Теорема Шаля

¡Teorema de Chasles!

Para ser del todo honesto, el pequeño retrato en la parte de atrás del objeto me ayudó ;-)

Como muchos franceses, Chasles evoca para mí ante todo la relación de Chasles que aprendí en clases de 4to año [1] :
si $A,B,C$ son tres puntos de una recta orientada, entonces ${AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$.

Me acuerdo lo que pensaba en esa época sobre esta relación: me parecía un poco ’’infantil’’ y me preguntaba por qué alguien había podido darle su nombre.
Después aprendí a conocer mejor al entrañable matemático Michel Chasles y sus resultados fundamentales en geometría. Images des Maths por cierto ya ha tenido la ocasión de mencionar a este gran geómetra en repetidas ocasiones (aquí, acá, acá e incluso acá).

Pero ¿cuál puede ser la relación entre Michel Chasles y este objeto de cartón que se parece a una pantalla cubierta por una multitud de puntos negros?

Primero es necesario que describa un poco mejor el objeto. Sobre un marco de cartón, formato A4, está pegada una transparencia, manchada de manera aleatoria. Por encima de esta transparencia hay otra idéntica, pero que se puede desplazar ligeramente en relación a la primera. Colocando ambos pulgares sobre la transparencia superior, uno puede moverla dos o tres centímetros. Una fuerza electrostática actúa de manera que las dos transparencias sigan en contacto sin impedir el desplazamiento. Finalmente, uno observa la superposición de dos imágenes idénticas, con la segunda ligeramente desplazada en relación a la primera.

¿Qué sucede? Uno ve aparecer muy claramente círculos concéntricos.
Lo asombroso es que con cada movimiento de los dedos, los círculos concéntricos parecen centrados sobre un punto diferente.
Aquí hay algunas fotos.

¿Qué tiene que ver con Chasles?

Bueno, hay que saber que la denominación de los teoremas matemáticos varía de un país a otro. Lo que en Francia se llama ’’Teorema de Tales’’ es desconocido en la mayoría de otros países [2]. El teorema evidentemente sí es conocido ¡pero bajo otro nombre! Puede que la ’’relación de Chasles’’ no sea conocida bajo ese nombre en Rusia, pero parece que, por el contrario, los rusos llaman ’’teorema de Chasles’’ a un teorema que yo no conocía por ese nombre.

El teorema expresa el siguiente hecho: Superponga dos transparencias y hágalas desplazarse, la de encima sobre la de abajo. Entonces, hay casi siempre un punto sobre la transparencia de arriba que no se mueve. Todo ocurre como si uno hubiera clavado una aguja, chinche o chincheta, y que hubiera hecho girar la transparencia a su alrededor. El matemático dice que el movimiento es una rotación [3] alrededor de ese punto fijo.
Lamentablemente, Chasles no nos dice ¡dónde está la aguja o chincheta!

Es necesario explicar lo que quiere decir por casi siempre. Si mis dos pulgares se desplazan exactamente de la ’’misma manera’’, entonces la segunda transparencia simplemente habrá sufrido una traslación. Ahí también los matemáticos dan un sentido muy preciso a esa palabra, cuyo uso en francés en un poco impreciso. Aquí, el Tesoro de la Lengua Francesa tampoco es muy bueno, desde el punto de vista de los matemáticos... Una traducción es ’’la acción de desplazar, de desplazarse, y el resultado de esta acción’’. Desde luego, con semejante definición, ¿una rotación sería también una traslación?
¡Un matemático no puede decidir eso! La definición geométrica del mismo diccionario es mala: GEOM.’’transformación puntual haciendo pasar de una figura F del plano o del espacio a una figura F igual’’ (Uv.-Chapman 1956).
¿Todo depende de lo que uno llame igual? Se comprende que con tal definición no está muy explicado. Una traslación, en el sentido de los matemáticos, es un movimiento en el cual todos los puntos están desplazados en la misma dirección y a una misma distancia. Está claro entonces que no habrá punto fijo. Pero no es del todo fácil hacer la traslación: hay que coordinar perfectamente los dos pulgares. En la práctica no se logra, y es por esto que yo digo que las traslaciones no se presentan casi nunca [4].

