Surprenant hasard quantique

Partie 1

Piste bleue Le 10 mars 2021  - Ecrit par  Stephan De Bièvre Voir les commentaires

Mon but avec cette série de trois articles est double.

D’abord, d’expliquer de façon non-technique mais précise un des aspects surprenants et subtils de la mécanique quantique, à savoir le principe d’incertitude de Heisenberg (1927) et la notion associée d’observables incompatibles. Il s’agit là de découvertes vieilles de presque un siècle mais dont les subtilités et les conséquences font aujourd’hui encore l’objet de recherches actives en mathématiques comme en physique. Pour présenter le principe d’incertitude, ce premier article s’appuie sur une simple analogie. Le deuxième article utilise la notion de qubit et un avatar de la célèbre expérience de Stern-Gerlach pour mettre en évidence quelques conséquences importantes de l’existence d’observables incompatibles.

Mon deuxième objectif est d’illustrer la longue route qui peut séparer la science fondamentale — ici la physique — et certaines de ses applications — ici l’information quantique et plus précisément la cryptographie quantique. Pour cela, le troisième article expliquera comment le dispositif expérimental décrit peut être (et est) utilisé pour permettre à deux correspondants de partager une clé de chiffrement, ce qui leur permet ensuite d’échanger des messages secrets avec une plus grande sécurité que celle permise par n’importe quel système de chiffrement classique existant. C’est ce qu’on appelle la cryptographie quantique.

De la mécanique quantique à l’information quantique

La vocation des physiciens est de fournir une image cohérente du fonctionnement de la nature. Dans ce but, ils élaborent des modèles mathématiques, qu’on appelle les théories physiques. La mécanique newtonienne, l’électromagnétisme (Maxwell), la relativité générale (Einstein) et la mécanique quantique en sont des exemples. C’est la mécanique quantique qui nous intéresse ici. Elle fournit une description très efficace, précise et complète du comportement individuel et collectif des molécules et atomes qui composent la matière, ainsi que de la lumière. Élaborée entre 1900 et 1930, elle est aujourd’hui vieille d’un siècle. En dépit de cet âge respectable, elle n’a pas encore dévoilé tous ses secrets ni réalisé tout son potentiel et reste un sujet de recherche très actif. Comme beaucoup de théories physiques fructueuses, elle est également à l’origine d’un grand nombre d’innovations technologiques, dont l’énergie nucléaire, les lasers, l’imagerie médicale et la miniaturisation des ordinateurs.

Elle porte aujourd’hui encore en son sein de nouvelles promesses. Celle de l’ordinateur quantique d’abord : une machine à calculer qui exploiterait astucieusement les aspects les plus surprenants de la mécanique quantique pour surclasser tous les ordinateurs et super-calculateurs de la planète réunis. Ainsi que celle de la cryptographie quantique : la possibilité de créer des codes permettant de chiffrer des messages avec une sécurité inégalée. Il s’agit là d’un enjeu considérable qui ne concerne plus seulement les services secrets et les armées, mais aussi et surtout les nombreuses communications sur internet.

Surprenante mécanique quantique

On dit souvent de la mécanique quantique qu’elle est bizarre ou étrange. Je n’aime pas le choix de ces mots, qui ont une connotation péjorative. Je préfère dire que la mécanique quantique est surprenante et fascinante. Mais même cela n’est pas tout à fait ce qu’il faudrait souligner. En effet, la mécanique quantique n’est qu’une théorie scientifique destinée à nous aider à comprendre le comportement de la nature. Ce qui est fascinant et surprenant n’est pas cette théorie, mais le comportement même de la nature.

Comprendre la mécanique quantique demande un niveau de connaissances en mathématiques et en physique relativement poussé. Pour cette raison, elle n’est enseignée qu’en deuxième ou même en troisième année universitaire. Il serait donc difficile d’expliquer en termes simples pourquoi la mécanique quantique est considérée si surprenante. Il est néanmoins possible, je pense, de faire comprendre en quoi le comportement de la matière est surprenant, sans faire référence à la théorie physique qui l’explique. C’est ce défi que je vais essayer de relever ici.

Macroscopique ou microscopique, pas le même combat !

