Parmi les machines mathématiques qui furent exposées, on trouve ce magnifique planimètre à cône, remontant au dix-neuvième siècle.

Il permet de mesurer l’aire sous une courbe, comme nous allons l’expliquer ici. Bien sûr, on n’en trouve plus dans les bureaux d’étude d’aujourd’hui ! D’autres planimètres bien plus efficaces ont été inventés par la suite et à l’avenir nous ne résisterons probablement pas au plaisir d’en décrire d’autres pour Images des Maths. Mais son fonctionnement, si simple et si astucieux, permet une meilleure compréhension des concepts d’aire et d’intégrale.

Aujourd’hui, pour mesurer la superficie de son jardin, il suffit d’utiliser google maps sur ce site.

Voici une courbe, qui est le graphe d’une certaine fonction $f$ définie sur un certain intervalle $[a,b]$.

On la suppose tracée sur une feuille de papier et on se propose de calculer mécaniquement l’aire de la zone sous la courbe, représentée en bleu sur la figure. La méthode traditionnelle consiste à subdiviser l’intervalle $[a,b]$ en un grand nombre $N$ de sous-intervalles, par exemple de même largeur $(b-a)/N$, donc en introduisant les points intermédiaires :

\[ x_1= a+ \frac{b-a}{N} ; \quad x_2= a+2 \frac{b-a}{N} ; \quad ... \quad; x_N= a+ N\frac{b-a}{N}= b. \]

La zone considérée est alors approchée par la réunion de $N$ rectangles qui ont tous la même base $(b-a)/N$ et dont les hauteurs sont $f(x_1),f(x_2), ..., f(x_N)$. 

L’aire totale de ces rectangles est donc 

\[ \frac{b-a}{N} \left( f(x_1)+ f(x_2) + ... + f(x_N) \right). \]

Lorsque $N$ est grand, on peut espérer avoir une bonne approximation de l’aire cherchée. Les lecteurs qui connaissent la définition de l’intégrale reconnaissent que lorsque $N$ tend vers l’infini cette somme tend vers 

\[ \int_a^b f(x) \, dx \]

qui est l’aire qui nous intéresse (on suppose par exemple que la fonction $f$ est continue).

Le planimètre à cheveux

Pour «mécaniser» cette décomposition en rectangles, la première idée, assez naïve mais efficace, est celle du planimètre à cheveux.

On fabrique une fois pour toutes une plaque de verre sur laquelle sont gravées des lignes verticales à intervalles réguliers, disons de 1 cm. Initialement, ces lignes étaient faites en crin de cheval, d’où les cheveux... On pose ensuite la plaque au dessus du graphe étudié :

A l’aide d’un compas, on mesure successivement la hauteur de chacun des rectangles ainsi définis, autrement dit on mesure $f(x_1), f(x_2), ..., f(x_N)$. Sur une feuille de papier annexe, on reporte successivement ces longueurs, bout à bout, le long d’une droite, ce qui revient à faire la somme $L = f(x_1)+ f(x_2) + ... + f(x_N)$. Il ne reste plus qu’à multiplier $L$ par la base des rectangles, 1cm ici, pour avoir une valeur approchée de l’aire. Efficace mais fastidieux !

Voici une photographie d’un de ces planimètres à cheveux.

Planimètre à cheveux (document du Deutsches Museum de Munich)

Deuxième idée : utiliser une roue

Au lieu d’utiliser un compas, on peut utiliser une roulette. Si une roue roule sans glisser le long d’une droite, l’angle de rotation de la roue est proportionnel au chemin parcouru. 

Une méthode est donc la suivante. Prenez une roulette, placez-là au point $x_1$ et faites-la rouler verticalement jusqu’au point $f(x_1)$. La roue tourne d’un angle proportionnel à $f(x_1)$. Soulevez délicatement la roulette et placez-la au point $x_2$ puis roulez jusqu’au point $f(x_2)$. Soulevez, placez en $x_3$ etc. La roulelette totalise «automatiquement» la somme des $f(x_i)$. Lorsque vous avez terminé, il vous suffit de regarder sur un cadran de quel angle la roue a tourné, de multiplier par la base (1cm) et vous avez le résultat.

Mieux que le compas, mais nécessite une certaine dextérité !

Voici une roulette totalisatrice due à l’ingénieur des Ponts et Chaussées Jules Dupuit vers la fin des années 1830. Elle était distribuée aux ingénieurs des routes et des voies ferrées pour qu’ils calculent les surfaces de déblais et de remblais (en fait, des volumes de terre découpés en tranches, pour se ramener à des calculs de surfaces).

