Entre las superficies más simples que uno encuentra, las cuádricas tienen ecuaciones de segundo grado. Consideremos, por ejemplo, la ecuación :

\[ Ax^2+By^2+Cz^2= 1. \]

Si $A,B,C$ son los tres positivos, la ecuación representa un elipsoide.

Si entre $A,B,C$, dos son positivos y el tercero negativo, se trata de un hiperboloide de una capa.

Si dos son negativos y uno positivo, es un hiperboloide de dos capas.

Si los tres son negativos, la ecuación no tiene solución : ¡es la superficie vacía !

Si los coeficientes $A,B,C$ varían poco a poco dependiendo de un parámetro $t$, la cuádrica se deforma suavemente...

Aquí hay un ejemplo. Consideremos la cuádrica $E_t$ cuya ecuación es

\[ \frac{x^2}{t} +\frac{y^2}{t-3} + \frac{z^2}{t-8} = 1. \]

Cuando $t<0$, todos los coeficientes son negativos y no hay nada que ver...

Cuando $t>8$ , los tres coeficientes son positivos y uno tiene un elipsoide.
Además, $t$ tiende hacia el infinito, este elipsoide $E_t$ crece y tiende a convertirse en una superficie esférica de radio aproximado $\sqrt{t}$.

Cuando $0 < t < 3$, uno tiene un hiperboloide de dos capas.

Para $3 < t < 8$, el hiperboloide tiene una capa.

Vamos a mirar la película de la cuádrica $E_t$ cuando $t$ varía entre $0$ y el infinito.

Antes, ¿qué ocurre cuando $t$ pasa por esos valores particulares $t=0, 3$ u $8$ ? En principio, para esos valores la ecuación no tiene gran sentido, ya que aparece un cero en el denominador.

En realidad, para $t=0$, se puede convenir que la única forma de conciliar el cero con el denominador es que el $x$ en el numerador sea nulo. Argumento no del todo hermético, hay que convenir. Pero si uno lo sigue, se ve que para $t=0$ la cuádrica $E_t$ degenera, según la expresión consagrada, en el plano de ecuación $x=0$.

Cuando $t$ tiende hacia $3$ la cuádrica degenera en el plano $y=0$ que contiene la hipérbola $\frac{x^2}{3} - \frac{z^2}{5} = 1$ : es una hipérbola.

Para $t=8$, es casi lo mismo : la cuádrica degenera en el plano $z=0$ que contiene la curva $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{5} = 1$ : es una elipse.

Ahora veamos la película cuyo escenario es el siguiente (con las explicaciones de arriba incorporadas en francés) :

\[\mathrm{Tres \,\, familias \,\, ortogonales \,\, de \,\, cuádricas.}\]

Durante los 7 primeros segundos se ve la hipérbola de la cual acabamos de hablar, representada por la curva amarilla en un plano ($y=0$), y la cuádrica $E_t$ para un valor de $t<3$ fijo pero muy cercano a $3$. Se ve dos pedazos de superficies rosadas, casi planas, bordeadas por la hipérbola amarilla.

Del segundo 7 al segundo 15 se ve los hiperboloides con dos capas para diversos valores de $t$, variando al decrecer de $3$ a $0$.

De 14’’ a 23’’, se hace rotar el conjunto, ¡solo por gusto !

De 23’’ a 31’’, el valor de $t$ da marcha atrás en su camino y regresa progresivamente de $t=0$ a $t=3$.

De 31’’ a 39’’, lo que uno visita es el reino de los hiperboloides con una capa : $t$ varía de $3$ a $8$.

De 39’’ a 47’’, una pequeña vuelta para observar.

de 47’’ a 55’’, se da marcha atrás y $t$ vuelve de $8$ a $3$.

De 56’’ a 1’04’’, se echa a andar ambos movimientos al mismo tiempo y se comprueba que :

¡los hiperboloides con una capa y los hiperboloides con dos capas se cortan perpendicularmente !