Commençons par dire que l’origine de la surprise réside dans le fait que le monde microscopique — le ballet des molécules et des atomes — ne se comporte pas comme le monde macroscopique — à l’échelle humaine — auquel nous sommes habitués. À vrai dire, peut-être ne devrions-nous pas être surpris. Certes, on peut s’imaginer un atome comme étant composé d’un noyau et de quelques électrons qui l’entourent, comme les planètes entourent le soleil. Mais nous n’observons jamais, avec nos yeux directement, des atomes ou des électrons. Il ne faut donc pas trop s’étonner qu’il ne s’agit là que d’une analogie un peu grossière, et que, lorsqu’on examine le détail du comportement de ces électrons et noyaux, les choses ne se passent pas tout à fait comme avec les planètes et le soleil. Il s’avère que ces différences, que des expériences du début du siècle dernier ont mises en évidence, sont considérables et, pour certaines, très contre-intuitives. La surprise trouve donc in fine son origine dans le fait que nous n’avons pas une expérience directe et concrète du comportement de la matière microscopique et donc pas non plus une compréhension directe et intuitive de celui-ci. Je décrirai dans le deuxième article de cette série un dispositif expérimental simple qui met bien en évidence la nature contre-intuitive d’un aspect important du comportement du monde microscopique. L’ingrédient essentiel du dispositif est le qubit, abréviation de « quantum bit », qui est à l’ordinateur quantique ce qu’est le bit à l’ordinateur classique. Dans les lignes suivantes, je me contenterai d’esquisser la différence entre le comportement des mondes macroscopique et microscopique par le biais d’une analogie qui me permettra d’expliquer en termes simples la notion d’observables incompatibles et leur lien avec le principe d’incertitude.

Une parabole quantique

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Un jeune homme achète un pull. Il demande au vendeur :
- Celui-ci, le bleu, il me plait. Vous l’avez en ma taille ? Je porte un L.
- Bien sûr, monsieur.
Le soir, l’homme sort avec sa copine.
- Ah, je vois que tu as fait des achats. J’aime bien la couleur de ton nouveau pull, ce bleu te va très bien. Et, après une courte hésitation, elle ajoute :
- Mais es-tu sûr qu’il est à ta taille ?
- Mais oui, répond l’homme, j’ai bien dit au vendeur que je porte un L.
La copine s’approche et vérifie l’étiquette dans le col du pull.
- Eh bien, le vendeur s’est trompé, c’est un M. Puis, étonnée :
- Mais, il n’est pas bleu, ton pull, il est rouge ?

Le jeune homme s’appellerait Ron et la copine Hermione, vous me diriez que c’est de la magie, pas de la science. Or, je vous assure, si les molécules portaient des pulls, c’est comme ça que cela se passerait. Le fait de vérifier la taille pourrait changer la couleur et le fait de regarder la couleur pourrait changer la taille. Les physiciens diraient que la couleur et la taille d’un pull sont deux variables ou deux observables incompatibles.

Imaginons maintenant un coffre contenant un grand nombre de boules et de cubes en bois. Chaque boule et chaque cube est peint, soit en rouge soit en vert.
Il y a donc quatre variétés d’objets, caractérisés par leur forme et leur couleur.

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Supposons qu’il y ait un sixième de boules et cinq sixièmes de cubes.
Et un sixième d’objets rouges et cinq sixièmes d’objets verts.

Supposons que nous tirions successivement et au hasard des objets du coffre, et que nous observions leur couleur. Cela ne changera sûrement pas leur forme. Et vice versa. Dans le monde microscopique, c’est pourtant ce qui se produit lorsqu’on observe une collection de molécules.

Pour en revenir aux pulls, s’ils étaient microscopiques, on ne pourrait pas les ranger par couleur et par taille dans les étagères du magasin. On serait obligé de les ranger soit par couleur, soit par taille. Et si vous preniez un pull sur l’étagère des pulls de taille L, vous ne pourriez pas garantir qu’il soit rouge, ou bleu, ou vert. De même, s’ils étaient rangés par couleur, et que vous preniez un pull vert, vous ne pourriez pas être assuré qu’il soit à votre taille. On comprend pourquoi les physiciens ont introduit le terme « incompatible » pour décrire des propriétés se comportant ainsi.

