Un lenguaje necesario para razonar y demostrar en matemáticas

Le 6 octobre 2017  - Ecrit par  Denise Grenier
Le 12 juillet 2021  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Un langage nécessaire pour raisonner et prouver en mathématiques Voir les commentaires
Lire l'article en  

La expresión del pensamiento matemático requiere un lenguaje específico : las palabras con significados precisos son esenciales para definir los conceptos y hacerlos operativos para ’’hacer matemáticas’’. Si bien algunas de estas palabras se crean para uso matemático, muchas provienen del lenguaje natural, y su uso no siempre es adecuado.

En el habla cotidiana, muchas de nuestras oraciones se construyen con las conjunciones coordinadas « y » y « o », con « si ... entonces ... », « por lo tanto », con « todos » o « ninguno », o con la construcción de palabras compuestas para las formas negativas. Todos estos términos se utilizan para designar conceptos de lógica matemática, con significados propios que pueden ser diferentes a los del lenguaje natural.

Veamos un ejemplo. Considere las siguientes dos frases : ’’En esta estación, todos los mostradores están cerrados un día de la semana’’ y ’’En este hospital, todos los médicos están de licencia un día de la semana’’. Las estructuras de estas dos frases parecen idénticas, pero es probable que sus contextos den lugar a diferentes interpretaciones razonablemente diferentes : si bien se puede suponer que la estación está cerrada en un día determinado (por ejemplo, el domingo, como es el caso de un campus universitario), dudaremos en pensar que hay un día de la semana sin médico en el hospital. Podríamos reescribirlas de la siguiente manera : ’’En esta estación, hay un día en que todos los contadores están cerrados’’ y "En este hospital, todos los médicos tienen un día libre durante la semana’’. Entonces hay una inversión del orden de los dos adjetivos ’’todos’’ y ’’uno’’, que corresponden a los cuantificadores lógicos ’’cualquiera’’ y ’’existe’’. Esta inversión es fundamental, ya que da lugar a dos interpretaciones diferentes de la oración.

También hay situaciones en que la interpretación de una oración en lógica matemática entra en conflicto con la de la lógica ’’natural’’. Pongamos otro ejemplo. Un padre le dijo a su hijo : ’’Si comes tu sopa, [entonces] tendrás postre’’. El niño comprende (¡a menos que sea un lógico en ciernes !) que si no come su sopa, no comerá postre. Y eso es lo que el padre quería decirle, de acuerdo con una concepción ’’positiva no vinculante’’ de la educación. Sin embargo, la estructura lógica ’’si ..., entonces ...’’ subyacente a esta oración no tendrá este significado en matemáticas : no solo diría que si el niño come su sopa, tendrá derecho a su postre, sino también que el niño puede comer un postre incluso ¡si no come su sopa !. Sin embargo, la oración pronunciada por el padre se interpretará en su mayoría, en la vida cotidiana, como ’’si y solo si’’, o al menos será confundida con su recíproco : ’’Si no comes tu sopa, no tendrás postre’’.

Estos dos ejemplos muestran claramente que es necesario ’’limpiar’’ palabras comunes de sus significados inapropiados para el concepto matemático que están a punto de designar. Y el interés de este trabajo va más allá del aprendizaje de las matemáticas : al especificar el significado de las palabras y las reglas de composición y articulación lógica entre ellas, los discursos en la vida cotidiana también se vuelven más claros y se reducen los riesgos de malas interpretaciones. Además, el segundo ejemplo (¡y hay muchos más !) muestra que no se pueden construir conceptos lógicos sobre las frases de la vida cotidiana (no hay problema de malentendidos entre padre e hijo, aunque esto sea contrario a la lógica matemática).

Desde el punto de vista de los programas oficiales de docencia se anuncian (en Francia) dos ambiciosos objetivos : ’’comprender y expresarse utilizando lenguajes matemáticos, científicos e informáticos’’. Estos se repiten a lo largo del curso secundario. En la escuela secundaria, la lógica matemática es un tema central de aprendizaje. En particular, ella implica ’’distinguir los principios de la lógica matemática de los de la lógica del lenguaje cotidiano’’ y ’’distinguir la implicación matemática y la causalidad’’. Hemos visto en los dos ejemplos anteriores que esto no hace falta decirlo. Este es el caso de las nociones lógicas de propuesta, variable, conector (y, o, no, si..., entonces) y cuantificador (cualquiera, existe). Así, cualquier oración - incluso bien construida - no es una proposición en el sentido matemático. Para esto, debe estar ’’bien formada’’ : no debe depende del interlocutor para poder decidir si es verdadera o falsa. Esto puede darse directamente en el caso de una proposición cerrada, o asignando valores a las variables libres que contiene en el caso de una proposición abierta. El ’’o’’, más a menudo exclusivo en lenguaje natural, es inclusivo en matemáticas. El ’’si ..., entonces’’ en matemáticas no marca ni temporalidad ni causalidad : $A \implies B$, que se puede leer « si $A$ entonces $B$ », $A$ y $B$ siendo proposiciones, es una implicación estricta que es verdadera tan pronto como $ A $ es falsa, y cuya verdad no tiene relación con su ’’recíproco’’. La negación de ’’todos’’ no es ’’ninguno’’.

