Des chocs de natures différentes.

Boule de billard. Balle rebondissante. Pâte molle.

Comme ces mystères se cachent au moment du rebond, regardons les images de l’arrivée au sol de trois balles aux comportements différents : à gauche le cas d’un choc élastique (presque) parfait, à droite celui d’une «balle» qui s’écrase, et au milieu le cas intermédiaire d’une balle rebondissante. [1]

Le fil directeur de cet article sera visualiser l’énergie cachée au moment du rebond, sous forme d’énergie potentielle élastique, en termes de la déformation de la balle.

Notre objectif sera de comprendre les transferts d’énergie d’une balle lors d’un (éventuel) rebond, et de décrire sa déformation. Nous expliquerons d’abord le cas d’un choc élastique réversible, puis nous discuterons des phénomènes de déformation plastique irréversible.
Les déformations plastiques apparaissent lorsqu’on dépasse un certain seuil de déformation du matériau, nous évoquerons la dépendance de ce seuil critique en fonction de ses propriétés.

Élastique réversible versus plastique irréversible

Avant toute chose, quelques précisions s’imposent : expliquons en quoi consistent et pourquoi s’opposent l’élasticité et la plasticité. Pour cela nous aurons besoin d’expliquer l’opposition entre la réversibilité et l’irréversibilité du rebond, et de rentrer dans des considérations énergétiques.

Cette partie préliminaire est un avant-propos sur l’énergie.

Nous aurons besoin d’énergie(s)

Nous emploierons un vocabulaire énergétique, mais il n’est pas nécessaire de comprendre ce qu’est l’énergie (cela pourrait mener très loin), il suffit de savoir que c’est une quantité attachée à un système ou à ses parties, qui se conserve au cours du temps pour un système clos, mais qu’elle peut changer de forme. [2] Cet article peut être une occasion d’éclaircir la nature de ces transformations.

Nous utiliserons principalement les énergies mécaniques, c’est-à-dire celles qui sont liées à la position et au mouvement des objets à l’échelle macroscopique. Elles incluent l’énergie cinétique, l’énergie potentielle gravitationnelle, et l’énergie potentielle élastique que nous introduirons plus en détail car c’est elle qui nous permettra de résoudre le paradoxe du rebond.

Mais ne soyons pas trop dissipés

Nous parlerons de «dissipation énergétique» pour désigner toute transmission d’énergie du mouvement organisé des objets macroscopiques vers une agitation désorganisée des particules à un ordre de grandeur plus petit.
Ces dissipations peuvent être dues au frottement avec l’air, à l’impact avec le sol, ou à la déformation interne du matériau, et se manifestent dans l’émission de chaleur ou d’ondes sonores, vibratoires, lumineuses etc.

Nous négligerons les frottements avec l’air, donc l’énergie mécanique totale de la balle sera supposée préservée pendant la chute et l’ascension : c’est le rebond qui nous intéresse. Nous négligerons également toute transmission d’énergie entre la balle et le sol au moment du rebond : les seules dissipations que nous considérerons seront donc celles qui sont dues aux vibrations ou aux déformations irréversibles internes à la balle.

Élastique ou plastique ?

On parle de choc élastique lorsqu’il n’y a pas de dissipation d’énergie mécanique au moment du rebond, donc l’énergie mécanique totale est préservée. Dans ces conditions théoriques le système formé par la balle subit au moment du rebond une transformation réversible et la balle remonte jusqu’à sa hauteur initiale. C’est l’hypothèse qui sera faite dans la première partie.

A contrario les chocs inélastiques apparaissent lorsque les déformations du matériau au moment du rebond engendrent des dissipations : elles sont irréversibles et on parle de déformation plastique. Ce phénomène sera discuté en seconde partie.

Cette terminologie, qui amalgame déformations irréversibles avec déformations plastiques, est un peu simplificatrice. [3]

Déformations élastiques (réversibles)

Dans cette première partie, nous étudierons les chocs élastiques d’une balle homogène rebondissant sur le sol, indépendamment du matériau qui la constitue: après avoir introduit les lois de conservation d’énergie mécanique, nous observerons les différentes formes que prend la balle lors de sa déformation élastique au moment du rebond.

Le cycle du rebond, en quatre temps.

