Una bandera áurea perdida en la historia

El 13 enero 2020  - Escrito por  Andrés Navas
El 12 febrero 2020
Artículo original : Un drapeau en or perdu dans l’histoire Ver los comentarios
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La primera bandera de Chile involucraría un diseño geométrico muy elegante basado en las proporciones áureas.

¿Hay matemáticas en las banderas?

Ciertamente, pues además de tratarse de objetos simbólicos, históricos, etc [1], las banderas son objetos geométricos, y como tales pueden ser muy interesantes. En este artículo se puede hallar, por ejemplo, una discusión sorprendente en torno a la bandera de Corea del Sur.

Entre las banderas nacionales geométricamente más notables usadas hoy en día podemos mencionar las de Irán [2] y Nepal. Esta última es de hecho considerada como la ’’bandera nacional más matemática del mundo’’, y su construcción ’’a la antigua’’ (es decir, con regla y compás) aparece descrita en la Constitución Nacional del país. A continuación se exhibe un video explicativo (en inglés) del excelente sitio de Youtube de divulgación Numberphile.

La mayoría de las banderas consisten de un paño rectangular cuyas proporciones largo/alto (o largo/ancho, dependiendo de la disposición) son números racionales. Entre los más utilizados podemos mencionar 1:1 (Suiza, Vaticano, etc), 2:1 (Palestina, Eslovenia, etc), 3:2 (Bolivia, Francia, Iraq, Perú, etc), 5:3 (Alemania, Bulgaria, Paraguay, etc) y 8:5 (Argentina, Polonia, Suecia, etc). Se puede observar la aparición (a veces intencional) de la sucesión de Fibonacci. La lista completa de estas proporciones está disponible aquí. Como puede notarse, solo tres banderas tienen como proporción un número irracional:

Togo (a izquierda): la proporción es igual a $\, \varphi \sim 1,618... \,$ (el número áureo).

Irán (al centro): la proporción es igual a $\, \frac{75}{28} (7 \sqrt{5} - 15) \sim 1,747...$

Nepal (a derecha): la proporción largo/alto del rectángulo más pequeño que contiene a la bandera es igual a
\[\frac{24 + \frac{297 - 180 \sqrt{2}}{92 - 36 \sqrt{2}} \left( 1 + \frac{8 - 3\sqrt{2}}{\sqrt{118 - 48\sqrt{2}} -6} \right) } {32 + \frac{297 - 180 \sqrt{2}}{92 - 36 \sqrt{2}} \left( 1 + \frac{6}{(8 - 3\sqrt{2}) \big( \sqrt{1 + \frac{18}{41 - 24\sqrt{2}}} - 1\big)} \right)} \sim 0.820...\]

A continuación describiremos el sorprendente diseño geométrico de una bandera que, lamentablemente, ya no está en uso. Se trata de la bandera original de Chile, cuya concepción involucra de manera notable las proporciones áureas.

Un recordatorio rápido sobre las proporciones áureas

JPEG Recordemos que el número áureo $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \sim 1,618...$ está ligado de manera estrecha a la geometría pentagonal. En efecto, es la proporción entre las longitudes de la diagonal y el lado de un pentágono regular. Para comprobarlo, tracemos las diagonales de dicho pentágono. Como sus ángulos internos miden $108º$, aparecen dos triángulos isósceles especiales: uno de ángulos $72º$, $72º$ y $36º$ (llamado triángulo áureo), y otro de ángulos $36º$, $36º$ y $108º$ (llamado gnomon áueo).

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Ahora bien, en estos dos triángulos, la proporción entre las longitudes del lado más largo y del más corto son iguales a $\varphi$. Veamos por qué esto es así. Si en un triángulo áureo trazamos la bisectriz de uno de los ángulos de $72º$, aparecen un triángulo y un gnomon áureo pequeños. En efecto, en la figura de la izquierda, $\Delta ABC$ y $\Delta BCD$ son triángulos áureos, y por tanto semejantes. Por lo tanto, $\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}.$ Si cambiamos la escala de medición podemos suponer que $\overline{BC} = 1$. Notemos entonces que $\overline{AD} = \overline{DB} = \overline{BC} = 1$. Así, si denotamos $x = \overline{AB} = \overline{AC}$, tenemos
\[\frac{x}{1} = \frac{1}{x-1},\]
de donde se deduce rápidamente que $\, x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi \,$ (observe que la otra solución de esta ecuación cuadrática en $x$ representa un punto $D'$ situado en el exterior del trazo $AC$). En consecuencia,
\[\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BD}} = \varphi,\]
y estos cocientes corresponden à las proporciones entre los lados de un triángulo áureo, así como los de un gnomon áureo.