L’astuce du cône

Voici un cône qui peut librement tourner autour de son axe légèrement incliné,
et dont la partie supérieure est à l’horizontale.

Déposons une roulette sur le cône de telle sorte que le contact soit à une distance $d$ du sommet du cône. 

Lorsque le cône tourne d’un angle $\alpha$, il entraîne une rotation de la roulette d’un angle qui est bien sûr proportionnel à $\alpha$ mais aussi à $d$, par le théorème de Thalès.

Le tour est joué !

Nous allons utiliser une tirette pour faire en sorte que la distance $d$ soit notre fonction $f(x)$. Nous allons faire parcourir à $x$ l’intervalle $[a,b]$. Pour chaque petit intervalle $[x,x+dx]$, le cône va tourner d’un angle proportionnel à $dx$ si bien que la roulette
tournera d’un angle proportionnel à $f(x)\, dx$ et l’angle total de rotation de la roulette sera (proportionnel à) l’aire cherchée $\int_a^b f(x)\, dx$.

Voici d’abord un petit film qui montre le principe du fonctionnement.
La roulette est à l’extrémité d’une barre rigide mais coulissante sur la génératrice du cône. Lorsque la roulette est sur le sommet du cône, l’autre extrémité de la barre est en un certain point sur l’«axe des $x$». Si on décale la barre vers la gauche d’une longueur $f(x)$, la roulette sera à une distance $f(x)$ du sommet et lors du mouvement, la rotation totale enregistrée sera bien proportionnelle à l’intégrale cherchée $\int_a^b f(x) \, dx$. Et voilà ! 

Ici, la pointe suit la courbe $f(x)=0.25+3(x-0.5)^2$ et $x$ décrit l’intervalle $[0,1]$. Le cadran a été gradué pour qu’un tour complet corresponde à une aire unité. On voit ici que l’aiguille fait un demi tour, ce qui correspond au fait que $\int_0^1 f(x) \, dx =1/2$.

Il reste à mettre cela en pratique.

Description du planimètre

Voici donc l’objet :

Voici un détail 

Voici le plan.

Encore une remarque. Le domaine dont nous cherchons à évaluer l’aire n’est pas forcément sous une courbe $y=f(x)$. Voyez le petit film suivant : la pointe suit cette fois une courbe fermée : un cercle en l’occurrence. On voit bien que lorsque la pointe «rebrousse chemin», l’aiguille rebrousse chemin également : la roulette tourne dans l’autre sens. Lorsque la pointe a terminé le tour du cercle, l’aiguille indique l’aire du disque bordé par le cercle ! Le cercle choisi a un rayon $0,4$ donc borde un disque d’aire $\simeq 0,502$, un peu plus d’un demi-tour...

Un peu d’histoire

Le mieux est peut-être de recopier ce qu’on en dit sur le site

Planimètre orthogonal

Planimètre orthogonal à mécanisme cône-roulette, d’après Oppikofer


Fabricant : Heinrich Rudolf Ernst, Paris ; sans no ; avant 1840


Inventaire : CNAM 02624-0000-


Détails : Signé «Ernst, rue de Lille, 11 Paris». Entré au CNAM en 1840


Références : Lambel 1841 ; Bauernfeind 1853. Décrit dans Cat. CNAM 1905, 155 et Cat. CNAM 1942, 128 (avec une illustration dans le second)

C’est un planimètre orthogonal fabriqué par Heinrich Rudolf Ernst (1803-1863) qui fit vraiment connaître la possibilité de l’intégration mécanique théoriquement exacte. Ernst vécut à Paris environ à partir de 1830. Le nom usuel de cet instrument était «planimètre de Ernst», laissant entendre que Ernst en était aussi l’inventeur, mais cette confusion ne dura pas très longtemps (même si la France fut un peu plus longue à abandonner la désignation erronée). L’instrument possède une préhistoire qui doit être prise en compte.
Tito Gonnella (1794-1867), l’un des deux véritables inventeurs indépendants du planimètre orthogonal, avait tenté dans les années 1820 de faire fabriquer certaines parties de ses instruments en Suisse, pays déjà réputé à l’époque pour l’excellence de ses artisans. On ne peut pas écarter l’hypothèse que Johannes Oppikofer (1783-1864) ait pris connaissance, vers 1826/27, de l’un des instruments de Gonnella, ou du moins de certains détails de leur construction, avant de faire fabriquer un planimètre à mécanisme cône-roulette. L’instrument d’Oppikofer fut commencé par le mécanicien Johannes Pfäffli (1802-1828), terminé par Ernst après la mort prématurée de Pfäffli vers 1828 et présenté au «Berner Naturforschende Gesellschaft» en 1829. (La localisation actuelle de cet instrument est inconnue. On sait seulement qu’il existait encore à Berne autour de 1900.) Voilà comment Ernst est parvenu à «son» planimètre.
Il semble que Ernst, à son arrivée à Paris, fabriqua un autre exemplaire de l’instrument à des fins personnelles (vers 1833/34). Il le présenta le 3 février 1834 à l’Académie des sciences de Paris, fut récompensé en 1837 par le Prix Montyon (l’instrument fut remarqué à cette occasion par Poncelet) et reçut une autre médaille en 1839. Arthur-Jules Morin (1795-1880) et, vers 1840, Léon Lalanne (1811-1892) apportèrent quelques contributions mineures au développement ultérieur de l’instrument