Chute, Compression, Point mort, Expansion, Ascension

Lois de conservation au cours des phases de la chute

Le rebond de la balle se déroule en quatre temps, comme schématisé sur le dessin ci-dessus et que l’on peut décrire ainsi :

1. La chute entre le lâcher et le contact avec le sol.
2. La compression verticale entre le contact avec le sol et le point mort.
   Arrivé au point mort, le barycentre de la balle est immobile, au point le plus bas, comme représenté sur la vignette de droite dans la figure ci-dessus.
3. L’expansion verticale entre le point mort et le point de détachement du sol.
4. La remontée dans l’air entre le point détachement du sol et le retour au point initial.

Durant tout le mouvement, il y a conservation de l’énergie totale $T$ = potentielle $P$ + cinétique $K$ + élastique $E$.

Rappelons quelques formules exprimant ces énergies en termes de grandeurs mesurables telles que des longueurs ou des vitesses, avant de discuter la troisième qui est au cœur de notre propos :

• $P = mgh$ est proportionnelle à la hauteur h du centre de gravité;
• $K = \frac12mv^2$ est proportionnelle au carré de la vitesse de la balle;
• $E = \frac12k(\delta x)^2$ est proportionnelle au carré de la longueur de l’écartement $\delta x$ du ressort par rapport à sa position de repos.

Les deux premières formules se déduisent de lois de Newton. On suppose que la masse $m$ de la balle vaut $1$ unité (il faudrait la prendre en compte dans des expériences comparant différentes sortes de balles).

Pour les phases de rebond: compression et expansion, on modélise la balle par un ressort dont la raideur vaut $k$, et pour lequel l’énergie élastique est proportionnelle au carré de la longueur de compression, selon la loi de Hooke.

La constante de raideur $k$ dépend très fortement du matériau, c’est elle qui est à l’origine des différences qualitatives dans la déformation de la balle au moment du rebond: plus la constante de raideur sera faible, plus le déplacement $\delta x$, c’est-à-dire la déformation de la balle, sera grande. Nous observerons cela de plus près en partie I.2.

Décrivons les conversions d’énergie (entre $P$, $K$, $E$) qui ont lieu au cours des différentes phases:

1. départ : énergie potentielle gravitationnelle et $T = P$;
2. chute : potentielle $\longrightarrow$ cinétique et $T = P + K$;
3. compression : potentielle $\longrightarrow$ cinétique, puis cinétique $\longrightarrow$ élastique ; et $T = P + K + E$.
   Arrivé au point mort, le barycentre de la balle est immobile, au point le plus bas donc $P = K = 0$ et $T = E$. L’énergie n’est plus stockée sous une forme visible : pour un observateur lointain, la balle paraît instantanément morte. On appelle donc cet instant le point mort. L’énergie n’a pas disparue pour autant, elle est stockée sous forme d’énergie potentielle élastique, comme dans un ressort comprimé prêt à se détendre. Ce point mort est donc en réalité un point dormant, ou mort vivant. Nous verrons dans un second temps ce qui se passe à cet instant à l’intérieur de la balle.
4. expansion : élastique $\longrightarrow$ cinétique + potentielle : $T = E + K + P$;
5. remontée : cinétique $\longrightarrow$ potentielle : $T = K + P$;
6. fin : énergie potentielle gravitationnelle et $T = P$.

Une première réponse au problème posé en amorce «pourquoi la balle rebondit-elle alors que son énergie potentielle gravitationnelle et son énergie cinétique s’annulent au point d’immobilité» peut donc être énoncée simplement en disant que toute cette énergie s’est convertie sous forme d’énergie potentielle élastique.

Nous aimerions mieux comprendre cette énergie potentielle élastique, la visualiser, et en déceler la nature.

Déformation de la balle au moment du rebond

Les phases de rebond consistent en celles qui entourent le point mort, c’est-à-dire de compression et d’expansion. Le point mort est assez mystérieux car toute l’énergie est sous forme élastique, mais nous pouvons la visualiser en observant, voire en mesurant, la déformation de la balle.

