole de
Carthages : Didon avait trouvé la solution du "problème
isopérimétrique dans un demi plan".

Si $(M,g)$ est une variété Riemannienne compacte de dimension $m+1$,
$m\geq 1$, le problème isopérimétrique dans $(M,g)$ s’énonce
de la manière suivante : Etant donnée une constante $ 0 < \nu < \mbox{Vol}_{m+1} (M)$, on cherche à déterminer le ou les domaines
$\Omega \subset M$ dont $\mbox{Vol}_{m} (\partial \Omega )$, la
mesure $m$-dimensionnelle du bord, est minimale parmi tous les
domaines dont la mesure $(m+1)$-dimensionnelle $\mbox{Vol}_{m+1} (\Omega)$ est égale à $\nu$.

La théorie de la mesure géométrique permet d’apporter une
réponse à ce problème et l’on sait qu’il existe (au moins) un
domaine $\Omega \subset M$ dont la mesure $m$-dimensionnelle du bord
$\mbox{Vol}_m (\partial \Omega )$ est minimale parmi tous les
domaines dont la mesure $(m+1)$-dimensionnelle est égale à $\nu$. De
plus, en dehors d’un ensemble de dimension de Hausdorff $m-7$, le
bord de $\Omega$ est une hypersurface plongée dont la courbure
moyenne est constante. Dans le cas où la variété $M$ est une variété
à bord et où $\partial M \cap \partial \Omega \neq ptyset$ alors
le bord de $\Omega$ rencontre $\partial M$ de manière orthogonale.
Si ce résultat assure l’existence d’un domaine solution du problème
isopérimétrique, la détermination du domaine lui même reste un
problème extrêmement compliqué (même dans des cadres très simples où
par exemple $(M,g)$ est un tore plat de dimension $3$). La
caractérisation des solutions du problème isopérimétrique reste un
domaine de recherche particulièrement actif dans lequel de
nombreuses questions restent à résoudre R-05.

La solution du problème isopérimétrique permettent de distinguer une
catégorie particulière d’hypersurfaces, celles dont la courbure
moyenne est constante.

Courbure moyenne d’une hypersurface.

Soit $S$ une hypersurface compacte orientable, plongée dans
$(M,g)$, on note ${\bf n} = {\bf n}_S$ le vecteur normal à $S$
compatible avec l’orientation de $S$. Etant donnée $w$, une fonction
régulière (suffisamment petite) et définie sur $S$, on peut définir
l’hypersurface $S_w$ paramétrée par
\[ p \in S \longrightarrow \mbox{Exp}_p (w(p) \, {\bf n}(p)) \in S_w \]
où $\mbox{Exp}$ désigne l’application exponentielle dans $(M,g)$.
Par exemple, dans le cas où $(M,g)$ est l’espace Euclidien
l’hypersurface $S_w$ est simplement paramétrée par
\[ p \in S \longrightarrow p+ w(p) \, {\bf n}(p) \]

Le cas de l’espace euclidien

A.D. Alexandrov a démontré que les sphères sont les seules
hypersurfaces à courbure moyenne constante compactes, plongées dans
l’espace euclidien ${\mathbb R}^{m+1}$. La démonstration de ce
résultat repose sur une principe de réflexion par rapport à des
hyperplans. Ce « principe de réflexion d’Alexandrov » a par la suite
connu de nombreuses généralisations notamment dans le domaine des
équations aux dérivées partielles non linéaires grâce aux travaux de
J. Serrin, B. Gidas, W.M. Ni et L. Nirenberg.

Pendant longtemps, on a pensé que l’on pouvait affaiblir les
hypothèses du résultat d’Alexandrov en supprimant la condition de
plongement. En fait il n’en est rien et, en 1984, H. Wente a
démontré l’existence de tores (immergés dans ${\mathbb R}^3$) dont
la courbure moyenne est constante (voir Figures 2 et 3). Ce résultat
a ensuite donné lieu à de nombreux travaux qui ont mis en évidence
le lien entre les tores à courbure moyenne constante de ${\mathbb R}^3$ et les systèmes intégrables. L’existence de surfaces à
courbure moyenne constante (immergées), de genre $g \geq 2$, est
maintenant établie grâce aux travaux de N. Kapouleas K-05, M.
Jleli et F. Pacard, mais les résultats ne sont encore que
parcellaires.

