En 1911, Otto Toeplitz proponía la siguiente pregunta
 [1] :

Dada una curva cerrada del plano que no pasa dos veces por el mismo punto, ¿es siempre posible hallar cuatro puntos sobre ellas que formen un cuadrado ?

En la figura siguiente, el cuadrado rojo está inscrito en la curva negra.

Un carré inscrit dans une courbe

La pregunta es : ¿será cierto que todas las curvas poseen un cuadrado inscrito ?

¡Aún en 2020 no conocemos la respuesta ! Muchos progresos ha habido en torno a esto, pero todavía falta lo esencial...

Un desafío

Comencemos por un caso ’’fácil’’, aquel en que la curva es un triángulo.

Ejercicio : Dado un triángulo en el plano, prueba que se puede hallar cuatro puntos sobre los lados que forman un cuadrado.

Entusiasmados con nuestro suceso, pasemos a los cuadriláteros.

Ejercicio : Dado un cuadrilátero en el plano, prueba que se puede hallar cuatro puntos sobre los lados que forman un cuadrado.

¿Y para un polígono cualquiera ?
Es sabido que todo polígono contiene un cuadrado inscrito. La primera demostración usaba técnicas relativamente elaboradas de análisis, y se debió esperar hasta un artículo de 2008 de Igor Pak para tener una prueba que solo use métodos ’’elementales’’ (¡aunque no fáciles !)
 [3].

Una larga historia

En 1913, Arnold Emch respondió afirmativamente a la pregunta suponiendo que la curva es convexa
 [4].
Esto quiere decir que puede cortar a una recta en un máximo de dos puntos. En la figura, la curva de la izquierda es convexa, mientras que la de la derecha no lo es.

Courbe convexe à gauche et non convexe à droite

En 1915
 [5], el mismo autor respondió también de manera positiva bajo la suposición de que la curva es ’’suficientemente regular’’
 [6].
Técnicamente, se supone que la curva está formada de un número finito de trozos ’’analíticos’’.

En 1929, Schnirelman demostró el mismo resultado, pero relajando considerablemente la condición de regularidad : se asume simplemente ’’que la curva es dos veces diferenciable, y que la segunda derivada es continua’’
 [7].
A decir verdad, la prueba de Schnirelman fue publicada recién en 1944, pues no era del todo correcta ; ella fue corregida en 1965 por Heinrich Guggenheimer
 [8].

En 1950, Ogilvy publicó la solución del problema general, sin ninguna condición de regularidad para la curva... Lamentablemente, su prueba era falsa...
Para un matemático de hoy, leer este artículo hâta hallar el error es un ejercicio muy interesante
 [9].

En 1989, Walter Stromquist probó la existencia de un cuadrado inscrito asumiendo apenas la existencia de una derivada
 [10].

El mejor resultado al día de hoy es el de H. Brian Griffiths y data de 1991
 [11].
Él supone que la curva ’’no se enrolla’’. Para explicar lo que esto significa, considera un punto $p$ sobre la curva y observa la porción de la curva situada dentro de un disco pequeño centrado en $p$ y de radio $r$. Para cada par de puntos distintos $x,y$ de la curva en dicho disco, considera la recta $xy$ que los une, a la que podemos llamar una ’’cuerda’’ de la curva. Decimos entonces que la curva no se enrolla en torno al punto $p$ si existe un radio $r$ y una recta $D$ tal que ninguna de estas cuerdas es paralela a $D$.

Observa la figura siguiente. La curva está dibujada en negro. El punto $p$ está marcado en azul. En el disco rojo, centrado en $p$, he dibujado un cierto número de cuerdas ()en trazos azules punteados). Se aprecia que las cuerdas van en todas las direcciones. Sin embargo, la curva negra interseca al disco verde (más pequeño que el rojo) en una porción casi rectilínea. Las cuerdas que unen dos puntos de esta porción van todas casi en la dirección noroeste-sudeste. Ninguna de esas cuerdas va en la dirección norte-sur. La curva no se enrolla.

Les cordes dans un disque

He aquí un ejemplo de una curva que se enrolla.

Une courbe qui tournicote

Para todo disco centrado en un punto de esta curva (sin importar qué tan pequeño sea) y para toda recta $D$, la intersección de la curva y el disco contiene dos puntos $x,y$ que definen una cuerda $xy$ paralela a $D$.

