Un árbol pitagórico

Piste bleue Le 6 février 2013  - Ecrit par  Étienne Ghys, Jos Leys
Le 10 septembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Un arbre pythagoricien Voir les commentaires
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¿Se acuerda del teorema de Pitágoras ?

El cuadrado de la hipotenusa

es igual, si no me engaño,

a la suma de los cuadrados

construidos sobre los otros lados [1].

Partamos de un triángulo rectángulo muy especial, ya que también es isósceles.
El teorema de Pitágoras dice exactamente que el área del gran cuadrado azul es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.

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Por supuesto, uno tiene ganas de hacer con cada uno de los pequeños cuadrados lo que se ha hecho con el grande, como esto :

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Y uno recomienza. Se obtiene un árbol :

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Uno también puede partir de un triángulo rectángulo no isósceles para obtener un árbol menos simétrico, pero más bonito :

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Para divertirnos, apilemos cubos en lugar de cuadrados... ¡como los niños ! Este es el árbol que se obtiene :

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Este árbol puede ser un poco decepcionante ya que es demasiado ’’plano’’. Entonces, para ’’darle volumen’’, hagamos girar la construcción en 90 grados en cada etapa de la construcción. El resultado es más interesante :

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¿Quieres un problema de geometría ?

  • En la construcción de nuestro primer árbol (el que está en el plano, representado arriba en azul), muestra que en cada etapa de la construcción, el área del árbol aumenta en una cantidad igual al área del cuadrado inicial.

Indicación

Supongamos que el lado del cuadrado azul inicial tiene una longitud $L$.

Establezcamos un poco de terminología. Diremos que el cuadrado azul inicial (de área $L^2$) es de primera generación.
Los dos pequeños cuadrados azules de la primer figura se llamarán de segunda generación y así sucesivamente : en cada etapa se construye la generación siguiente. El teorema de Pitágoras muestra que cada cuadrado de generación $n$ provee dos cuadrados de generación $n+1$ de la misma área total. El área total de todos los cuadrados de la $(n+1)$-ésima generación es por lo tanto igual a aquella de los cuadrados de la $n$-ésima generación : esta área es entonces igual a $L^2$.
El árbol construído en la n-ésima etapa es entonces de un área total $n \times L^2$.

  • Muestra que se puede continuar la construcción tantas veces como se desee, y que el árbol obtenido permanecerá dentro de un mismo círculo de radio a determinar.

Indicación

Con ayuda del teorema de Pitágoras, se puede calcular la distancia entre el centro del cuadrado grande y el de uno de los dos pequeños azules. Se encuentra $\sqrt{5}/2 \times L$.

Un cuadrado de $n$-ésima generación tiene un lado de longitud $\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n-1}\times L$.

La distancia entre el centro del cuadrado inicial y aquel de un cuadrado de la distancia entre la $n$-ésima generación es inferior a
\[\frac{\sqrt{5}}{2} \left( 1 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + ... + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1} \right)\times L .\]
Se utiliza entonces la fórmula que da la suma de una secuencia geométrica :
\[ 1+ a+ a^2+ ...+ a^{n-1} = \frac{1-a^{n}}{1-a}, \]
lo que da una distancia entre los centros inferior a
\[ \frac{\sqrt{5}}{2} \frac{1-\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\times L \]
y por lo tanto inferior a
$r=\frac{\sqrt{5}}{2} \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}} \times L= \sqrt{5} (2+ \sqrt{2}) /2 \times L \simeq 3,82 L$.
Toda la construcción permanece entonces dentro del un disco de radio $r$.

  • Deducir que a partir de una cierta etapa los cuadrados del árbol terminan por superponerse. ¿Puedes precisar esta etapa ?

Indicación

Si $n L^2 > \pi r^2 \simeq 45,77 L^2 $, es decir si $n \geq 46$, el árbol de la $n$-ésima generación no puede estar contenido en el disco de radio $r$ si no hay superposición.
De hecho, se comprueba la superposición a partir de $n=6$.

Pasemos al árbol en el espacio, en el cual se hace girar 90° en cada etapa.

  • Muestra que se puede continuar la construcción tantas veces como uno desee, y que el árbol permanecerá dentro de una bola de radio a determinar.

Indicación

El cálculo es análogo.

  • Muestra que en la $n$-ésima etapa de la construcción, el volumen del árbol aumenta en una cantidad igual a $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.

Indicación

En la $n$-ésima etapa se construyen $2^n$ nuevos cubos de lado $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ y cuyo volumen total es por lo tanto $\left( \frac{ \sqrt{2}} {2} \right)^n$.

  • Observa que el argumento que era válido en el plano ya no se aplica, debido a que la suma $1+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+ ... +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ no tiende hacia el infinito.

Indicación

La suma $1+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+ ... +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ es en efecto inferior a $1/ (1- \sqrt{2}/2)$.

Por lo tanto, uno no puede concluir, como anteriormente, que los cubos terminan por superponerse. Es una buena noticia, ya que los autores de este artículo no tienen la impresión de que se superpongan...

¿Algún lector podrá demostrar que los cubos no se superponen ?

Post-scriptum :

La redacción de Images des maths y los autores agradecen por su atenta relectura a los relectores Michaël Bages y P.Levallois.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1Un cuarteto del cantante Franc-Nohain (1872-1934)

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Un árbol pitagórico» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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