El teorema de Chasles expresa, en términos técnicos, que todo desplazamiento
 [5] del plano es una rotación alrededor de un cierto punto o una traslación.

Ahora volvamos a nuestro objeto de cartón. La transparencia inferior está cubierta de puntos negros, distribuidos al azar. Típicamente, dos puntos negros están separados a una distancia del orden de dos o tres milímetros.
Cuando uno hace deslizar la transparencia de arriba, el teorema de Chasles nos informa que lo que uno hace es una rotación alrededor de un cierto punto (no se trata de una traslación).

En la vecindad de ese centro de rotación, cada pequeño punto negro gira un poco, si bien la superposición de las dos transparencias (idénticas al comienzo, recordemos) muestra una especie de ’’punto doble’’, una pequeña barra negra tangente a un círculo centrado en el punto fijo. En otros términos, cerca del centro de rotación, los puntos negros ’’dibujan’’ círculos concéntricos que se ven claramente.

Pero el asunto se complica cuando uno se aleja del centro. Se ven aún claramente esos círculos concéntricos, pero su explicación es mucho más complicada... y a decir verdad ¡me parece que no se entiende mucho! Lejos del centro, los puntos negros están desplazados aproximadamente uno o dos centímetros y por lo tanto no aparecen esas pequeñas barras. Por el contrario, se observa dos nubes de puntos aleatorios superpuestos que no indican realmente estructura visual. Sin embargo, se puede ver una especie de correlación: cada punto negro, perdido en su nube aleatoria, tiene un ’’vecino’’ uno o dos centímetros más lejos, en la dirección del círculo concéntrico.
¿Cómo hace nuestro cerebro para detectar esas parejas de puntos y decidir que son ellos los que hacen sentido, y nos obliga a ver círculos concéntricos que en realidad no existen?

Uno sale del campo de las matemáticas y entra en el de la neurofisiología.
Ocurre que nuestra corteza visual contiene neuronas especiales que detectan no sólo puntos luminosos sino también direcciones. Son neuronas que se activan únicamente cuando reciben dos puntos luminosos tales que la recta que los une tiene una cierta dirección. Cada una de esas neuronas se encarga de una cierta dirección y no reacciona a las otras direcciones de rectas. Para cada punto negro y su imagen por el desplazamiento, ciertas neuronas se activan: aquéllas que ’’leen’’ la dirección de la recta que une los dos puntos. Cada par de puntos activa por lo tanto una neurona. Como la mayoría de esos pares de puntos describen direcciones aleatorias, la señal cerebral generada es a su vez aleatoria. Nuestro cerebro puede entonces extraer la señal que ’’tiene el sentido’’ -aquel que describe los círculos- dentro de la señal sin forma enviada por los otros pares de puntos no correlacionados. Es un poco como cuando le entendemos a alguien que habla en medio de un barullo.

A decir verdad, la historia no se detiene ahí y las teorías biológicas desarrolladas para comprender esos círculos concéntricos me parecen tan sofisticadas como... discutibles (pese a que debo reconocer una total incompetencia en ese tema). ¿Podrá algún lector de IdM proponer tal vez una explicación satisfactoria?

Parece que el descubrimiento de ese fenómeno de ’’ilusión óptica’’ se debería a Leon Glass en 1969. Para una descripción matemática de las ’’estructuras de Glass’’ (en inglés), se puede consultar este artículo y su bibliografía. Un artículo más elaborado se encuentra aquí.