Esto no impide que la curva contenga cuadrados inscritos, tal como se aprecia a simple vista.

Estas hipótesis de regularidad son desagradables, y uno quisiera evitarlas. Ellas no parecen estar relacionadas con el problema de manera fundamental.

La historia de la conjetura de Toeplitz es en realidad bastante más rica. El problema se enuncia de manera sencilla, y desde hace más de cien años fascina a los amateurs. Espero que algún lector de Paisajes Matemáticos pueda hallar la solución general.

Para una descripción más completa de la historia del problema, se puede consultar el artículo de Igor Pak citado arriba.

¿Y para qué todo esto ?

¿Este problema es un pasatiempo, un enigma, un desafío, o una conjetura seria ?
Yo pienso que merece ser considerado como una conjetura seria, ya que cumple ampliamente los criterios de Hilbert :

• El problema es venerable (centenario).
  Es claro que no es suficiente que un problema sea antiguo para que sea interesante. Sin embargo, el hecho de que muchos matemáticos se interesen en él de manera continua desde hace un siglo es un argumento más convincente.

• El problema se enuncia de manera simple.
  Frente a un problema complejo, no es raro que los matemáticos lo simplifiquen hasta el extremo para llegar a su ’’substancia medular’’. Esto era lo que Henri Poincaré escribió (a propósito de otro problema) :

’’Basta con referirse sobre lo que escribí a propósito del asunto para entender la complejidad extrema del problema : junto con la dificultad principal, aquella derivada del fondo mismo de las cosas, existe una gama de dificultades secundarias que vienen a complicar aún más la tarea del investigador. Habría por tanto un interés en estudiar primeramente un problema en que uno solo encuentre la dificultad principal, desprendiéndose de todas las dificultades secundarias’’
 [12].

De cierta manera, la conjetura de Toeplitz no es muy interesante en sí misma ; se trata sencillamente de un ejemplo de problema de existencia en el cual la dificultad principal está presente, pero donde uno se ha liberado de dificultades secundarias.

• Las soluciones parciales conocidas del problema hacen intervenir métodos que son útiles en otros dominios. Volveremos sobre este punto más adelante.

• Incluso sin haber sido resuelto, el problema ha generado muchos otros.
  Algunos son igual de difíciles, pero otros han sido resueltos.
  No puedo describirlos todos acá.
  La curva inicial estaba trazada en el plano.
  Tracémosla en el espacio, y -por qué no- en el de dimensión $n$.
  ¿Se puede hallar cuatro puntos de la curva que formen un cuadrado ?
  Ciertamente, no es posible en todos los casos.
  Intenta conjeturar algo en esta dirección.
  Y luego, trata de probarlo...

Argumentos topológicos

Considera una función continua $f$ definida sobre el intervalo $[0,1]$ y a valores reales. Supongamos que $f(0)$ es positivo y $f(1)$ negativo. Entonces, el teorema del valor intermedio afirma que la función $f$ debe anularse en alguna parte entre $0$ y $1$, es decir, existe $a$ tal que $f(a)=0$.
Esto parece evidente.
En efecto, cuando $x$ varía de $0$ a $1$, el valor de $f(x)$ es positivo al inicio y negativo al final, por lo que debe anularse en algún momento.
Ciertamente, un matemático no se contenta con esta evidencia : necesita de una prueba formal para validarla.

Este teorema nos da el ejemplo más simple posible de una prueba de existencia por un argumento topológico.

He aquí un ejemplo de aplicación.

Considera una función continua $f$ definida sobre una circunferencia y a valores reales. Existe entonces dos puntos antipodales sobre la circunferencia para los cuales la función toma valores iguales.
Esto es fácil de constatar : la posición sobre la circunferencia queda descrita por un ángulo $x$ comprendido entre $0°$ y $360°$, de modo que se puede pensar en $f$ como siendo una función continua del ángulo $x$.
Hacemos entonces $g(x)= f(x+180)-f(x)$, y observamos que $g(x+180)=-g(x)$.
En consecuencia, si $g$ no es siempre nula, ella toma dos valores de signos diferentes, por lo que debe anularse.
Existe, por tanto, un $x$ tal que $f(x+180) = f(x)$.