Les connaissances sur l’instrument présenté par Ernst furent largement diffusées, surtout grâce à un article du Comte de Lambel qui parut dans le Bulletin de la Société d’Encouragement pour l’industrie nationale. Il est probable qu’une petite production en série de planimètres orthogonaux commença à cette époque, pas seulement limitée à Ernst, mais répartie entre plusieurs fabricants différents.
Il semble aussi que c’est vers cette époque que l’on contesta la légitimité de Ernst à se proclamer l’inventeur du planimètre orthogonal. Alors que l’instrument préservé dans la collection du CNAM - peut-être celui qui avait été présenté à l’Académie des sciences - porte l’inscription simple et claire «Ernst, rue de Lille, 11 Paris», Ernst se trouva lui-même contraint d’être plus précis en signant un autre instrument de ce type, probablement ultérieur (actuellement à Aarhus, Danemark) : «Inventé par Oppikofer, Géomètre, Perf[ection]n[é] par R. Ernst rue de Lille N 11 à Paris».

A quoi bon ?

Pourquoi s’intéresser à ce genre de vieilleries qui ne servent plus à rien aujourd’hui ? Toutes les sciences doivent s’intéresser à leur passé. L’histoire des mathématiques est particulièrement importante car ses concepts fondamentaux nécessitent très souvent de très longues périodes de gestation. Le concept d’aire par exemple est bien sûr au cœur des mathématiques depuis toujours, depuis qu’il est important de pouvoir mesurer les superficies des terrains avant de les vendre... On assiste à une interaction entre les questions théoriques («qu’est-ce qu’une aire ?») et pratiques («comment la mesurer» ?) Par exemple, la définition théorique précise de l’intégrale de Riemann date de 1851, alors qu’à la même époque l’industrialisation demandait des calculs d’aires précis et rapides, par exemple lorsqu’il s’agit de calculer les rendements de machines à vapeur (mesurés par l’aire d’un diagramme de Watt).

Le planimètre que nous venons de décrire est l’un des premiers à permettre une «mesure mécanique» des aires. Lors du dix-neuvième siècle, bien d’autres modèles plus efficaces ont vu le jour mais leur fonctionnement est un peu plus difficile à expliquer (voir les références ci-dessous). Peut-être qu’ils n’auraient pas été inventés si celui-ci n’avait pas existé ? De la même manière, l’intégrale de Riemann a été «améliorée» au début du vingtième siècle, en particulier par Lebesgue, et la «théorie de la mesure» est devenue un chapitre important des mathématiques d’aujourd’hui. Il semble que les «planimètres mécaniques» ont été utilisés par les ingénieurs jusque dans les années 1980. En résumé, ce planimètre à cône est un petit maillon dans une longue histoire.

La description de ce genre d’objets peut aussi avoir un intérêt pédagogique. Il est si rare à notre époque de comprendre complètement le fonctionnement des machines que nous utilisons tous les jours. Nous nous résignons bien souvent à utiliser des «boîtes noires» que nous ne cherchons même plus à comprendre. En observant le planimètre, en comprenant son fonctionnement si simple, il nous semble qu’on peut mieux appréhender le concept d’aire et qu’on pourra par la suite comprendre des choses plus compliquées et plus «modernes».

Pour en savoir plus

Le lecteur aura compris que pour en savoir plus, il suffit de se connecter sur ce site. Nous nous contenterons de conseiller deux articles :

Marie-José Durand-Richard, Planimètres et intégraphes en Angleterre.

Dominique Tournés, Du compas aux intégraphes : les instruments du calcul graphique.