Commentaire sur l'article

• Impossible

  le 21 juillet 2016 à 17:43, par Leith

  On nomme (e_x,e_y) une base orthogonale directe tq un des côtés du triangle soit un multiple de e_x.

  Le découpage me paraît impossible pour les triangles. En effet, considérons par exemple sur un ensemble E de polygones, f(E) la somme des longueurs des côtés des polygones horizontaux et « en bas » du polygone moins la somme des longueurs des côtés « en haut ».
  (Par exemple si on parcourt les côtés c_i d’un polygone dans le sens direct, f(E) est la somme des e_x.c_i sur les c_i tq e_y.c_i = 0)

  L’idée est qu’un découpage ne peut pas modifier f(E) : si on crée un côté horizontal, on en crée nécessairement un autre sur l’autre polygone, de même longueur et dans l’autre sens. Idem pour la fusion de deux polygones, bien sûr.

  Comme f est différent pour le triangle droit et l’inversé (c’est l’opposé !), on ne peut pas passer de l’un à l’autre par un nombre fini de découpages.

  C’est un peu mal formalisé, désolé, mais je pense que ça marche.

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• Impossible

  le 22 juillet 2016 à 15:35, par Idéophage

  Avec la même idée on a un invariant plus fort : pour chaque « direction », la somme des longueurs côtés dirigés selon cette direction (comptés dans l’orientation du polygone) est constante. Combiné avec l’aire qui doit être préservée, ça donne un invariant complet.

  On considère des polygones orientés, et dont les côtés peuvent s’intersecter. L’aire aussi est comptée avec l’orientation, ça simplifie (on peut avoir des polygones négatifs avec lesquels on peut « trouver » des polygones positifs ; je pense que ça donne la même relation d’équivalence, ce qu’il faudrait prouver…). On peut dire que l’on travaille dans un goupoïde dont les objets sont les points du plan et qui est généré par les segments (orientés) d’un point vers l’autre. Les polygones sont alors les boucles (endomorphismes). On ajoute la relation de « commutativité » suivante : si $a$ et $b$ sont deux chemins (flèches), le premier de $A$ vers $B$ et le deuxième de $B$ vers $A$, alors en notant $x'$ le chemin $x$ translaté de $\overrightarrow{BA}$, on a $ab = b'a'$ (il faut voir les chemins sans leur point de départ). Il faut aussi que la succession de deux segments soit encore un segment.

  La multiplication de deux boucles correspond à prendre l’union des deux polygones (après on peut les « coller » en un seul polygone par un bout de chemin en commun, dans deux sens opposés). Les relations ci-dessus ont pour conséquence que l’union est commutative et qu’un polygone n’a pas de sommet préféré (ce qui permet de les coller comme on veut).

  Par découpage et translation, on peut manipuler les parallélogrammes comme on veut. On peut découper un triangle en traçant une droite joignant un sommet à un segment, et on le fait passer de l’autre côté. Ça permet de faire des transvections, et donc de générer toutes les transformations tant que ça préserve l’aire du parallélogramme.

  On peut donc réarranger les côtés d’un polygone comme on veut : pour en faire commuter deux, on ajoute ou on enlève le parallélogramme voulu. On met les parallélogrammes de côté (seule leur aire totale importe). En réarrangeant les côtés, on annule ceux qui peuvent s’annuler, et on voit que l’unique donnée qui reste est pour chaque direction la somme des longueurs des segments dans cette direction (comptés avec orientation), ainsi que l’aire des parallélogrammes ajoutés et enlevés.

  D’ailleurs, on peut modéliser la situation en « oubliant » également ces parallélogrammes (oublier l’invariant « aire ») : on aura alors une commutativité plus générale, tous les polygones qui sont des parallélogrammes étant égaux au chemin nul (dans la formulation de la commutativité au-dessus, on n’est pas obligé de retourner à $A$ après être passé par $B$). Les côtés « commutent » et on a alors un ℝ-espace vectoriel, une dimension par direction possible. Si on garde l’aire, la multiplication par -1 ne la modifie pas (mais l’opposition la transforme en son opposé).

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• Impossible

  le 26 juillet 2016 à 10:23, par Yves Coudène

  Comme question subsidiaire, pouvez-vous construire une telle fonction f qui soit continue (disons en fonction des sommets, si on se restreint aux polygones avec un nombre donné de sommets, par exemple les quadrilateres) ?

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• Impossible

  le 26 juillet 2016 à 13:05, par Leith

  Je pense, oui.
  Par exemple en posant h((a,b)) = a * a^2 / (a^2 + b^2),
  On peut définir pour P un polygone simple f(P) comme étant la somme des h(v) sur les vecteurs v du polygone P parcouru dans le sens direct (et pour un ensemble de polygones E, f(E) comme la somme des f(P) pour P dans E).
  Comme h est homogène, un découpage ne change pas f. (A posteriori, j’ai l’impression ce sont les fonctions h homogènes non additives et continues qui font l’affaire ici)

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• Un triangle et une énigme

  le 16 juillet 2021 à 09:22, par styren

  Il ne s’agit pas de Janos Bolyai, mais de Farkas Bolyai, son père (voir par exemple la page Wikipedia sur le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien).

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