Si compartes una pizza pepperoni con un amigo pero los pepperoni están mal distribuidos sobre la pizza, ¡siempre es posible cortar la pizza en dos mitades de modo que cada uno tenga la misma cantidad !

Coloca ahora una mesa cuadrada (con cuatro patas de la misma longitud) sobre un suelo que no es del todo plano.
Las cuatro patas no quedan en un mismo plano, y la mesa tambalea.
¿Es posible girar la mesa de modo de asegurar que los cuatro pies queden en un mismo plano ?
La respuesta es afirmativa ; he aquí cómo NO probarlo.

Escojamos tres de las cuatro patas.
Levantemos la mesa y hagámosla girar en torno a su centro en un ángulo $x$ (entre $0$ y $360°$).
Bajemos la mesa verticalmente de modo que las tres patas escogidas toquen el suelo.
La cuarta pata se halla entonces a una altura $f(x)$ respecto al suelo.
El lector objetará que no se puede colocar las tres patas sobre el suelo ya que la cuarta lo impide si $f(x)$ es negativo.
Esto simplemente es imposible.
Pero nosotros somos matemáticos, y podemos imaginar un suelo ’’virtual’’ que puede ser ’’atravesado’’ por la cuarta pata.
Esta puede, por tanto, hallarse bajo el suelo cuando las tres otras están a nivel del suelo.
No hay problema en que $f(x)$ sea negativo.

Un instante de reflexión muestra que $f(x+180)= f(x)$
Si ahora definimos $g(x) = f(x+90)-f(x)$, entonces $g(90)=-g(0)$, por lo que existe un ángulo $x$ tal que $g(x)=0$, es decir $f(x)=f(x+90)$. Afirmamos ahora que $f(x)=0$... ¡Esto es fácil de constatar ! (ejercicio para el lector).

En otras palabre, hemos probado que, haciendo girar la mesa en torno a su centro en un cierto ángulo, las cuatro patas estarán a nivel del suelo.
Q.E.D.

Esta demostración no es correcta. Así me lo hizo notar Amic, un lector de una primera versión de este artículo (se lo agradezco sinceramente).

El teorema de la mesa

Girando la mesa se puede lograr que las cuatro patas toquen el suelo.
¡Muy bien !
¿Pero la mesa queda horizontalmente dispuesta ?
No necesariamente...
Por ejemplo, imagina que el suelo sea un plano inclinado.
Es claro entonces que es imposible disponer horizontalmente la mesa.

Consideremos una función continua $h$, definida sobre el plano, que representa la altura del suelo sobre un plano horizontal de referencia. Supongamos que la función $h$ sea nula fuera de cierto disco. Tomemos una mesa cuadrada, es decir, que el suelo sea horizontal fuera de ese disco. ¿Es posible colocar la mesa de modo que las cuatro patas toquen el suelo y que quede horizontal ? ¡Evidentemente ! : basta con colocarla en la zona exterior al disco, allí donde el suelo es horizontal. Esta solución, sin embargo, no es muy interesante... ¿Qué tal si imponemos que el centro de la mesa quede situado sobre el disco en el que se supone que el suelo no es horizontal ?

Y bien, ¡esto es posible ! Así lo afirma el teorema de la mesa probado por Roger Fenn en 1970
 [19].

La demostración también es topológica, en el espíritu del teorema del valor intermedio, aunque mucho más delicada. Antes teníamos apenas una variable : el ángulo $x$ de rotación de la mesa.
Ahora debemos también desplazar la mesa sobre el plano. Al componer una translación con una rotación, aumentamos el número de variables a tres.
De cierta forma, debemos resolver tres ecuaciones con tres incógnitas, con la dificultad extra de que no son ecuaciones que podamos manipular algebraicamente.
La topología puede ayudarnos a probar que ciertas ecuaciones poseen soluciones mediante argumentos puramente cualitativos.

He aquí un ejemplo de un teorema tipológico, debido a Brouwer (ver este artículo para más detalles).

Sea $C$ un cuadrado en el plano, por ejemplo, aquel definido por $0\leq x\leq 1, 0 \leq y \leq 1$.
Sea $f$ una aplicación continua de $C$ en sí mismo.
Suponemos que para todo punto $p$ del borde de $C$ (los cuatro lados), se tiene $f (p) = p$.
Entonces, para todo punto $(a,b)$ del interior del cuadrado, existe un punto
$(x,y)$ del cuadrado tal que $f(x,y) = (a,b)$.

