Un parquet de Penrose

Piste bleue Le 29 avril 2020  - Ecrit par  Thomas Fernique, Evgeny Poloskin
Le 16 octobre 2020  - Traduit par  Andrés Navas
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Este artículo presenta el proceso de elaboración de un parquet de aproximadamente 50 metros cuadrados basado en el embaldosado de Penrose. Esta es la oportunidad de redefinir formalmente los mosaicos de Penrose y recordar algunas propiedades matemáticas notables.

Embaldosados de Penrose

Hay muchas variaciones de los mosaicos de Penrose y distintas formas de definirlos. Consideramos aquí los mosaicos del plano por dos rombos, el fino y el grueso (con un ángulo pequeño de $ 36º$ y $ 72º$, respectivamente), que están dispuestos alrededor de cada vértice de una de las siete formas siguientes (considerando eventualmente además una rotación).

Estos embaldosados de Penrose tienen distintas propiedades notables. En primer lugar, estos existen, lo cual no es obvio dada la definición anterior. La ilustración general de uno de ellos se muestra a continuación (así como en la parte superior del artículo).

Incluso hay una infinidad de embaldosados de Penrose distintos [1]. Sin embargo, son localmente indistinguibles : cualquier patrón finito que aparece en uno de ellos aparece en todos los demás. Por lo tanto, la ilustración general anterior puede provenir de cualquier mosaico de Penrose, pues sería necesario poder representar el plano completo para diferenciar dos mosaicos.

Quizás lo más interesante es que las teselaciones de Penrose son no periódicas : ninguna se puede obtener repitiendo regularmente un patrón finito en una cuadrícula cuadrada. Sin embargo, son cuasi-periódicas : si un patrón aparece en algún lugar de un mosaico, entonces reaparece a una distancia limitada de cualquier punto de este mosaico (esto también es cierto para todos los mosaicos periódicos). En otras palabras, son relativamente regulares pero no demasiado... lo que no facilita su construcción pero les da un gran interés en la modelación matemática de los cuasi-cristales.

También tienen simetría local : si un patrón finito aparece en un mosaico, entonces su imagen por una rotación de ángulo $36 °$ también aparece en este mismo mosaico. Indudablemente, esta simetría no es ajena a su belleza, aunque algunos prefieran ver allí la marca del famoso número de oro, que da en particular la relación entre las proporciones de rombos gruesos y finos.

Realización práctica

De hecho, el valor estético de estos embaldosados se ha utilizado en algunas realizaciones arquitectónicas, cuya rareza es sin duda consecuencia de su complejidad (el sitio Eschertile enumera algunas). Relatamos aquí la realización por los autores de este artículo de una superficie cubierta con un parquet de Penrose en un departamento según el plano siguiente (más adelante volveremos sobre los medios matemáticos utilizados para dibujar este plano).

La primera etapa es la del corte (dos días de trabajo de dos personas). Compramos planchas de abeto (tablas claras) y de roble (tablas más oscuras) en un aserradero. Cortamos en $72º$ las tablas de abeto para obtener $2783$ diamantes gruesos y en $36º$ las tablas de roble para obtener $1781$ diamantes finos. Un cálculo muestra que los lados de estos rombos tienen la misma longitud cuando la relación de los anchos de las tablas de abeto y roble es $ \mathrm{sen} (72°) / \mathrm{sen} (36°) $, que no es otro valor que el del número oro $ \varphi \simeq 1,618 ...$ La sierra tiene una precisión de un milímetro, y pedimos tablas de $144 $ y $ 89 $ milímetros porque $ 144/89 $ es una muy buena aproximación del número de oro [2]. Los lados de los diamantes son entonces de $ 151,41$ milímetros y algo más, un error del orden de un micrómetro (insignificante en comparación con la precisión del corte).

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La segunda etapa es la del fresado (dos días). De hecho, gastamos los cuatro lados de cada uno de estos $4564$ diamantes con una peonza, para así cavar una muesca para que una lengua falsa (de haya) pueda unir las piezas adyacentes.

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La tercera etapa es la instalación (siete días). Siguiendo cuidadosamente el plano, preensamblamos las piezas en grupos de unas veinte piezas, marcamos la zona cubierta para cubrirla solo con pegamento (difícil de quitar cuando se seca) y ensamblamos la porción a las piezas ya pegadas. Una de las dificultades es formar siempre piezas que encajen bien : las pestañas falsas obligan a mantener una especie de convexidad en todas las piezas ya pegadas.

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La cuarta etapa es la del contorno (siete días). Las baldosas deben en efecto cortarse, y la forma peculiar del departamento (un perímetro de 70 metros para una superficie de menos de 50 metros cuadrados), así como la existencia de postes de soporte y rejillas de ventilación no nos facilitaron la tarea. Cortamos teja a teja con una sierra ingleteadora (que es larga y peligrosa pero da mejor resultado que una sierra circular guiada).

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El quinto y último paso es el de la finalización (cuatro días) :

  • * primer lijado grueso en dos direcciones y en los bordes con la biseladora ;
  • * segundo lijado más fino con una máquina monodisco de cuatro placas ;
  • * mezclar el aserrín del segundo lijado con un aglutinante de masilla para madera para rellenar las ranuras ;
  • * Tercer lijado fino con un monocepillo de cuatro placas ;
  • * aplicación de una base dura y luego dos manos cruzadas de agente vitrificante (con desmotado cada vez).

