En el transcurso de un estudio histórico de los trabajos de Fatou y Julia acerca de la iteración de fracciones racionales, uno de los autores de este artículo (que designaremos por la letra M, y al otro autor con la letra A) se interesó en la historia de las imágenes, específicamente de imágenes de ’’conjuntos de Julia’’.

Es habitual pensar que fue necesaria la llegada de los computadores para ver aparecer imágenes del conjunto de Julia. Incluso podríamos hablar de una ’’invasión’’, en particular por las imágenes de este artículo, pero no en lo que se refiere a su existencia, ya que Gaston Julia [1] había diseñado él mismo, a partir de 1917, un conjunto ’’de Julia’’ absolutamente realista en uno de sus manuscritos [2]. Aquí hay un diseño realizado por Tan Lei y su computador (para un artículo de este sitio) del conjunto que Julia había dibujado anteriormente... a mano.

Sin duda usted ya ha visto imágenes de este tipo [3]. Análogos son los ’’conjuntos límite’’, un ejemplo de los cuales vamos a dar en este artículo... De este ejemplo hay una antigua imagen, una figura dibujada ’’a mano’’ y, sin embargo, muy exacta.

Precisemos que no es necesario saber ni lo que es un conjunto de Julia ni lo que es un conjunto límite, para leer este artículo.

Los conjuntos de Julia fueron inventados y estudiados desde 1906 [4] ; los conjuntos límite figuraban ya en los trabajos de Poincaré y Felix Klein a fines del siglo XIX... Pero ¿hay figuras ’’de la época’’ sobre eso ? M se dirigió a algunos de sus colegas especialistas en conjuntos de Julia, a Xavier Buff por ejemplo, quien le habló a Étienne Ghys, el cual se acordó que vio una figura de conjunto límite en alguna parte en las Obras de Poincaré. Habiendo leído para este trabajo algunos artículos de Poincaré, la Memoria sobre los grupos kleinianos [5] especialmente, M tuvo la impresión contraria. Xavier siguió hablando en su entorno y transmitió la mención de un artículo ya antiguo de Mandelbrot en el cual cobrará interés una figura dibujada por un alumno de Felix Klein...

M se dedicó a hojear entonces los once volúmenes de las Obras de Poincaré. Étienne no estaba equivocado. En efecto, hay figuras, imágenes de conjunto límite... pero no en un artículo de Poincaré : esas figuras están en el undécimo volumen, uno de homenajes, y en un texto de Garnier [6], una conferencia dada en 1954 durante las ceremonias del centenario de Poincaré.

El artículo de Mandelbrot fue publicado en 1983 en la revista The Mathematical Intelligencer, y contiene una gran figura de un colaborador de Mandelbrot, diseñada por computador, así como una de las figuras de un libro de Fricke y Klein... que es una de aquellas que se encuentra justamente en el artículo de Garnier [7]. Las dos figuras representan el mismo conjunto límite. Reproduzcamos aquí la de Fricke y Klein.

El libro de Fricke y Klein se llama Lecciones sobre la teoría de las funciones automórficas, primera parte : los fundamentos en teoría de grupos [8]. Se trata, esencialmente a partir de cursos dados por Felix Klein, de un texto escrito junto a Robert Fricke (que había sido alumno de Klein) y publicado en 1897. El nombre del autor de las figuras no aparece en el libro. Es a este anónimo a quien nuestro artículo desea rendir homenaje.

Regresemos al artículo de Mandelbrot, que estaba muy contento con su propia figura, y comentaba triunfalmente la figura de Fricke y Klein así :

Hoy en día parece evidente que la figura 156 fue trazada por un desafortunado dibujante (según la leyenda, un alumno ingeniero de Fricke), a quien se le explicó cómo determinar exactamente algunos puntos del conjunto límite, y después se le dejó dibujar una curva ’’muy tortuosa [9] y complicada’’ que pasara por esos puntos. Como Fricke no sabía lo que debía esperar, no le dio ninguna indicación explícita al dibujante.

La figura de Mandelbrot, muy superior a la del libro de Fricke y Klein según su autor, no puede reproducirse aquí. No difiere esencialmente de la figura de arriba, producida por A para este artículo (una vez que se programa, muy simple, por escrito, basta algunos segundos para que un computador portátil de 2009 dibuje la figura).