En el teorema del valor intermedio, la variable es un número que pertenece a un segmento.
En este teorema topológico, la variable $(x,y)$ es un punto del cuadrado.
En ambos casos, el teorema afirma la existencia de una solución a una ecuación.

La demostración no es sencilla.
Se podría imaginar en una idea del siguiente tipo, que lamentablemente no es suficiente.
Fijando $a$ entre $0$ y $1$, observemos el conjunto $c_1$ de puntos $(x,y)$ tales que la primera coordenada de $f(x,y)$ sea $a$.

Este conjunto quizás ’’se parece’’ a una curva que une los dos puntos del borde $(a,0)$ y $(a,1)$ (en rojo en la figura).

De la misma manera, podemos considerar el conjunto $c_2$ formado por los puntos $(x,y)$ tales que la segunda coordenada de $f(x,y)$ sea $b$. Se trata de una ’’curva’’ que une $(0,b)$ y $(1,b)$ (en negro en la figura).

La courbe rouge va de bas en haut, la courbe noire de gauche à droite : il faut qu’elles se rencontrent

Ahora bien, si tenemos dos curvas en un cuadrado que unen lados opuestos, ¡necesariamente se encuentran ! Un punto de intersección $(x,y)$ verifica $f(x,y)= (a,b)$, y nuestro teorema queda demostrado.

Pero, evidentemente, ¡no hemos demostrado nada !
No hemos probado que $c_1,c_2$ sean curvas (y, de hecho, no siempre lo son...), ni que dos curvas como las de arriba deban encontrarse. Sin embargo, el teorema es válido, pero requiere de una prueba más sutil que la trampa bosquejada aquí.

Un teorema análogo es válido para aplicaciones de un cubo sobre sí mismo.

Es armándose de teoremas de este tipo, aunque más complicados, que se puede probar el teorema de la mesa.

Una idea para aproximarse topológicamente a la conjetura

Por definición, una curva cerrada $c$ en el plano es la imagen de una circunferencia $C$ por una función continua $f$ a valores en el plano.

Dos puntos de $C$ corresponden entonces a dos puntos de $c$.
Una pareja de puntos de $c$ queda entonces descrita por un punto de $C \times C$, producto al que llamamos toro.

Un tore

Veamos cuál es la condición para que una pareja $(p,q)$ de puntos de la curva pueda ser completada en un cuadrado inscrito.
Debemos hacer girar en $90°$ (digamos, en el sentido de las manecillas del reloj) el punto $q$ en torno al punto $p$ : obtenemos un punto $r$.
No hay ninguna razón para esperar que este punto $r$ esté sobre la curva.
El conjunto de los pares de puntos $(x,y)$ del toro $C \times C$ tales que el punto $r$ asociado a $p=f(x)$ y $q=f(y)$ está sobre la curva $c$ es una parte $U$ del toro.

También podemos girar el punto $p$ en torno a $q$ en el contrasentido de las manecillas del reloj : obtenemos un punto $s$. Los pares $(x,y)$ del toro tales que $s$ está sobre $c$ es una porción $V$ del toro.

debemos probar ahora que $U$ y $V$ se intersecan.
En efecto, si $(p,q)$ está a la vez en $U$ y en $V$, entonces disponemos de los cuatro puntos $p,q,r,s$ sobre la curva, formando así un cuadrado

Desearíamos probar que $U$ se paresse a una curva del toro ’’que gira en torno a la primera circunferencia’’ mientras que $V$ gira en torno a la segunda.
Además, quisiéramos probar que, de la misma manera que nuestras dos curvas que atraviesan el cuadrado necesariamente se encuentran, $U$ y $V$ también deben intersecarse.
Vemos entonces que debiéramos usar teoremas topológicos.
Auizás sea posible, pero no parece fácil.

Notemos de paso que sabemos que $U$ y $V$ se cortan.
Ciertamente, si $x=y$, entonces $p=q=r=s$, y hemos hallado un cuadrado inscrito en la curva.
Pero este cuadrado no nos interesa, pues sus cuatro vértices se confunden.
Una demostración convincente debe deshacerse de estas soluciones ’’triviales’’, y es por esta razón que los autores introducen condiciones de regularidad.