Sin embargo, para lograr estos objetivos de aprendizaje de la lógica matemática, la mera traducción de una oración a un lenguaje formal es insuficiente. La comprensión del ’’significado matemático’’ subyacente es compleja. Los investigadores y formadores de la educación han examinado estas cuestiones. Su trabajo está disponible en tesis (Ouvrier-Buffet 2003, Deloustal 2004, Gandit 2008, Mesnil 2014), artículos para profesores (Durand-Guerrier 1999, Grenier 2012, 2015 & 2017, Hache 2015, Gardes, Gardes & Grenier 2016), y en un trabajo colectivo del grupo ’’Logic’’ de la comisión de la escuela secundaria IREM (en curso). El objetivo general de esta investigación es mostrar la necesidad de un lenguaje específico para el aprendizaje de las matemáticas, analizar su complejidad y desarrollar un ’’conocimiento de referencia’’ para la enseñanza de la lógica, desde la primaria hasta la secundaria.

Para ’’hacer matemáticas’’ hay que saber argumentar, conjeturar, probar. Para ello, las matemáticas se han dotado de un conjunto de axiomas, definiciones y un lenguaje preciso, y no se puede evaluar realmente un argumento o una demostración sin ellos. En la vida cotidiana, la argumentación tiene como objetivo obtener apoyo para una declaración o idea. Pero eso no significa que una idea ’’opuesta’’ sea incorrecta : pueden ser opiniones diferentes que no se pueden negar o probar. En la práctica matemática, para que una oración sea una proposición debe poder formalizarse, y uno debe poder decir si es verdadera o falsa basándose en los axiomas o teoremas de una teoría. Una proposición matemática solo se reconoce como verdadera si se prueba.

Para aprender a ’’hacer matemáticas’’, las ’’situaciones de investigación para la clase’’ (SiRC) construidas y estudiadas por el equipo de investigación ’’matemáticas a modelar’’ (maths à modèler) (Grenier & nbsp ; & amp ; & nbsp ; Payan & nbsp ; 1998) y el el grupo “Lógica y razonamiento” del IREM de Grenoble (folleto SiRC 2016), llevan naturalmente a los estudiantes a expresarse para explicar su enfoque experimental, debatir una conjetura, ponerse de acuerdo sobre la validez de un ejemplo o un contraejemplo, convencer a cada uno otro de la validez de su solución. Por otro lado, sus resoluciones conducen a diferentes tipos de pruebas, algunas accesibles desde el final de la escuela primaria : hacer los casos exhaustivos, mostrar un ejemplo -para demostrar que ’’hay un mosaico’’ en los problemas de mosaico de polionimós, mostrar un invariante para refutar la existencia de una solución sin enumerar todos los casos particulares-, buscar caminos hamiltonianos en una cuadrícula, o incluso usar el razonamiento por inducción -para justificar que tenemos todas las soluciones en la situación « $n$ cuadrados en el cuadrado »-, etc.

En conclusión, la transición de la lógica natural a la lógica matemática no es un continuo, aunque se puede confiar en la intuición cuando es compatible con las necesidades del argumento. Por tanto, la educación debe hacerse cargo de las especificidades de los conceptos y reglas del razonamiento matemático. La práctica de estos conceptos y reglas es necesaria para comprenderlos y acceder al significado del lenguaje formal. Colocar a los estudiantes en grupos pequeños para ’’resolver un problema matemático (real)’’ naturalmente promueve los intercambios argumentativos y el debate, lo que ayuda a darse cuenta de la necesidad de un lenguaje matemático específico.

Bibliografía

  • DELOUSTAL-JORRAND V. (2004) Étude épistémologique et didactique de l’implication en mathématique. Tesis de la Université Joseph Fourier (en línea).
  • DURAND-GUERRIER V. (1999) L’élève, le professeur et le labyrinthe. petit x 50, 57-59 (en línea).
  • GANDIT M. (2008) Étude épistémologique et didactique de la preuve en mathématiques et de son enseignement. Une ingénierie de formation. Tesis de la Université Joseph Fourier (HAL).
  • GARDES D., GARDES M.-L., GRENIER D. (2016) État des connaissances des élèves de Terminale S sur le raisonnement par récurrence. petit x 100, 67-98.
  • GRENIER D (2017) La notion de répétition, obstacle épistémologique à la construction du concept de récurrence ? Collection « Du mot au concept ». Presses universitaires de Grenoble.
  • GRENIER D. (2015) De la nécessité de définir les notions de logique au lycée. Repères-IREM 100, 65-83 (fiche Publimath).
  • GRENIER D. (2012) Une étude didactique du concept de récurrence. petit x 88, 27-47 (en ligne).
  • GRENIER D., PAYAN Ch. (1998) Spécificités de la preuve et de modélisation en Mathématiques Discrètes. Revue de didactique des mathématiques 18.1, 59-100, éd. La Pensée Sauvage, Grenoble.
  • Groupe « Logique, raisonnement et SiRC » (2016) Situations de recherche pour la classe. Expérimenter, conjecturer et raisonner en mathématiques, éd. IREM de Grenoble.
  • HACHE Christophe (2015) Pratiques langagières des mathématiciens. Une étude de cas avec « avec ». petit x 95 27-43 (en ligne).
  • OUVRIER-BUFFET C. (2003) Construction de définitions / construction de concept : vers une situation fondamentale pour la construction de définition en mathématiques. Étude épistémologique et didactique de la définition. Tesis de la Universidad Joseph Fourier (HAL).
  • MESNIL Z. (2014) La logique : d’un outil pour le langage et le raisonnement mathématiques vers un objet d’enseignement. Thèse de l’Université Paris-Diderot (HAL).
Article original édité par Jérôme Germoni

Partager cet article

Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Un lenguaje necesario para razonar y demostrar en matemáticas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Image à la une - Extraído de la obra de Thierry Dejean y Marcelle Ponti-Rouxel ’’Jacques Rouxel, Les Shadocks, une vie de création’’, éditions du Chêne 2012 Hachette
Créditos de la imagen : aaa production
31 rue de Vincennes - 93100 Montreuil

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?