Figura bastante incómoda, pues no se comprende casi nada (¿por dónde pasaron los círculos ?, ¿de qué se trata ?, ¿qué representan el blanco y el negro ?). M se dirigió finalmente a A, que ya le había fabricado y ofrecido gentilmente varias figuras, y que la derivó al libro Indra’s Pearls [10]... en el cual se puede leer, a propósito de otra figura del mismo tipo y del mismo libro de Fricke y Klein :

La figura 145 fue trazada por uno de los estudiantes de Klein, por suerte un dibujante dotado, cuyas bellas figuras no serían mejoradas antes del advenimiento del diseño por computador un siglo más tarde.

Una divergencia de opinión parece... y algo más : los matemáticos tienen una ’’conciencia de clase’’ muy bien formada ¿verdad ? El ’’desafortunado dibujante’’ sobre el cual ironiza Mandelbrot es un alumno de Fricke, él mismo a su vez un alumno un poco olvidado del gran Felix Klein, cuyo nombre ni siquiera aparece. Por cierto es Fricke quien dio las instrucciones, pero por supuesto él no conocía nada del asunto [11]...

¿De qué se trata ?

¿Y si explicamos de qué se trata ? Uno comienza con circunferencias, que están representadas en la siguiente figura [12].

Hay cinco, cada una tangente a otras dos o tres. Ellas dividen el plano en cinco regiones interiores (los cinco círculos delimitados por las cinco circunferencias) y tres regiones exteriores. Tomemos nuestro tarro de pintura digital [13] y coloreemos esas últimas.

A estas regiones les llamamos ’’polígonos’’. Como se ve en la figura, corresponden a :

- un ’’triángulo’’, limitado por tres ’’lados’’ que son los arcos de nuestras circunferencias (el triángulo está pintado de naranjo) ; es la parte llamada $\bar{P}''$ sobre la figura original, la del ’’desafortunado dibujante’’ ;

- un ’’cuadrilátero’’ limitado por cuatro ’’lados’’ (es la parte pintada en verde oscuro), el $\bar{P}'$ en la figura original ;

- y un ’’pentágono’’ (la parte en violeta oscuro ’’fuera’’ de los cinco círculos), el $\bar{P}$.

Conocemos las reflexiones, también llamadas simetrías axiales. Tomemos un punto del plano, así como una recta llamada eje de reflexión, y dibujemos la recta perpendicular al eje que pasa por el punto. Miremos el punto situado sobre la perpendicular, a la misma distancia del eje que el primero, pero del otro lado : es el simétrico del primer punto en relación al eje.

Ciertamente, es más claro con la figura de abajo :

El simétrico (la reflexión) de un objeto puede calcularse (y definirse) punto por punto, como por ejemplo entre la letra R y la letra cirílica Я (llamada Ya).

Cambiemos ahora de punto de vista. Consideremos cada simetría axial como una operación que uno puede efectuar sobre una figura. Se habla también de transformación. Si efectuamos dos veces la misma operación de simetría, encontramos la figura de la cual partimos. No solamente es la misma, sino que se sitúa en el mismo lugar. Por el contrario, si efectuamos una simetría y después otra en un eje diferente, obtenemos ya sea una rotación o una traslación : la figura es la misma pero se movió.

Nos damos ahora varios ejes, digamos tres (las tres rectas blancas de la figura de abajo). Les corresponden tres simetrías ’’de base’’ : las nombramos a, b, y c. Es divertido mirar todas las imágenes de una (misma) figura que obtenemos cuando la ’’hacemos pasar’’ sucesivamente un número cualquiera de estas simetrías ’’de base’’, 1, 2, 3, 4, 5,... hasta el infinito, y en un orden arbitrario : por ejemplo, a, b, a, c, b. En términos técnicos, las transformaciones a b y c se
componen. Con tres ejes bien elegidos, se puede obtener esto :

Los ejes de las reflexiones son las rectas blancas, soportes de los tres lados de uno de los triángulos violeta, que tiene por ángulos 30°, 60° y 90°. Sus diferentes imágenes están representadas en violeta o en malva según si el número de reflexiones correspondiente es par o impar [14].