El método de continuidad de Poincaré

Para concluir, quisiera explicar aquí las grandes líneas de un método general muy potente inventado por Henri Poincaré.
De acuerdo a la información que tengo, este no ha sido explícitamente utilizado en el contexto de la conjetura de Toeplitz, pero pareciera que sirvió de motivación a Schnirelman, quien, en 1929, probó su teorema con una hipótesis de regularidad.
Otra prueba en este espíritu se halla en la prepublicación reciente de Pak citada más arriba, la cual muestra la existencia de un cuadrado inscrito en un polígono arbitrario.

Intentemos resolver la ecuación $x^2=a$.
Obviamente, si a>0, entonces esta ecuación posee dos soluciones reales ; si a=0, ella posee una solución ’’doble’’ ; y si a<0 , no tiene solución (real).

De manera más general, cuando uno busca resolver una ecuación polinomial, como por ejemplo $x^4/4-x^3/3-3x^2 = a$, y se hace variar el valor de $a$, entonces el número de soluciones depende del valor de este parámetro $a$.

Para ciertos valores de $a$, una raíz múltiple aparece o desaparece.
En el gráfico se aprecia que hay 0 soluciones para $a<-63/4$, dos soluciones para $-63/4

La observación de base es que cuando aparece o desaparece una raíz múltiple, el número total de soluciones a nuestro problema aumenta o disminuye en un número par. En otras palabras, el número de soluciones (contadas con multiplicidad) de una ecuación como $P (x) = a$ es siempre par o impar, independientemente de $a$ [20]. Si sabemos, por una razón u otra, que para un cierto valor de $a$ solo hay una solución, deducimos que el número de soluciones siempre es impar y, en particular, que dicho número no es nulo. En este caso, sabemos que hay al menos una solución para la ecuación.

El método de continuidad es entonces el siguiente. Se desea probar que un problema tiene al menos una solución. Se sabe que un problema similar, pero diferente y probablemente más fácil, tiene una solución única. Se distorsiona gradualmente el problema más fácil, admitiendo una solución única, hacia el problema inicial. Durante la deformación, parametrizada por un número a, se analiza si una solución puede desaparecer o si puede aparecer una nueva. Se demuestra que, así como para una ecuación polinómica, la paridad del número de soluciones no depende de $a$. Como solo había una solución para el problema más fácil (y 0 no es impar), debe haber al menos una solución para todo $a$ y, en particular, para el problema inicial.
¡’’Q.E.D.’’ !

¿Cómo poner en práctica este método para los cuadrados inscritos en una curva dada ?
Se puede empezar con una elipse, para la cual es evidente que hay exactamente un cuadrado inscrito.
Y luego, nos las arreglamos para deformar la elipse progresivamente para que acabe transformándose en la curva dada...
¡Y listo !

Contra-ejemplos

Frente a una conjetura, el mundo de los matemáticos se divide en dos partes.
Están quienes buscan probar que es falsa tratando de construir un contra-ejemplo, y quienes, por el contrario, procuran demostrarla.

Si existiese una curva sin cuadrado inscrito, sabemos que tendría que enrollarse.
Existen bellas curvas que se enrollan mucho, y que son bastante conocidas por los matemáticos. Arriba vimos una, y aquí se describe otra.
¿Será posible hallar curvas como esas sin cuadrado inscrito ?

Por otra parte, cuando uno quiere demostrar una conjetura, a veces es útil generalizar al extremo el enunciado, ¡sin importar que esto implique conjeturar locuras mayores aún !
He aquí un enunciado que bien podría ser válido... siendo optimistas.
Sea $K$ una parte del plano que verifica las tres condiciones siguientes :

• $K$ es cerrado : todo límite de puntos de $K$ pertenece a $K$.

• $K$ es acotado : está contenido dentro de un disco.

• $K$ desconecta : existen dos puntos $x,y$ del plano que no están en $K$ para los cuales es imposible unirlos mediante un camino completamente fuera de $K$.

Por ejemplo, la zona roja de la figura siguiente verifica estas condiciones.

¿Será que $K$ contiene cuatro puntos que forman un cuadrado [21] ?

¡Elige una opción ! ¿Contra-ejemplo o prueba ?

En fin, esta conjetura de Toeplitz es a la vez simple de enunciar y difícil a demostrar, y sugiere un arsenal de métodos topológicos.