Rappelons que dans cette première partie, nous considérons les déformations élastiques, c’est-à-dire réversibles. Nous supposons par ailleurs que la vitesse de la balle au moment du choc est suffisamment faible par rapport à sa taille et sa dureté pour ignorer la propagation d’ondes vibratoires dans la balle, on parle de choc quasi-statique.
Sous cette hypothèse, la phase de rebond consiste en une grande oscillation de la balle, suivie de petites oscillations qui seront ignorées. [4]

Au moment du choc, nous pourrions modéliser la balle par un seul ressort, mais cela ne traduirait que l’aplatissement vertical, car le ressort n’a pas tendance à s’aplatir dans les directions horizontales. [5]

Nous choisirons donc un modèle plus élaboré, mais plus fidèle: celui d’une membrane sphérique élastique. Nous pouvons représenter sa structure microscopique par un maillage de ressorts de raideur $k$, et pour simplifier le décompte qui va suivre, supposons que chaque ressort est dédoublé en deux ressorts parallèles de raideur $k/2$, de sorte que chaque maille soit bordé par quatre ressorts et chaque ressort n’appartienne qu’à une maille.

C’est la description suggérée dans la figure suivante : en observant la balle sur la gauche de très près pour en apercevoir une portion du maillage très fin, on observe sur la droite quatre mailles de forme carré, chacune entourée par quatre ressorts. Ici la balle parait bien ronde : elle est au repos.

Zoom sur le maillage d’une balle

Chacune des 4 mailles est bordée de 4 ressorts.

Dans une position donnée, l’énergie élastique totale du maillage est la somme des énergies des mailles, mais nous sommes bien plus intéressés par la répartition de l’énergie sur la membrane (une fonction à valeurs réelles sur la sphère) que par l’énergie totale (l’intégrale de la fonction). C’est entre autres pour cela que nous avons choisi une telle modélisation.

La formule de Hooke peut être appliquée pour calculer l’énergie d’une maille rectangulaire dont les côtés ont été écartés de $\delta x$ et $\delta y$ par rapport à leur taille au repos : elle vaut $\frac{k}{2}\bigl( (\delta x)^2 +(\delta y)^2\bigr)$. Sous l’effet des contraintes exercées par le sol au moment du rebond, la membrane se courbe par rapport à sa position de repos non courbée. Elle est courbée aux points tels que $\delta x$ ou $\delta y$ est non nul, donc précisément aux points qui contribuent strictement positivement à l’énergie potentielle élastique.

Reprenons la phase de compression au moment du rebond. la déformation de la balle se poursuit jusqu’à ce qu’elle s’immobilise, c’est le point mort: toute l’énergie mécanique s’est convertie en énergie potentielle élastique, cachée dans la membrane mais visible dans sa courbure [6].

La membrane est désormais soumise à des contraintes internes bien plus fortes que les contraintes externes et qui la mettent en dehors de son état d’équilibre: elle voudra reprendre sa forme sphérique d’origine tout en restituant l’énergie potentielle cinétique accumulée sous la forme d’énergie mécanique. C’est le rebond.

Nous pouvons désormais visualiser l’énergie élastique accumulée par la balle au moment du rebond, de manière qualitative en termes de la forme qu’elle prend au moment du choc, et quantitative en terme de ses courbures principales.

Dans la figure suivante, le dégradé des couleurs représente la variation de courbure de la balle par rapport à sa position de repos: les régions où la courbure a augmenté tirent vers le rouge (vers l’équateur) et celles où elle a diminué tirent vers le bleu (vers les pôles).

Courbure de la balle au moment du rebond.

Coloration de la balle en fonction de la courbure.

Déformation plastique (irréversible)

Nous discuterons dans cette seconde partie des phénomènes de déformations plastiques (irréversibles) observables au-delà d’un certain seuil qui dépend du matériau. Cela nous permettra d’expliquer pourquoi une pâte à modeler (ou une météorite) s’écrase alors qu’une bille de billard rebondit.

Pour cela, il faut regarder à l’échelle microscopique du matériau, et chercher à comprendre d’où provient l’énergie élastique.

Mais d’où vient l’énergie élastique ?

Voici une brève tentative d’explication concernant la nature de l’énergie élastique, et pourquoi elle tend à restituer la forme initiale d’un matériau soumis à une déformation. Dans l’exemple de notre modèle, le matériau dont il s’agit est celui qui constitue la membrane extérieure qui entoure le gaz.