El diseño develado

Con las herramientas de arriba podemos describir el diseño geométrico de la bandera original de Chile. Aunque, con total precisión, lo que describiremos es una reconstrucción teórica, pues no se dispone de ningún documento formal que explique su construcción. Volveremos sobre el este punto al final del artículo.

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Comencemos por considerar el rectángulo ilustrado a la izquierda. Atención: no se trata del famoso rectángulo áureo, para el cual la proporción ancho/largo es igual a $\varphi$. Para nuestro rectángulo, esta proporción es igual a
\[\tan (36º) = \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2+\sqrt{5}}} \sim 0,726...\]
(compruebe esta igualdad: ¡es un bonito desafío!).

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Tracemos ahora las bisectrices de los ángulos de $72º$ y las trisectrices de los ángulos de $108º$ al centro. En este caso particular, no existe ningún problema en hacer esto incluso con la regla y el compás, pues es equivalente a construir 10 ángulos de $36º$ centrados en un solo punto, y esto puede hacerse fácilmente a partir del pentágono regular. En fin, lo que obtenemos es la configuración angular exhibida a la derecha.

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Tracemos ahora una circunferencia basada en el centro del rectángulo y cuyo diámetro sea una proporción de $1/\varphi$ respecto al ancho del rectángulo. Esta circunferencia corta en un punto a cada uno de los 10 segmentos ya trazados. Si unimos 5 de esos puntos como se muestra a la izquierda, obtenemos una estrella regular de 5 puntas, con muchas proporciones áureas entre las distintas componentes de la configuración. Posteriormente, se construye un rectángulo (blanco) del mismo ancho del rectángulo (azul) ya construido, pero cuyo largo esté en proporción igual a $\varphi$ respecto al de este. Finalmente, construimos abajo otro rectángulo (rojo) del mismo ancho pero cuyo largo comprenda los de los rectángulos azul y blanco.

Al concluir, se ve aparecer un diseño geométrico razonablemente cercano al de la bandera que ondea en la imagen de portada de este artículo. Ahora bien, esto no es para nada sorprendente, pues dicha imagen se trata de una ilustración de una fiesta popular del siglo XIX en Chile (una chingana) incluida por el naturalista francés Claudio Gay en su obra ’’Historia Física y Política de Chile’’ (publicada en París en 1848) [3].

El diseño ’’a la Euclides’’ de arriba permite implementar fácilmente una construcción con regla y compás. Dejamos acá un video ilustrativo de este proceso (puede consultar los detalles aquí).

Ejercicio: Verifique que la proporción largo/ancho de la bandera es igual a \[\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}} \sim 1,801...,\] y que este número es irracional.

Sueño de una noche de geometría

Si bien las herramientas de la construcción de arriba no son sofisticadas (y ya eran conocidas por los antiguos griegos), uno no puede sino sorprenderse frente a la elegancia de este diseño concebido hace más de 200 años. De hecho, son las mismas piezas poligonales las que, dispuestas de una manera diferente, dan lugar a uno de los objetos geométricos más notables inventados en el siglo XX: el embaldosado de Penrose. Se trata de un teselado que se construye usando dos piezas poligonales y que no posee ninguna simetría traslacional. Dicho de otra manera, cada vez que se desplaza la estructura en cualquier dirección, esta nunca caerá exactamente sobre sí misma; sin embargo, habrá de pedazos tan grandes como se quiera que sí caerán sobre sí mismos de manera perfecta para traslaciones bien escogidas. Además, una rotación de orden 5 basada en ’’el centro’’ del embaldosado preservará toda la estructura.

En este video se ilustra el paso de la configuración de la bandera a la de Penrose. Resulta imposible no preguntarse si, de haberse enseñado sistemáticamente la configuración de la bandera en la escuela, se hubiese podido adelantar algunas décadas el descubrimiento de un embaldosado como el de Penrose [4]

Un poco de historia

La bandera de la que trata este artículo y con la cual en 1818 fue oficializada la Independencia de Chile de la corona española es conservada en el Museo Histórico Nacional de Santiago. En las fotografías reproducidas abajo se puede notar que, además del diseño geométrico, ella exhibe:

  • dos escudos típicamente masones en el centro, uno con un obelisco y otro con un volcán [5];
  • une pequeña estrella de 8 puntas (un asterisco amarillo difícil de visualizar) en el centro de la estrella de 8 puntas: se trata de una representación de Venus en la cultura Mapuche, el pueblo autóctono más importante del país.

