L’institut qui m’a accueilli en automne regroupe des gens d’horizons
variés (biologistes, chimistes, physiciens, sociologues, etc.), et chacun, à tour de rôle, est censé présenter son domaine (en 20 minutes)
au cours d’un repas hebdomadaire. J’y ai parlé du monde $p$-adique.

Le monde réel

Les nombres réels ont été utilisés pendant 2 millénaires, mais n’ont
été formellement définis qu’en 1872 : Cantor et Dedekind en ont donné
chacun une construction en réponse à une demande un peu inquiète
de Weierstrass (on ne sait jamais, le monde aurait fort bien pu s’écrouler
tout d’un coup ; la période était propice à la naissance de monstres
défiant l’intuition, par exemple des fonctions continues dérivables
nulle part). Les constructions de Cantor et Dedekind partent
du corps ${\mathbf Q}=\{\frac{a}{b},\ a,b\ {\rm entiers},\ b\neq0\}$
des nombres rationnels. Les grecs avaient déjà réalisé, à
leur grande horreur, qu’il existe des nombres irrationnels
(du genre $\sqrt 2$).
Une manière de s’en convaincre est de regarder le développement décimal
(ou plus généralement le développement en base $p$,
si $p$ est un entier quelconque)
d’un nombre rationnel : il se répète au bout d’un certain temps,
et donc tout nombre dont le développement décimal n’a pas cette
propriété n’est pas rationnel. Ce que font Cantor et Dedekind
revient à
rajouter tous les développements décimaux possibles
et donc à boucher les trous de ${\mathbf Q}$, et on
obtient de cette manière un corps, le corps ${\mathbf R}$ des
nombres réels [1],
qui est complet (contrairement à ${\mathbf Q}$), ce qui signifie
que toute suite qui a l’air d’avoir une limite [2]
en a effectivement une [3].

La valeur n’est pas absolue ; la norme n’est pas immuable

Implicite dans ce qui précède est le fait que l’on mesure
la distance $d(x,y)$ entre deux nombres rationnels $x$ et $y$
en utilisant la
distance usuelle $d(x,y)=|x-y|$, où $|\ |$ désigne la valeur
absolue. Cette valeur absolue vérifie les propriétés suivantes :

(i) $|x|\geq 0$ et $|x|=0$ si et seulement si $x=0$,

(ii) $|xy|=|x|\,|y|$ pour tous $x,y\in{\mathbf Q}$,

(iii) $|x+y|\leq |x|+|y|$ pour tous $x,y\in{\mathbf Q}$ (inégalité triangulaire).

Plus généralement, on appelle norme sur ${\bf Q}$ toute fonction
$\Vert\ \Vert:{\mathbf Q}\to{\mathbf R}_+$ vérifiant les mêmes propriétés
(i), (ii) et (iii) ci-dessus que $|\ |$. Une telle norme donne une manière
de mesurer les distances, en posant $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$, et donc une
manière de voir le monde.

On peut construire, en partant d’un nombre premier $p\in\{2,3,5,7,11,\dots\}$,
une norme $|\ |_p$ sur ${\bf Q}$, dite $p$-adique, pour laquelle plus
un nombre est divisible par $p$ plus il est petit [4]
et on obtient de la sorte une
norme qui vérifie
l’inégalité ultramétrique $|x+y|_p\leq\sup(|x|_p,|y|_p)$
plus forte que l’inégalité triangulaire.

Des mondes où l’ordre ne règne pas

On définit alors, suivant Hensel (1897), le corps ${\bf Q}_p$
des nombres $p$-adiques, en complétant ${\bf Q}$ pour la norme
$|\ |_p$, par exactement le même procédé que celui de Cantor [5]
qui nous a permis de construire ${\bf R}$ à partir de ${\bf Q}$
en complétant pour la valeur absolue. La norme $|\ |_p$
s’étend, par continuité, à ${\bf Q}_p$, et ${\bf Q}_p$
est complet pour cette norme, par construction.