Menos conocida (pero en el mismo estilo) es la inversión. Se reemplaza la recta, eje de la reflexión, por una circunferencia y se ’’invierte’’ en relación a ella. Tomamos un punto del plano. Trazamos la semirrecta que parte del centro de la circunferencia y pasa por el punto. Finalmente, miramos el punto situado sobre esta semirrecta tal que la distancia al centro dividida por el radio del círculo sea el inverso de la distancia del punto de partida al centro dividida por el radio del círculo... Un pequeño dibujo para ayudar :

Si uno efectúa una inversión sobre la letra R, se obtiene :

Las inversiones tienen una propiedad extraordinaria. La imagen de cualquier círculo es un círculo (salvo si pasa por el centro : entonces la imagen es una recta) [15].

Pero volvamos a nuestras cinco circunferencias tangentes. Las cinco inversiones que les corresponden determinan un nuevo conjunto de transformaciones. Recordemos las tres zonas coloreadas hace un momento, aquellas que no están contenidas en los círculos. Tomando sus 3x5 inversas según las cinco circunferencias, luego las inversas de esas inversas (un poco como las reflexiones secundarias)...

... luego las 4x4x3x5 siguientes...

... etc... se obtiene un teselado [16].

El conjunto límite es el nombre dado al conjunto de puntos del plano que no están cubiertos por el teselado. Aparece en negro en el dibujo de arriba. Es la curva tortuosa de la figura original. Si uno aplica una de las inversiones a un punto del conjunto límite, uno encuentra aún un punto de este conjunto límite. Se dice que este es invariante [17].

El conjunto-límite y la figura del dibujante

La figura (realizada por A y su computador) muestra :

• las cinco circunferencias que definen las inversiones utilizadas [18] (en blanco) ;
• los tres ’’polígonos’’ que determinan los círculos y que ya coloreamos de verde, anaranjado y violeta ;
• sus respectivas imágenes por inversiones [19], en verde, anaranjado, violeta ;
• lo que uno llama el conjunto límite (en negro), que es la frontera entre los colores y que justamente es la curva tortuosa que interesaba a Klein, Fricke, y que dibujó nuestro anónimo.

La yuxtaposición de la figura de A y aquella del libro de Fricke y Klein muestra hasta qué punto esos dos autores y el dibujante habían comprendido bien lo que pasaba, ya que fueron capaces de concebir en 1897 una curva conteniendo tanto del verdadero conjunto límite (la curva muy ondulada y los círculos dibujados en negrita). A esta figura le falta lo que va a producir el conjunto-límite invariante, es decir las pequeñas ’’copias’’ de la curva ondulada colgadas de los círculos tangentes dibujados en negrita, y así sucesivamente (¡no dude en hacer zoom a la imagen del final del artículo para admirar esas pequeñas copias !).

La superposición de las dos figuras, realizada abajo, muestra hasta qué punto la curva ondulada era exacta (en rojo, la del computador de A).

Y si uno partiera de otros círculos...

Cuando transformamos el triángulo violeta aplicándole todas las reflexiones, logramos recubrir todo el plano de triángulos violetas y malvas que no se recortan más. Es desde luego porque elegimos ángulos de 90, 60 y 30 grados. Con un triángulo ’’un tanto como cualquiera’’, la situación habría sido muy distinta, y la figura mucho menos clara.

Es igual si se modifica nuestros cinco círculos, especialmente bien elegidos [20]. No vamos a decir nada más en este artículo.

Historia de la figura : recapitulemos

Hasta donde sabemos, las primeras figuras de conjunto límite se encuentran en el libro de Fricke y Klein (en 1897).

No sabemos quién era el dibujante, ni quién le dio las instrucciones para realizar las figuras.

La figura 156 ha sido reproducida sucesivamente en :

• el artículo de Garnier (en 1954),

• el libro de Magnus [21] (en 1974, la fuente fue citada) --- una referencia que nosotros descubrimos durante la escritura de este artículo  [22],

• el artículo de Mandelbrot (en 1983),

• finalmente en 2009 (en el libro al cual nos referimos en la nota 2 y) en el presente artículo.

(Una figura bastante parecida del mismo libro de Fricke y Klein había sido reproducida en

• el libro Indra’s Pearls (en 2002)).

Haga zoom a su gusto en el conjunto límite. Fricke y Klein habrían soñado con eso. No nos privemos de ese placer :

Los matemáticos lo supieron por los años 1980 : un computador bien programado dibuja rápido y bien. Los computadores de 2009 dibujan incluso mejor y aún más rápido. Todavía falta decirles lo que uno desea que la figura muestre.

Aquí rendimos homenaje a la calidad y claridad de las figuras realizadas por nuestro anónimo.