On peut aussi s’intéresser aux hypersurfaces à courbure moyenne
constante qui sont complètes, non compactes dans l’espace Euclidien.
Par exemple, si $S_\rho^n$ désigne la sphère centrée en $0$ et de
rayon $\rho$ dans ${\mathbb R}^{n+1}$, les cylindres droits
$S^{m-k}_\rho \times {\mathbb R}^k$ sont des hypersurfaces complètes
dont la courbure moyenne est constante $H = \frac{m-k}{\rho}$. Outre
les cylindres droits, il existe dans ${\mathbb R}^{m+1}$, une
famille à un paramètre d’hypersurfaces de révolution dont la
courbure moyenne et constante si $m \geq 2$. Dans le cas où $m=2$,
ces surfaces ont été découvertes au 19ème siècle par
Delaunay et elles ont pour génératrices des roulettes de coniques
(voir Figures 4, 5, 6 et 7) .

$\qquad$

Les surfaces de Delaunay sont à l’origine du développement, dans les
années 1990, de nombreux travaux portant sur ${\mathcal M}_{g,k}$,
l’ensemble des surfaces de genre $g$, complètes, non compactes à
courbure moyenne constante, qui ont $k$ bouts asymptotes à des
onduloïdes de Delaunay KMP-96 (voir Figures 8 et 9). Les
principaux résultats montrent d’une part que ${\mathcal M}_{g,k}$ a
une structure de variété dont la dimension (formelle) est égale à
$3\, k$, donc ne dépend pas du genre $g$ et d’autre part que
${\mathcal M}_{0,k}$ n’est pas vide si $k \geq 2$. Enfin, signalons
le résultat récent de K. Grosse-Brauckman, R. Kusner et J. Sullivan
KGBS-03 qui permet de classifier les éléments de ${\mathcal M}_{0,3}$.

Le cas des variétés Riemanniennes

Définissons ${\mathcal M}(\Sigma , M, g)$ comme étant l’ensemble des
hypersurfaces $\Sigma$ à courbure moyenne constante qui sont
plongées dans une variété Riemannienne compacte $(M ,g)$. Précisons
que la topologie des éléments de cet ensemble est fixée par celle de
$\Sigma$, mais que la valeur de la courbure moyenne elle est une
constante qui n’est pas fixée. Cet ensemble s’avère avoir une
structure très riche et, pour un choix générique de la métrique $g$
définie sur $M$, l’ensemble ${\mathcal M}(\Sigma , M, g)$ est une
réunion de variétés régulières de dimension $1$. Les résultats
ci-dessous donnent une description (partielle) de certaines
composantes non compactes de ${\mathcal M} (\Sigma, M, g)$.

Supposons que $K$ un point de $M$ ou bien une sous-variété $K$ de
dimension $k \leq m-1$ plongée dans $M$. Définissons le tube
géodésique de rayon $\rho > 0$ autour de $K$ par
\[ S_\rho (K) : = \{ p \in M \quad : \quad \mbox{dist} (p, K) =\rho \} \]
On vérifie que, quand $\rho$ tend vers $0$, la courbure moyenne de
$S_\rho (K)$ est presque constante au sens où
\[ H(S_\rho (K)) = \frac{m-k}{\rho} + {\mathcal O} (1) . \]
Il semble alors raisonnable de perturber $S_\rho (K)$ en une
hypersurface à courbure moyenne constante, du moins lorsque $\rho$
est assez petit. Il s’avère que des conditions supplémentaires
portant sur $K$ sont nécessaires pour pouvoir mettre en oeuvre
cette stratégie.

Dans le cas où $K$ est un point $p \in M$, R. Ye Y-91 a démontré
le :

Les solutions du problème isopérimétrique pour des contraintes de
volume petites (i.e. $\nu \sim 0$) sont proches de sphères
géodésiques. Lorsque la courbure scalaire $R$ est une fonction de
Morse, il est conjecturé que ces solutions appartiennent à la
branche d’hypersurfaces obtenue par R. Ye qui se concentre autour du
maximum de la courbure scalaire sur $(M,g)$.