Un nombre $p$-adique a, comme un nombre réel, une écriture en base $p$ ;
la différence est qu’en $p$-adique il y a une infinité de chiffres
avant la virgule et un nombre fini après, alors qu’en réel c’est l’inverse
(c’est dû au fait que $\frac{1}{p^n}$ est petit dans le monde réel si
$n\to +\infty$, alors qu’en $p$-adique c’est $p^n$ qui l’est).
Une autre différence (agréable) est que l’écriture en base $p$ est unique
en $p$-adique, alors que certains nombres réels ont deux écritures.
Par contre, il reste vrai que les rationnels ont une écriture
qui se répète au bout d’un moment et que ce sont les seuls
nombres ayant cette propriété. Il est aussi vrai que la complétion
consiste à rajouter tous les développement en base $p$ possibles
(avec un nombre fini de chiffres après la virgule).

L’ultramétricité de $|\ |_p$ a des conséquences amusantes dont certaines
sont assez déstabilisantes et d’autres très agréables :

— Tout point d’une boule [6] en est le centre.

— Une suite $(u_n)_{n\in{\bf N}}$ converge
si et seulement si $|u_{n+1}-u_n|_p$ tend vers $0$ [7]. Par exemple, $1+2+4+8+\cdots+2^n+\cdots=-1$ dans [8]
${\bf Q}_2$.

— L’ensemble ${\bf Z}_p$ des $x\in{\bf Q}_p$ vérifiant $|x|_p\leq 1$
est stable par addition, passage à l’opposé, et multiplication.
C’est donc un sous-anneau de ${\bf Q}_p$.
C’est aussi l’ensemble des $x\in{\bf Q}_p$ n’ayant pas de chiffre
après la virgule dans l’écriture en base $p$ ; on peut donc le voir
comme l’analogue $p$-adique du segment $[0,1]$.

— L’ensemble ${\bf Z}_p^*$ de ses
éléments inversible est l’ensemble des $x\in{\bf Q}_p$ vérifiant
$|x|_p=1$. Un élément de ${\bf Z}_p$ qui n’est pas inversible
est divisible par $p$, et ${\bf Z}_p$ est donc la réunion disjointe
de $p{\bf Z}_p=\{px,\ x\in{\bf Z}_p\}$.

Les mondes possibles

On peut se demander s’il existe d’autres mondes que le monde réel
ou les mondes $p$-adiques, mais Ostrowski (1918) a montré que ce
sont les seuls possibles :

À équivalence [9] près, les seules normes
non triviales [10]
sur ${\bf Q}$ sont la valeur absolue et les
$|\ |_p$, où $p$ parcourt l’ensemble des nombres premiers.

Les mondes réel et $p$-adiques n’ont a priori rien à voir
(par exemple car une somme d’entiers positifs peut être négative, voir
ci-dessus, ou parce que l’on peut trouver une suite de nombres
rationnels $(r_n)_{n\in{\bf N}}$ ayant pour limite $\pi$ dans ${\bf R}$,
$1$ dans ${\bf Q}_2$, $\sqrt 7$ dans ${\bf Q}_3$ et $\sqrt{-1}$ dans ${\bf Q}_5$), mais
ils sont reliés entre eux de manière subtile et pas vraiment
complètement comprise. Le premier indice de ce lien est
la formule du produit [11] :

Si $x\in{\bf Q}-\{0\}$, alors [12]
$|x|\cdot\prod_{p}|x|_p=1$.

Des effets bénéfiques de la globalisation

Au vu du théorème d’Ostrowski, il est naturel d’essayer de
considérer simultanément les mondes réel et $p$-adiques,
ce qui mène directement [13] à la construction des adèles.
On définit un adèle comme une collection
$(x_\infty,x_2,x_3,\dots,x_p,\dots)$, où $x_\infty\in{\bf R}$
et $x_p\in{\bf Q}_p$, avec $x_p\in{\bf Z}_p$ sauf pour un nombre fini
de $p$. On note ${\bf A}$ l’ensemble des adèles ; on en fait un anneau
en définissant l’addition et la multiplication composante
par composante [14].
Cet anneau contient ${\bf Q}$ de manière naturelle [15]

Tout nombre réel $x$ peut s’écrire de manière unique
$x=n+r$, avec $n\in{\bf Z}$ et $r\in [0,1[$ (l’entier $n$ est
la partie entière de $x$). On peut écrire ceci
de manière compacte, sous la forme ${\bf R}/{\bf Z}\sim [0,1[$.
Comme le segment $[0,1[$ est de longueur $1$, cela conduit
à considérer que le volume ${\rm Vol}({\bf R}/{\bf Z})$
de ${\bf R}/{\bf Z}$ est $1$.

