Ilustración 1 : La distribución de los números primos según Legendre (Legendre, 1808, 304).

LA CARTA

Imagen de HERITAGE AUCTIONS, HA.com

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SU TRANSCRIPCIÓN

París, 20 de Germinal año 9 [10 de Abril de 1801]

Señor

Estoy muy halagado de que mi obra sobre los números haya podido llamar vuestra
atención y que usted tenga el proyecto de una traducción al alemán, enriquecida con vuestras observaciones y complementos. Esta obra no podrá sino que ganar infinitamente al pasar por vuestras manos y, sin duda, recibirá los perfeccionamientos
que yo no habría podido darles y que le asegurarán el éxito. Yo aprovecharé esta ocasión, dado que usted me invita, para enviarle con entusiasmo mis investigaciones suplementarias, en el caso de tener algunas que valgan la pena. Sin embargo, después de la impresión de esta obra, no me he vuelto a ocupar del tema y no tengo nada digno de serle comunicado a no ser algunos errores donde la supresión o la rectificación podrían ser contados como perfeccionamiento.

Apenas la impresión estuvo terminada fue que me di cuenta de un error bastante considerable que se dejó pasar al final de la introducción. Este error, afortunadamente, no es muy evidente y no me ha sido notificado por nadie, pero no es menos esencial el hacerlo desaparecer.

Al final del artículo XXIII, línea 1 página 15, he dicho que el error no podrá jamás elevarse a tantas unidades como las del denominador. Esta afirmación no es exacta, aparece en este lugar como consecuencia de una inducción que le da una gran apariencia de veracidad ; hay un gran número de casos donde el error es, en efecto, muy leve, pero hay también casos donde es mucho mas considerable de lo que adelanto, de modo que todo lo que sigue y, particularmente, el artículo XXVIII, contiene un resultado falso, el cual tiene necesidad de una gran modificación. He tenido algunas dificultades, lo confieso, a darme cuenta del vicio del razonamiento, pero he logrado descubrirlo, y he aquí el camino.