¿Cómo reconoce ’’estructuras’’ nuestra corteza visual ? Parece que los matemáticos pueden ayudar. Este artículo del Journal of Physiology sin duda no está destinado a los lectores de IdM, pero su título tiene motivos para hacer soñar a un matemático: ’’La neurogeometría de los molinos como una estructura de contacto subriemanniana’’. Las neuronas que acabo de mencionar están dispuestas en columnas que recuerdan a un molino (pinwheel) y la red que ellas forman hacen pensar en lo que los matemáticos llaman una estructura de contacto.

A propósito, ¿quién me mandó ese regalo? Es Nikolái Andréyev, de quien ya he hablado en IdM.

¡Tengo entonces una nueva oportunidad para recomendar a los lectores que visiten sus sitios!:

http://etudes.ru

http://tcheb.ru

PS1: Nikolái Andréyev me mandó el archivo pdf de la página llena de puntos negros aleatorios [6]. Lo incluyo aquí. Imprima dos copias sobre transparencias y desplácelas una en relación a la otra: usted verá los círculos. ¡Cuidado! Si el ángulo de rotación es muy grande, no se ve absolutamente nada.

Nikolái también acaba de informarme que él creó una pequeña aplicación que permite jugar en línea.
En un primer momento, se ve la transparencia desplazarse sola. Luego aparece una página en ruso (que muestra de hecho el propósito del objeto). Cuando uno hace click sobre el rectángulo verde en la parte de abajo del cuadro, se accede a la versión interactiva, donde usted puede utilizar su mouse o su trackpad en lugar de sus dedos pulgares.

PS2: Un relector me dice que se puede ver el [objeto en funcionamiento] en YouTube.

PS3: S.C., responsable de la sección ’’Objeto del Mes’’, me pidió una foto del objeto cuando el desplazamiento es una traslación. Me dije a mí mismo que lo más simple era hacer deslizar la transparencia hasta que se apoye en el fondo del marco de cartón, lo que aseguraría que el borde de la transparencia sea horizontal y garantizaría una traslación. Por una razón desconocida, a cada intento la transparencia se ponía a girar sin que yo lo quisiera. Movido por la curiosidad, decidí demontar el objeto. Hice entonces dos descubrimientos. El primero es que la transparencia de abajo no existe, y que la nube de puntos está simplemente impresa en el cartón. ¡Tendré que pensar en esto! Lo segundo es que la transparencia no es un rectángulo sino que está recortada para darle una forma redondeada, como ésta:

Uno no ve el borde, escondido por el cartón, ¡y esta trampa le impide a sus pulgares hacer la traslación! Cuando usted empuja hacia abajo, por ejemplo, la curvatura del borde le lleva naturalmente a hacer una rotación. ¡Astuto, sr. Andréyev!

Para obedecer a S.C, utilicé el archivo pdf de arriba, abrí Photoshop y superpuse dos copias, trasladando la segunda 2 centímetros. Este es el resultado. No se ve gran cosa...

PS4: Entonces, esta famosa relación de Chasles ¿es tan importante como para que uno moleste a nuestros colegiales con eso? Les tomó mucho tiempo a los matemáticos comprender que se podía tratar las ecuaciones como
\[ x^2= 2x+1 \]
y
\[ x^2+3x=1 \]
de una manera unificada, es decir, bajo la forma $ax^2+bx+c=0$ autorizando $a,b,c$ a ser números que no son necesariamente positivos. Se coloca todo a la izquierda (sin olvidar de cambiar el signo cuando un término pasa de derecha a izquierda) y se escribe que el resultado es igual a 0. Esto parece fácil pero era un progreso importante. Antes había que estudiar muchos casos, por ejemplo, según si el pie de la altura de un triángulo cae dentro de un lado o en el exterior. Gracias a geómetras como Chasles se comprendió que si uno autoriza un segmento a tener una ’’longitud algebraica’’, positiva o negativa, entonces todos esos casos se tratan de la misma manera. Es probablemente para agradecer a Chasles por esta linda idea que nuestros programas (¡franceses!) le atribuyen esta ’’banalidad’’: $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$.