Un matériau est constitué d’un assemblage plus ou moins régulier de molécules, elles-mêmes constituées d’atomes qui se comportent un peu comme des ressorts, certains s’attirent, d’autres se repoussent, et nous en resterons à cette analogie pour comprendre le phénomène d’élasticité.

Les forces élastiques visibles à l’échelle macroscopique proviennent de ces forces électriques présentes à l’échelle microscopique lorsque l’on éloigne ou rapproche les atomes qui constituent le maillage du matériau.

On peut donc imaginer un maillage d’aimants qui est stable dans une certaine position, et qui lorsqu’on le déforme, deviendra instable parce que plusieurs atomes qui le constituent se repousseront de manière à restituer la forme initiale du matériau. Par exemple une balle métallique est formée d’un réseau cristallin très régulier et stable : la moindre déformation engendrera une grande irrégularité dans le maillage, donc de grandes forces entre les atomes qui pousseront le réseau déformé dans la forme originelle plus stable: la balle est bien rigide donc le coefficient d’élasticité $k$ est grand.

Une balle rebondissante ressemble davantage à un tissage de polymères, qui sont de longues molécules, analogues à des ficelles, et le maillage est moins rigide: pour une même force extérieure, la balle cédera davantage à la déformation avant que les forces électriques microscopiques ne viennent la compenser.

En fait, il y a un autre phénomène qui est tout aussi responsable de cette aptitude qu’on les objets très élastiques à reprendre leur forme stable. Au repos ces longues chaînes de polymères sont tout entortillées sur elles-mêmes. Elles sont également entourées d’autres molécules plus petites qui, très agitées à température ambiante, vont constamment bombarder les longues pelotes entortillées. Lorsque l’on tire sur le matériau, ou qu’on le déforme dans une direction, certaines pelotes s’allongent, et le bombardement des particules environnantes va les pousser à se contracter à nouveau pour reprendre leur forme initiale.

Quand l’élastique se distend et se rompt

On observe souvent deux types de déformations irréversibles: la déformation plastique, elle même pouvant aller jusqu’à à la rupture du matériau.

La déformation plastique est le résultat d’un changement continu dans des liaisons internes du matériau qui maintenaient sa forme au repos. Nous en avons des exemples lorsqu’un élastique se distend, un muscle subit une élongation, un chewing-gum ou un carambar s’étire. Nous comprenons désormais que la pâte à modeler qui s’écrase peut être considéré comme un cas extrême d’un tel comportement, pour lequel le seuil de déformation plastique est très bas.

La rupture du matériau a lieu lorsque les liaisons internes du matériau subissent un changement discontinu. Nous en avons des exemples lorsqu’un élastique se casse, un muscle se déchire, un ballon crève ou un œuf se brise [7].

En pratique, avant qu’un matériau atteigne le stade de rupture, il subit presque toujours une phase (éventuellement très courte) de déformation plastique.

Ces deux phénomènes restent valables pour notre balle modélisée par une membrane élastique constituée d’un maillage uniforme de ressorts. Les ressorts les plus vulnérables sont ceux qui sont situés sur l’équateur, là où la courbure est la plus grande car ils emmagasinent le plus d’énergie élastique et sont soumis aux déformations les plus grandes. Dans chacun des scénarios (déformation plastique ou rupture) le choc sera considéré comme inélastique, la déformation de la balle sera irréversible, et elle s’accompagnera d’une dissipation d’énergie.

La morale : Jean de La Fontaine nous enseigne que le roseau plie tandis que le chêne casse. Nous retiendrons que pour rebondir il faut canaliser son énergie dans un potentiel élastique; lorsqu’on est trop dissipé, on s’écrase.

Ouverture

Pour finir, mentionnons à titre d’ouverture qu’étant donné certaines conditions physiques portant sur un solide et les paramètres de température et pression l’environnant, un petit élément de ce solide aura, pour chaque direction dans laquelle on peut lui appliquer un effort (étirement, compression ou torsion selon les différents axes [8]), un seuil de déformation élastique et un seuil de rupture exprimés en termes de l’intensité de l’effort.

Ce sont ces propriétés que l’on étudie en mécanique des matériaux, et qui servent principalement dans l’industrie pour la confection des objets du quotidien (comme dans l’architecture des ponts, des tunnels ou des bâtiments, ainsi que dans la confection des véhicules).