He dicho que la razón al final del artículo XXII página 16, que para la fórmula $n(1-\frac{1}{\theta})(1-\frac{1}{\omega})$, el error no podrá jamas ser de dos unidades. Esto es verdadero, pues esta fórmula desarrollada deviene $n-\frac{n}{\theta}-\frac{n}{\omega} + \frac{n}{\theta\omega}$ y el error, si es que existe, se compone del error de las diferentes partes. Ya sea $\frac{n}{\theta} = n' + \frac{\alpha}{\theta}$ ; siendo $n’$ el entero de la división y $\alpha$ el resto positivo, menor que $\theta$ ; ya sea similarmente $\frac{n}{\omega}= n'' + \frac{\beta}{\omega'}\frac{n}{\theta \omega} = n'''' + \frac{\gamma}{\theta\omega}$. El número de términos no divisibles por $\theta$ y $\omega$ en la sucesión propuesta A + B, 2A + B, . . . $n$A+B será $n−n′ −n′′ +n′′′$, y en todas las partes el error de la fórmula será $- \frac{\alpha}{\theta}- \frac{\beta}{\omega} + \frac{\gamma}{\omega\theta}$, el cual no puede ser una unidad de más puesto que el único término positivo es $\gamma/\theta\omega$ , ni tampoco dos unidades menos, puesto que $a/\theta + \beta/\omega$ son dos partes en las que cada una es menor que una unidad. Sin embargo, si se pasa enseguida al caso de tres factores, el error de la fórmula $n(1-\frac{1}{\theta})(1-\frac{1}{\gamma}) (1-\frac{1}{\mu}) $ se compone del error de las diferentes partes $n-\frac{n}{\theta}-\frac{n}{\gamma}-\frac{n}{\mu} + \frac{n}{\theta\gamma}+\frac{n}{\gamma\mu} + \frac{n}{\lambda\mu} -\frac{n}{\theta\gamma \mu}$, de las cuales cuatro son negativas y tres positivas (la primera n no debe ser contada) ; Los primeros pueden dar a los más un error de tres unidades y los otros uno de dos. En général si $k$ es el número de factores primos $\theta, \gamma, \mu, \&,$ el desarrollo de $n(1-\frac{1}{\theta})(1-\frac{1}{\gamma})(1-\frac{1}{\mu}) \;\&$ dará (el entero $n$ exceptuado) $2^{k-1}$ partes négativas y $2^{k-1} – 1$ partes positivas ; es difícil dar un juicio sobre el error más grande que resultará de cada una de las partes ; todo lo que se ve claramente, es que el error negativo mas grande no puede sobrepasar las $2^{k-1}$ unidades, y que el error positivo más grande no puede sobrepasar el número de partes, que es $2^{k-1} − 1$. Hay razones para suponer que los límites podrían ser fuertemente reducidos, pero nada asegura que ellos puedan fijarse bajo $k$, como lo he dicho al final del artículo XXIII pag. 15. Es, sin duda, debido a que el límite de este error puede sobrepasar $k$ largamente contra mi afirmación pero sin llegar, sin embargo, hasta $2^{k+1}$, que el método dado en el artículo XXIV para encontrar la cantidad de números primos contenidos en una progresión aritmética dada es defectuoso. Sin embargo, se puede mencionar como un medio aproximado que a veces es bastante exacto, y que en general no se aleja de la verdad sino cuando el número de términos de la sucesión aritmética es muy grande, a saber, de 100.000 o más. Si yo tuviese más tiempo libre en este momento, yo me tomaría la libertad, señor, de indicarle cómo yo lo rectificaría por mí mismo, en otra edición, el fin de mi introducción desde el artículo XXIII, pero creo que no se perdería nada si usted quisiera encargarse de los detalles de esta rectificación. En estricto rigor, la mayor parte puede subsistir si se advierte que los resultados solo son aproximados. Se podría también suprimir todo lo que sigue, arreglado el artículo XXIII. La tabla de la página 17 presenta resultados incorrectos en las últimas cifras décimales, a partir del número primo 53 ; pero ella podría ser suprimida. La fórmula indicada en la nota de la página 19 lo logra maravillosamente. He encontrado A = 1 y B = −1,08106 [2] ; de modo que si se pregunta cuántos números primos hay antes de $a$, se encuentra el número $= \frac{a}{\log(a) - 1,08106}$ ; fórmula donde $\log (a)$ es un logaritmo hiperbólico, aquello que en nuestros días designamos por logaritmo neperiano y denotamos $\ln (a)$. La exactitud de esta fórmula se verifica por las tablas de Vega [3] que dan los números primos hasta 400000 ; la fórmula da 33846 números primos bajo 400000, mientras que la enumeración realizada con la ayuda de dichas tablas da 33851 ; bajo los 100000 la fórmula da 9586 y la enumeración 9583, & y así en los otros grados [4]. Esta asombrosa concordancia para una ley de una sucesión tan irregular como la de los números primos es verdaderamente admirable, y no deja ninguna duda sobre la veracidad de la fórmula ; es enojoso que no tenga una demostración exacta, pues confieso que ella es absolutamente empírica y que ni siquiera veo la ruta por la cual se la podría demostrar. Esto da como resultado este otro teorema singular que el intervalo probable que separa dos números primos consecutivos es igual al logaritmo hiperbólico del más pequeño ; de modo que si $x$ es un número primo, el número primo siguiente será $x + \log(x)$ o, más exactamente, $x + \log (x)$ − 0, 08106, o aún en términos más claros ; en el millar [Legendre usa una expresión antigua « Chiliade » para denotar un millar, si bien la expresión « Chilliadas » aparece en algunos textos españoles, no es palabra oficial (NdT)] que se extiende desde $x $− 500 hasta $x $+ 500, el número de números primos contenidos es $\frac{1000}{\log (x)}$ o $\frac{1000}{\log (x) - 0,081}$, fórmula que se encuentra aún de una veracidad contundente, pero ella es un corolario fácil de deducir de la precedente. Las faltas de la introducción exigen que se supriman los dos artículos de la página 464 o, al menos el segundo, y que lo tengamos en cuenta al comienzo de la tabla de contenidos.

En el resto de la obra no tengo ningún cambio escencial que indicar hasta el presente. Aconsejo terminar las adiciones a la página 466, omitiendo todo aquello que sigue, porque la regla (página 467) no es general. Sobre todo, aconsejo suprimir la tabla XII por inútil y por ser de una impresión excesivamente difícil. Por otro lado, yo habría deseado que se agregue una tabla extraída de las tablas VIII, IX, X y XI y continuada más lejos si es posible, conteniendo solo los divisores ternarios de primera especie, como está indicado en la observación de la página 364. En las tres tablas VIII, X y XI, sería bueno también poner en el título de cada página, tanto la forma par de los divisores como la forma impar. Por ejemplo, en la tabla VIII, el título sería :