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Finalmente, he aquí algunas vistas generales del parquet (lamentablemente, tuvimos que colocar algunos muebles encima...)

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Realización teórica

La forma histórica de construir un mosaico de Penrose, descrito en el artículo original de Sir Roger Penrose (1974), consiste en iterar una sustitución [3]. Es más fácil trabajar con los triángulos obtenidos cortando en dos los diamantes gruesos y finos según su diagonal pequeña y grande, respectivamente. Un patrón formado a partir de tales triángulos se transforma de la siguiente manera : cada triángulo se divide en triángulos más pequeños (las dimensiones se dividen en proporción áurea). La siguiente figura muestra algunas iteraciones de esta transformación [4].

El punto clave es que esta transformación conserva la caracterización local de los mosaicos de Penrose, es decir, los 7 posibles arreglos de diamantes alrededor de un vértice. Por lo tanto, es suficiente iterarlo ad infinitum a partir de un mosaico simple, reiniciando cada vez el patrón ’’a escala’’ (multiplicación de dimensiones por el número áureo) para mantener siempre los triángulos. del mismo tamaño y eventualmente cubrir todo el plano.

Aquí hay otro método debido a Nicolaas de Bruijn (1981) : el corte y proyección. Considere primero un contexto más simple. Si dibujamos una línea en una hoja de cuadrícula y consideramos la banda obtenida al arrastrar un cuadrado a lo largo de esta línea, entonces los segmentos de la cuadrícula contenidos en esta banda forman una especie de escalera (figura siguiente).

Si luego proyectamos esta escalera sobre la línea inicial, obtenemos una teselación por dos mosaicos (las proyecciones de segmentos horizontales y verticales) que resulta ser periódica si y solo si la línea tiene una pendiente racional, y cuasi-periódica en todos los casos [5].

Ahora bien, esta construcción se generaliza muy bien para las dimensiones superiores. Así, la figura de abajo a la izquierda representa un mosaico obtenido de manera similar pero cortando una cuadrícula cuadrada tridimensional por un plano (en el enlace de una derecha). Luego obtenemos una especie de superficie escalonada, que naturalmente vemos coloreando las baldosas de manera diferente. La figura de la derecha representa lo mismo, pero cuando la cuadrícula cuadrada tiene cuatro dimensiones ... lo que obviamente se vuelve más abstracto, ¡pero la construcción sigue siendo exactamente la misma !

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Lo que demostró De Bruijn es que cualquier mosaico de Penrose puede obtenerse cortando una cuadrícula en cinco dimensiones por un plano bien elegido [6]. En otras palabras, aunque los mosaicos de Penrose no son periódicos, podemos dar una descripción de él a partir de una cuadrícula regular como la de cualquier mosaico periódico ... ¡yendo a la quinta dimensión !

Los lectores atentos no habrán dejado de notar que una de las habitaciones del departamento está decorada con un pavimento que no es un pavimento de Penrose. Por ejemplo, contiene estrellas formadas a partir de 10 diamantes finos, que no forman parte de los 7 arreglos específicos de los mosaicos de Penrose. De hecho, es un mosaico de Penrose generalizado obtenido por el método de corte y proyección anterior simplemente cambiando el plano de corte (sin cambiar la pendiente). Estos mosaicos tienen exactamente las mismas propiedades que los mosaicos de Penrose (no periodicidad, cuasi-periodicidad, etc.) excepto que tienen patrones diferentes. Forman una familia que se puede representar muy bien en el video de abajo [7]. Lo que, además, hizo decir a un matemático impertinente que Sir Penrose solo habría descubierto una parte infinitesimal de las teselaciones de Penrose (lo cual ofendió a este último hasta el punto de tener que pedirle disculpas [8]).

Post-scriptum :

La redacción de Paisajes Matemáticos y los autores agradecen al relector Sébastien Peronno por su relectura atenta y sus comentarios juiciosos que permitieron mejorar este texto.

Article original édité par Nils Berglund

Notes

[1E incluso una infinidad no numerable.

[2De hecho, es una fracción reducida de la fracción continua de la proporción áurea.

[3Una presentación más formal de lo siguiente se puede encontrar en este artículo de Paisajes Matemáticos.

[4Una de las esquinas de cada triángulo está marcada con un disco azul para romper la simetría del triángulo, lo cual es necesario para saber con precisión con qué orientación colocar los nuevos triángulos.

[5Esto se muestra al observar que cuando la línea pasa casi a la misma distancia del punto A y del punto B, entonces la escalera será idéntica en una vecindad de A y B.

[6Más precisamente, un plano que contiene un punto cuya suma de coordenadas es un número entero y que se genera, por ejemplo, por los vectores $ (\varphi, 0, - \varphi, -1,1) $ y $ (- 1,1, \varphi, 0, - \varphi ) $, donde $ \varphi $ es la proporción áurea.

[7Es una familia con un parámetro, que es proporcional al tiempo en el video, y que es igual a la suma de las coordenadas de cualquier punto del plano de la sección de corte (esta suma es constante en el plano).

[8Anécdota relatada por André Katz al autor.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Un parquet de Penrose» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Image à la une - Fotografías del autor

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