Hasta 1’12’’, ¡se hace rotar !

Y ahora uno se plantea la siguiente pregunta : si los hiperboloides son superficies infinitas, ¿por qué sólo mostramos un pequeño fragmento después de un minuto ? La respuesta es que en realidad solo mostramos la parte interior del elipsoide $E_{11,25}$.

De 1’12’’ a 1’20’’, se muestra lo mismo, pero solamente la parte que es interior al elipsoide $E_t$ haciendo variar $t$ de $11,25$ a $8$. Se ve la posición límite cuando $t= 8$ : es la elipse de la cual ya hablamos.

No dibujamos los elipsoides, ya que esconderían lo que está en el interior, pero uno los adivina cuando se encogen para degenerar sobre la elipse.

¿Qué vemos nosotros ? Vemos que tres cuádricas pasan por cada punto del espacio (aparte de algunas excepciones) : un elipsoide, un hiperboloide con una capa y otro con dos capas, ¡y esas tres cuádricas son ortogonales en cada punto !

Se habla de un sistema triple ortogonal.

¿Demostrarlo ? No es muy difícil si uno domina un poco de cálculo diferencial... Partiendo de un punto de coordenadas $(x,y,z)$, se busca las cuádricas $E_t$ que pasan por ese punto. En otras palabras, se busca resolver la ecuación

\[ \frac{x^2}{t} +\frac{y^2}{t-3} + \frac{z^2}{t-8} = 1. \]

en la cual $x,y,z$ son conocidos y $t$ es desconocido. Si uno reduce al mismo denominador, verá que se trata de una ecuación de tercer grado, de ahí las tres soluciones... De cierta manera se puede asociar a cada punto del espacio tres números $t$ que permiten encontrar $x,y,z$ (excepto el signo). Es una especie de sistema de coordenadas en el espacio : las coordenadas elipsoidales.

De 1’20’’ a 1’27’’, se gira alrededor de la elipse y de la hipérbola, en planos perpendiculares.

De 1’27’’ a 1’44’’, se hace inflar de nuevo el elipsoide $E_t$, con $t$ variando de $8$ a $11,25$, pero esta vez se muestra un elipsoide opaco, si bien no se ve más el interior. Se ve, por el contrario, las líneas azules y rojas que son las intersecciones con los hiperboloides.

La figura final muestra, por lo tanto, un elipsoide con esos dos sistemas de curvas ortogonales. Los geómetras dicen que esas curvas son las líneas de curvatura del elipsoide. Los cuatro puntos donde la hipérbola traspasa el elipsoide son llamados los ombligos.

Esta figura tiene una larga historia. Se le debe a Jacobi , quien le dio usos muy interesantes, en particular en su estudio de las figuras de equilibrio de una masa fluída en rotación y sometida solamente a su propia gravitación.

Si nosotros viviéramos en una Tierra que no fuera ni esférica ni un elipsoide de revolución, sino un elipsoide con tres ejes distintos, como por ejemplo $E_{11,25}$, ¿cuáles son los meridianos y los paralelos que los geógrafos habrían inventado ? ; ¿probablemente esas curvas azules y rojas ? Se puede pensar, en efecto, que los geógrafos habrían buscado coordenadas ortogonales adecuadas que además son líneas que se cierran, y nuestra figura es perfecta para esto.

Lamé estudió lo que se llama el análisis armónico acerca de los elipsoides, y las coordenadas que acabamos de describir se revelaron importantes en su trabajo. Darboux escribió un libro entero sobre los sistemas triples ortogonales : tres familias de superficies ortogonales de a dos. El ejemplo que acabamos de describir es apenas el más simple.

Hoy en día, el estudio de esos sistemas triples ortogonales interviene en física teórica, en el contexto de los sistemas llamados completamente integrables, ¡pero esa es otra historia !

Para saber mucho más :

Gaston Darboux : Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, Paris 1910.