\[\text{Divisores}\quad 4n+1 \left\{ \begin{array}\\8n+2 c=8k+1\\8n-2 c=8k-3,\end{array} \right.\]

lo que quiere decir que los divisores pares serán de la forma $8n + 2$ si es de la forma $8k + 1$, y que serán de la forma $8n − $2 si es de la forma $8k − 3$. La última ecuación de la página 190 y la primera de la página 191, son erróneas y deben ser corregidas así :

\[(t^2 + u^2 -\alpha t N’ - \beta uN’)^2 + (\alpha u N’ -\beta t N)^2 = N N’ N’’, \; (N’ - \alpha t - \beta u)^2 + (\alpha u - \beta t)^2 = N N’’.\]

En el valor de $c^2$ en la página 326, hay una parte, $\pi(f′^2g^2 + f^2g’^2)$, para la cual se debe leer $π f’^2g^2 + π′ f^2g'^2$.

No agregaré más que una palabra relativa al uso que se puede hacer de la fórmula encontrada empíricamente $b = \frac{a}{\log(a) - 1,08106}$, para resolver con exactitud el problema del artículo XXIV de la introducción. Designamos por $φ onct. a$ o $\phi (a)$ a la función $\frac{a}{\log (a) - 1,08106}$, que expresa cuántos números primos hay desde 1 hasta $a$. Sea propuesto, por ejemplo, encontrar cuántos números primos hay en la sucesión 1, 91, 181, 271, ... , 90$n $+ 1. Observo que todos los números primos, excepto 3 y 5 divisores de 90, están repartidos entre las diferentes sucesiones aritméticas cuyos términos generales son 90$n$ + 1, 90$n$ + 7, 90$n$ + 11, & hasta 90$n$ + 89, el número de estas sucesiones es $\frac{90}{2}(1-\frac{1}{3})(1 - \frac{1}{5} )= 24$. Cuando $n$ es un gran número, como se debe suponer, no hay razón de que una de esas sucesiones contenga más números primos que las otras, ya que la exclusión de los múltiplos de 7, de 11, &. se hace de la misma manera a los intervalos de 7, de 11 términos &. Ahora bien, la cantidad de números primos desde $1$ hasta $a$ es, en general, $φ. a$ ; así, el número demandado $=\frac{1}{16}\phi(a) = \frac{1}{16} . \phi(90n + 1)$ o más exactamente \[\frac{1}{16}\phi (90n + 45) = \frac{45}{16}.\frac{2n+1}{L (2n + 1) + L(45) - 1,08106}\] [5] Asimismo en el ejemplo del artículo XXV, el número demandado $=\frac{1}{16} \phi(60x-30)$, y considerando $x$ = 1000, esta cantidad llega a ser 377.7 o 378.

He ahí, Señor, todas las observaciones que puedo enviarle para el presente. Recíbalas con indulgencia y reciba los sentimientos y la consideración con los cuales soy su devoto servidor. Le Gendre [Legendre usaba el seudónimo « Le Gendre » durante su trabajo en la comisión internacional que preparaba la adopción del sistema métrico (NdT)].

Y SU CONTEXTO [6]

En 1788, Legendre publica sus primeros resultados en teoría de números [Legendre, 1785-1788]. Hoy, esta memoria es citada principalmente en relación con lo enunciado por Legendre acerca de la ley de reciprocidad cuadrática ; históricamente más importante, sin embargo, es el hecho de que esta publicación, en particular sus conjeturas sobre la conexión entre las sumas de tres cuadrados y los números de clases de formas cuadráticas, inspiró a Gauss para elaborar su teoría de formas cuadráticas binarias en la sección V de las Disquisitiones Arithmeticae [Gauss, 1801]. En 1797-1798, Legendre incluyó esos resultados en su muy leído libro Ensayo sobre la teoría de Números [Legendre, 1797-1798] En dicho libro, Legendre utiliza la teoría de Lagrange sobre la reducción de formas cuadráticas para dar una condición necesaria y suficiente para la solubilidad de la ecuación $a x^2 + b y^2 = c z^2$ en números enteros no nulos. Sus pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática y del teorema de los tres cuadrados contenían lagunas, principalmente porque suponía la existencia de números primos en las progresiones aritméticas. Legendre igualmente formuló diversas conjeturas, en particular concernientes al número de números primos inferiores a cierto número real.