De même, on montre que tout adèle $x$ peut s’écrire
de manière unique sous la forme $x=q+r$, avec $q\in{\bf Q}$
et $r\in[0,1[\times{\bf Z}_2\times{\bf Z}_3\times\cdots\times{\bf Z}_p\cdots$.
Autrement dit,
${\bf A}/{\bf Q}\sim [0,1[\times{\bf Z}_2\times{\bf Z}_3\times\cdots\times{\bf Z}_p\cdots$.
Comme ${\bf Z}_p$ est l’équivalent $p$-adique du segment $[0,1]$,
il est naturel de lui attribuer un volume égal à $1$,
et on obtient donc
${\rm Vol}({\bf A}/{\bf Q})={\rm Vol}([0,1[)\times\prod_p{\rm Vol}({\bf Z}_p)=1$
car tous les termes du produit valent $1$.
Ce second indice de l’interconnexion des mondes réel et $p$-adiques
n’est que moyennement convaincant car il semble reposer sur
des conventions un peu arbitraires, mais le suivant l’est nettement plus.

Un petit miracle

Si $\Lambda$ est un anneau, on note ${\bf SL}_2(\Lambda)$
l’ensemble des matrices $2\times 2$
à coefficients dans $\Lambda$,
de déterminant $1$ [16].
Comme ci-dessus, on montre que
\[{\bf SL}_2({\bf A})/{\bf SL}_2({\bf Q})\sim ({\bf SL}_2({\bf R})/{\bf SL}_2({\bf Z}))\times{\bf SL}_2({\bf Z}_2) \times{\bf SL}_2({\bf Z}_3)\times\cdots,\] et donc
\[{\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf A})/{\bf SL}_2({\bf Q}))= {\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf R})/{\bf SL}_2({\bf Z}))\cdot\prod_p {\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf Z}_p)).\]
Le calcul du volume ${\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf R})/{\bf SL}_2({\bf Z}))$
est assez délicat (c’est une intégrale triple sur un domaine
pas si facile que ça à décrire) ; une méthode astucieuse
de Siegel (1945), revisitée par Weil (1946), fournit la formule [17]
\[{\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf R})/{\bf SL}_2({\bf Z}))=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots\]

Par ailleurs, si $a,b\in{\bf Z}_p$, on peut trouver $c,d\in{\bf Z}_p$ tels
que $ad-bc=1$ si et seulement si $a$ et $b$ ne sont pas simultanément
divisible par $p$. La proportion de tels couples est donc
$1-\frac{1}{p^2}$ et on a ${\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf Z}_p))=1-\frac{1}{p^2}$.
Un miracle apparaît alors : si on multiplie
$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots$ par $1-\frac{1}{2^2}$, on obtient
\[1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}-\frac{1}{6^2}-\cdots\,,\]
et il ne reste plus que les termes impairs.
Si on multiplie le résultat par $1-\frac{1}{3^2}$, on supprime de même
tous les termes divisibles par $3$, puis en multipliant
par $1-\frac{1}{5^2}$, on enlève
tous les termes divisibles par $5$... A la limite il ne reste
plus que $1$, et on obtient donc [18]
\[{\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf A})/{\bf SL}_2({\bf Q}))=(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots)(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{5^2})\cdots=1.\]

Plus généralement, on montre que
${\rm Vol}({\bf SL}_n({\bf A})/{\bf SL}_n({\bf Q}))=1$,
ce qui est un cas particulier de formules très générales,
dont beaucoup sont encore largement conjecturales
(conjectures de Bloch et Kato et de Fontaine et Perrin-Riou).
Celles-ci ont inspiré aux physiciens la théorie
des cordes $p$-adiques qui ne semble pas avoir
eu le succès espéré ; peut-être faut-il attendre
que les mathématiciens aient mieux compris ce qui se passe.