Courbure scalaire

La courbure scalaire apparaît par exemple dans le développement
limité, quand $\rho$ tend vers $0$, de la mesure
$(m+1)$-dimensionnelle de la sphère géodésique $S_\rho (p)$ de
centre $p$ et de rayon $\rho$
\[ \mbox{Vol}_{m}(S_\rho (p)) = \rho^{m} \, \omega_m \, \left( 1- \frac{1}{6 \,(m+1)} \, R(p) \, \rho^2 + {\mathcal O} (\rho^4) \right) \]
où $\omega_m$ est la mesure $m$-dimensionnelle de la sphère unité
de ${\mathbb R}^{m+1}$.

Dans le cas où $K$ est une sous-variété de dimension $k =1, ..., m-1$, la situation est radicalement différente MMP-05 et nous
avons alors le :

Ce résultat met en évidence le lien entre sous variétés minimales de
$(M, g)$ et les branches non compactes de ${\mathcal S}(SNK, M, g)$,
où $SNK$ désigne le fibré en sphères associé au fibré normal à la
sous-variété $K$ dans la variété $(M,g)$. Cette fois-ci, et
contrairement au cas où $K$ est un point, le résultat ne semble pas
être valable pour toutes les valeurs de $\rho$. Ceci est dû à un
phénomène de résonance qui est inhérent à la construction.

Un exemple explicite

Dans le cas particulier où $M^{m+1} = S^{m+1}_1$, la sphère
unité de ${\mathbb R}^{m+2}$, et $K = \{0\} \times S^{k}_1$, on
considère pour $r \in (0,1)$, l’hypersurface
\[ \Sigma (r) : = S^{m-k}_r \times S^{k}_{\sqrt{1-r^2}} \]
dont la courbure moyenne est constante $H (\Sigma(r)) = (m-k) \frac{\sqrt{1-r^2}}{r} - k \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$. Nous avons là un
exemple explicite d’hypersurfaces dont l’existence est assurée par
le théorème ci-dessus. On montre en outre que, lorsque le paramètre
$r$ tend vers $0$, on montre l’existence d’une infinité de points de
bifurcations qui donnent lieu à des hypersurfaces de $S^{m+1}_1$
dont la courbure moyenne est constante mais qui ne sont pas aussi
symétriques que $\Sigma (r)$. Ce résultat de bifurcation est en fait
à rapprocher du phénomène de résonance dont il est fait mention
ci-dessus.

Il est intéressant de comprendre dans quelle mesure les conditions
suffisantes d’existence dans les deux théorèmes ci-dessus sont aussi
nécessaires. En d’autres termes : est-il, possible de caractériser
les sous ensembles sur lesquels des familles d’hypersurfaces à
courbure moyenne constante se concentrent lorsque leur courbure
moyenne tend vers l’infini ? Dans cette direction, mentionnons le
résultat récent suivant :

Références

[K-05] N. Kapouleas, Construction of Minimal
Surfaces by Gluing Minimal Immersions Global Theory of Minimal
Surfaces, Clay Mathematics Proceedings, D. Hoffman Edt, AMS (2005).

[KMP-96] R. Kusner, R. Mazzeo et D. Pollack, The
moduli space of complete embedded constant mean curvature surfaces,
Geom. Funct. Anal. 6, (1996), 120-137.

[KGBS-03] K. Grosse-Brauckmann, R. Kusner et J. Sullivan,
Triunduloids : Embedded constant mean curvature surfaces with
three ends and genus zero, J. Reine Angew. Math. 564 (2003), 35-61.

[MMP-05] F. Mahmoudi, R. Mazzeo et F. Pacard,
Constant mean curvature hypersurfaces condensing along a
submanifold, Geom. Funct. Anal. 16, no 4, (2006) 924-958.

[R-05] A. Ros, The isoperimetric problem, Global
Theory of Minimal Surfaces, Clay Mathematics Proceedings, D. Hoffman
Edt, AMS (2005).

[Y-91] R. Ye, Foliation by constant mean curvature
spheres, Pacific J. Math. 147 (1991), no. 2, 381—396.