Volvamos sobre un extracto de la obra insertado al inicio del texto [Ilustración 1]. Este ejemplar, digitalizado en Google.books, contiene un centenar de anotaciones marginales de un mismo lector, las cuales son consecuencia de una lectura muy detallada ; aquí está aquella asociada al resultado propuesto por Legendre [Ilustración 2].

Ilustración 2 : Un libro con notas de un lector anónimo (Legendre, 1808, 394).

El Ensayo de Legendre fue mucho más popular (y más fácil de leer) que la impenetrable Disquisitiones Arithmeticae publicada por Gauss en 1801 [7]. Gauss comienza por introducir la noción de congruencia, la cual Legendre rehusó adoptar [Boucard & Verdier, 2015] y da dos demostraciones completas de la ley de reciprocidad cuadrática ; la sección V sobre las formas cuadráticas binarias es la parte más difícil de las Disquisitiones, y contiene una demostración completa del Teorema de los tres cuadrados ; la sección que ha beneficiado de un reconocimiento inmediato (Legendre incluyó ciertos resultados de Gauss ya en la segunda edición de su Ensayo [Legendre, 1808]) era la teoría de la ciclotomía de Gauss : él demostró que las ecuaciones $x^n - 1 = 0$ son solubles en los radicales, y que los n-ágonos regulares [8] con $n$ impar pueden ser construidos con regla y compás si $n$ es un primo de Fermat [9].

¿Qué pasa con las traducciones de Legendre ? En 1794, Legendre publicó sus Eléments de géométrie, los que conocieron un gran éxito. Fueron traducidos al inglés por John Farrar en 1819 [Préveraud, 2013] y después al alemán por Léopold Crelle en 1822. Estas traducciones fueron utilizadas inmediatamente como manuales escolares : la geometría era un tema indispensable en las escuelas secundarias y las universidades. La situación era diferente en lo que respecta a la teoría de números, pues no era enseñada en absoluto (a pesar de que las ecuaciones diofánticas gozaban de una cierta popularidad) hasta que Dirichlet propuso los primeros cursos en la década de 1830. Cualquiera que quisiese estudiar la teoría de números debía leer a Diofanto o algunas memorias de Euler o Lagrange. El Ensayo de Legendre ofrecía una introducción a la teoría de números que era largamente accessible a todos aquellos que se interesasen en esos temas.

Ahora aportaremos diferentes antecedentes acerca de C.F. Kausler, quien fue un asiduo lector de Legendre. Nació en Tübingen el año 1760 y fue condiscípulo de Friedrich Schiller (1759–1805). Tras la muerte de su padre, en 1773 fue enviado a un orfanato de Stuttgart. En 1780 se trasladó a Nîmes, donde trabajó como ’’maître de justice’’ [10]. De este período, poseemos una silueta de Kausler ; ella es extraída del ’’Stammbuch’’ [11] de Johann Christian Andreas Mayer (1747-1801).

La silueta de Kausler datada del 5 de marzo de 1782 y realizada en Tübingen (Mayer, 1779).

Regresó a Stuttgart en 1783, donde enseñó matemáticas y francés. A lo largo del decenio 1786-1796, él multiplicó iniciativas educativas, fundando una escuela para niñas en Stuttgart (Lehrinstitut für junge Mädchen) y publicando, en 1796, una traducción en alemán del tratado de álgebra de Euler, incluyendo los complementos de Lagrange [Kausler, 1796]. En un apéndice, incluyó sus propias investigaciones sobre la factorización de los números enteros con un método llamado ’’de Fermat’’, así como una tentativa de demostración para el caso n = 3 de lo que, en lo sucesivo, fue llamado la ’’conjetura de Fermat’’ [12].

En 1797, se trasladó a San Petersburgo ; llegó a ser correspondiente de la Academia de Ciencias en Abril de 1798. Su estadía fue fructífera matemáticamente ; presenta numerosas notas aritméticas en la Academia de Ciencias ; las cuales son publicadas en los años 1800s en diversas publicaciones académicas de San Petersburgo [Kausler, 1797-1798a &b, 1798, 1799-1802a, b &c, 1802a, b & c]. En ciertos trabajos, él muestra cómo la Théorie des nombres de Legendre lo influenció. Así, en sus ’’Remarques pour faciliter la recherche des diviseurs des nombres premiers’’, él indicó : ’’Yo me ocupaba de esta Teoría y de los medios para aplicarla también a los otros números que son la suma de tres o cuatro cuadrados, cuando recibí la excelente obra del Sr. