Dibujemos una circunferencia, tomemos dos puntos en ella, y tracemos la cuerda que los une :

¿En cuántas regiones divide al círculo ?

Evidentemente, en $2$ regiones.

Tomemos ahora $3$ puntos sobre una circunferencia, y tracemos todas las cuerdas que los unen :

¿En cuántas regiones queda ahora dividido el círculo por esas cuerdas ?

No es difícil contar : son $4$.

Tomemos ahora $4$ puntos... Aparecerán $8$ regiones :

¿Y si escogemos $5$ puntos ? Ya tenemos una secuencia que comienza con $2, 4, 8$. Es muy tentador decir que ahora debe aparecer un $16$. Hagamos el dibujo para ver que, efectivamente, esto es así :

Si tenemos $n$ puntos sobre la circunferencia y los unimos todos contra todos, debiéramos esperar que aparezcan $2^{n-1}$ regiones. Es más, esto debiera probarse por inducción, sin mucha dificultad....

En fin, esta ha sido la reacción que tuvieron mis colegas matemáticos a los que mostré la secuencia precedente de figuras. A decir verdad, ellos no se mostraron muy interesados...

¡Pero espera !, le dije a cada uno. Cuenta la cantidad de regiones cuando tomamos $6$ puntos sobre la circunferencia :

Ah, no es tan fácil... Hay que concentrarse un poco para hallar una estrategia... hay que estar seguro de contar cada región... y solo una vez... me equivoqué... encontré $31$ regiones... espera, voy nuevamente... de nuevo $31$... ¿$31$ ? ¿No debían haber $32$ ?

No, hay solo $31$. Señalemos de paso que es necesario colocar los puntos de manera tal que ningún trío de cuerdas pase por un mismo punto interior al círculo ; si no, tendríamos menos regiones.

Nuestra sucesión comienza por tanto así :
\[ 2, 4, 8, 16, 31. \]

¿Adivinas ahora el término siguiente ? No es para nada fácil, se lo concedo...

’’El libro de los números’’

Antes de indicarle la respuesta, quisiera develar mi fuente para este problema. Se trata del Libro de los números de John H. Conway y Richard K. Guy [1] :

Leí este libro con mucho placer. No se trata de una recolección de problemas, sino de un relato que lleva de paseo al lector al mundo de los números, desde los enteros naturales hasta los supra-reales introducidos por Conway, uno de los autores [2]. Muchas propiedades insólitas de números y secuencias numéricas más o menos célebres son presentadas allí. Estas propiedades son demostradas cuando no es demasiado complicado hacerlo. El ritmo es intenso. Una vez el libro abierto, no pude parar hasta terminarlo. Lo recomendaría a toda persona que aprecia los relatos matemáticos, y a todo profesor de secundaria en busca de ideas para animar clubes matemáticos.

Una prueba de irracionalidad

¿Se puede hallar ahí historias accesibles para los estudiantes de liceo ? Sí, algunas. Por ejemplo, así es como Conway y Guy explican la irracionalidad de $\sqrt{n}$ para cada entero natural $n$ que no es un cuadrado perfecto :

Supongamos por el absurdo que $\sqrt{n}$ es racional. Se puede entonces hallar una fracción $A/B$, con $A$ y $B$ enteros positivos, de modo que :
\[ n = \left(\frac{A}{B} \right)^2. \]
Esta igualdad puede escribirse así :
\[ \frac{A}{B} = \frac{nB}{A}.\]
Esta es una igualdad entre dos números racionales que no son enteros. Sus partes fraccionarias son, por tanto, iguales, lo que significa que existen dos enteros positivos $a,b$ tales que
\[ \frac{b}{B} = \frac{a}{A} \]
y, además, $a < A$ y $b < B$. Pero la última igualdad es equivalente a
\[ \frac{a}{b} = \frac{A}{B}. \]
Hemos hallado así una nueva fracción que representa a $\sqrt{n}$, con un numerador y un denominador estrictamente más pequeños que los de $A/B$. Continuando de esta manera, obtenemos sucesiones infinitas estrictamente decrecientes de enteros positivos, lo cual es absurdo. Concluimos entonces que $\sqrt{n}$ es irracional...

Retorno a las cuerdas

Para terminar, doy la respuesta a la pregunta planteada al inicio de este artículo :

Aquí, ${n-1 \choose k}$ denota el número de subconjuntos de $k$ elementos de un conjunto de $n-1$ elementos.

¿Cómo demostrar este teorema ? El método presentado en el libro consiste en numerar primero los puntos sobre la circunferencia desde $0$ a $n-1$ respetando su orden cíclico. Luego, a cada región se asocia una ’’etiqueta’’, que es un subconjunto de a lo más $4$ elementos del conjunto $\{1, 2, \dots, n-1\}$. El método de asociación de las etiquetas indicado por los autores aparece en la figura siguiente :

Por ejemplo, para los pequeños valores de $n$ considerados arriba, se obtiene las codificaciones siguientes para las regiones (a la región achurada está asociado el subconjunto vacío) :

El punto clave es que, de esta manera, se obtiene una biyección entre regiones y subconjuntos de a lo más $4$ elementos del conjunto $\{1, 2, \dots, n-1\}$. Para $n \leq 5$ se obtienen todos los subconjuntos de $\{1, 2, \dots, n-1\}$, lo cual explica por qué uno halla exactamente $2^{n-1}$ regiones [3]...

¿Estás de acuerdo en que este sería un hermoso tema de reflexión para un club matemático de un liceo ? [4]