Las imágenes a continuación fueron capturadas tras la última restauración de la bandera. Esta ha sufrido varias manipulaciones durante su existencia y, lamentablemente, no se dispone de una bitácora completa de ellas. Esto explicaría en parte por qué las proporciones entre algunas de sus componentes no siempre coinciden con las del modelo exhibido arriba. En particular, es muy probable que la parte azul haya sido modificada, pues visiblemente la estrella no está bien centrada...

Muchos misterios subsisten en torno a este objeto. Por ejemplo, los historiadores no han llegado a acuerdo sobre quién la creó. Al parecer, nació de conversaciones entre Bernardo O’Higgins (primer gobernante del país) e Ignacio Zenteno (su ministro de guerra), pero se postula que la concepción final fue encargada ya sea a Antonio Arcos o bien a Gregorio de Andía y Varela (ambos eran ingenieros militares de origen español).

La bandera ha sido conservada en distintos museos, salvo por un periodo de alrededor de 20 años: a inicios de los años 80, fue ’’secuestrada’’ por un comando en señal de protesta contra la dictadura de Augusto Pinochet. De hecho, fue durante estos años que la presencia de la proporción áurea fue señalada por primera vez de manera contundente por Gastón Soublette [6]. Sin embargo, su modelo teórico contenía contradicciones geométricas evidentes [7]. El modelo descrito aquí surgió de mi propio trabajo de investigación [8].

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Al parecer, durante el siglo XIX existía cierto conocimiento (al menos en el mundo militar) sobre el diseño geométrico de la bandera. Esto queda en evidencia con la bandera que se exhibe a la derecha, que data de fines de dicho siglo y es conservada en un museo de la ciudad de Arica.

Lamentablemente, nunca se ha podido hallar documento alguno que contenga reglas claras sobre la reproducción de la bandera de la Independencia. Así, en 1912, se optó por simplificar el modelo. A modo de comparación, abajo se exhibe el diseño de la bandera de 1818 (a izquierda) y de la actual (a derecha). En esta última, la región azul es simplemente un cuadrado en el cual se centra erguida una estrella regular de 5 puntas cuyo circunradio es igual a la mitad del lado del cuadrado. El diseño se completa para obtener una proporción largo/ancho igual a 3:2, que es la utilizada por una amplia cantidad de países.

Ciertamente, este cambio fue un verdadero sacrilegio geométrico. Sin embargo,
durante las últimas manifestaciones en el país, se ha visto reaparecer de manera espontánea la olvidada bandera áurea. Tal vez sea este el momento para revalorizar su elegancia geométrica reinstaurarla en el sitial que realmente se merece...

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Post-scriptum :

Para saber más:

La historia de este artículo fue reproducida en diversos medios tales como El Mostrador (en Chile) y El País (en España). También puede consultar mis libros ’’Un Viaje a las Ideas’’ y ’’Lecciones de Matemáticas para el Recreo’’.

Agradecimientos:

Agradezco a Dante Yovanne y Nicolé Geyssel por la respectiva elaboración del segundo y tercer video de arriba, así como a Julie Levrault pour su atenta relectura a la versión en francés de este artículo.

Artículo original editado por Romain Dujardin

Notas

[1La disciplina que estudia las banderas desde varios puntos de vista es la vexilología. Existen asociaciones vexilológicas en casi todos los países del mundo (incluyendo Chile). Estos últimos años, la vexilología se ha hecho más popular (aunque también ha sido ridiculizada) por el famoso sketch «Fun with Flags» de la célebre serie televisiva «The Big-Bang Theory».

[2Resulta difícil hallar una explicación clara y concisa de la construcción de esta bandera.

[3Una de las precordilleras del norte de Chile lleva el nombre ’’Claudio Gay’’ en su honor.

[4Hace unos años se descubrió que embaldosados del tipo Penrose eran producidos en el siglo XIII en el mundo islámico, en particular en Isfahán (actualmente en Irán). Aquí se exhibe la imagen de uno de estos mosaicos capturada en la mezquita Darb e Imam. En este enlace (en francés) se puede hallar más información sobre este apasionante tema.

[5Hay más de 80 volcanes activos en la Cordillera de los Andes chilena. Vulcanólogos profesionales se han interesado en dilucidar cuál de ellos es el que aparece representado en la bandera, pero esto parece difícil de sentenciar con claridad.

[6Él se ha mantenido muy discreto sobre cómo tuvo acceso a la bandera secuestrada...

[7Ver este artículo.

[8Ver este artículo publicado en la Revista Bicentenario de historia de Chile.

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Para citar este artículo:

— «Una bandera áurea perdida en la historia» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Biblioteca Nacional, Santiago de Chile.

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