Vers le principe d’incertitude

Nous savons bien que ni les pulls, ni les objets en bois ne se comportent comme dans la parabole quantique. Les physiciens du début du siècle dernier le savaient aussi et ont par conséquent été surpris de découvrir le phénomène évoqué ci-dessus quand ils ont commencé à avoir les moyens techniques pour l’observer dans des systèmes microscopiques. En effet, diverses expériences ont à l’époque mis en évidence le fait qu’on ne peut pas connaître en même temps la vitesse et la position d’un atome, d’un électron ou d’une molécule. Ces expériences ont permis d’établir que, si on réussit à déterminer la position avec une très grande précision, on perd toute information sur la vitesse, et vice versa. La situation analogue avec les pulls serait qu’un pull dont on aurait observé la taille avec précision peut avoir, ensuite, n’importe quelle couleur avec la même probabilité. Et si on constatait ensuite qu’il était vert, cela pourrait changer sa taille en n’importe quelle taille, encore une fois avec la même probabilité. Quand deux quantités observables — position et vitesse, couleur et taille — se comportent ainsi, on dit qu’elles sont incompatibles.

Bien évidemment, la couleur et la taille d’un pull ne sont pas des observables incompatibles en réalité : on peut bien ranger des pulls dans des cases, par couleur et par taille. Mais un siècle d’expérimentation avec des noyaux, des atomes, des électrons, des molécules et des photons ont confirmé à de multiples reprises que la position et la vitesse sont bel et bien incompatibles.

Ces observations mènent au célèbre principe d’incertitude de Heisenberg qui fournit une limite à la précision avec laquelle la vitesse et la position d’une particule peuvent être simultanément déterminées. Pour voir comment cela fonctionne, regardons encore une fois les pulls de la parabole quantique. Supposons qu’ils peuvent avoir cinq couleurs différentes (rouge, orange, jaune, vert, bleu) et cinq tailles différentes (P, M, L, XL, XXL). Si les pulls étaient vraiment quantiques, il faut alors s’imaginer ceci. Comme indiqué ci-dessus, si vous déterminez la couleur avec certitude, vous perdez toute information sur la taille et vice versa. Mais maintenant, imaginez-vous que vous ne déterminez la taille que de manière approximative. Vous ne regardez pas très bien l’étiquette, et vous concluez que le pull choisi est de taille P ou M, par exemple. Alors, il s’avère que vous ne perdrez pas toute information sur la couleur. En effet une observation ultérieure de la couleur de ce même pull révèlera qu’il est orange, jaune ou vert, mais pas bleu ou rouge. En d’autres termes, vous avez sacrifié un peu de précision sur la taille, et gagné un peu de précision sur la couleur du pull.

Le principe d’incertitude quantifie précisément le lien entre l’incertitude sur la position et sur la vitesse d’une particule microscopique. Plus l’une est réduite, plus l’autre est grande. Si vous souhaitez avoir une compréhension plus approfondie des observables incompatibles et leurs propriétés, lisez le deuxième article. J’y décris un dispositif expérimental simple à comprendre qui les met clairement en évidence et qui en explique certaines conséquences importantes pour notre compréhension du monde microscopique. On peut se demander « Oui, c’est bien fascinant tout cela, mais à quoi ça sert ? ». Si vous voulez le savoir, il faudra lire le troisième article de la série. Il expliquera comment ce dispositif et les subtils phénomènes quantiques qu’il exploite peut être utilisé en cryptographie quantique pour résoudre le problème très concret de la distribution des clés.
Vous comprendrez alors comment un résultat scientifique fondamental dont l’intérêt peut paraître purement théorique au premier abord, peut avoir, après de longues décennies d’étude, des applications directes, inattendues et importantes.

Post-scriptum :

Je remercie les collègues et amis qui ont bien voulu lire des versions antérieures de ce texte et m’aider à l’améliorer à travers leurs remarques : Arnaud Bodin, Eveline De Bièvre, Matthias De Bièvre, Jean-Pierre De Dobbeleer, David Dereudre, Stéphanie Didi, David Dunlap, Jean-Claude Garreau, Dima Horoshko, Paul Parris, Patrick Popescu, Jean-Michel Torres, Pauline Truong.

La rédaction d’Images des mathématiques ainsi que l’auteur remercient pour leur relecture de l’article et leurs commentaires les relecteurs suivants : Jérôme Pérez, François Brunault, Ulysse, JulieBCL, Thomas Chaumeny et Gregoire Dubost.

Article édité par Aurélien Alvarez

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Pour citer cet article :

Stephan De Bièvre — «Surprenant hasard quantique » — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

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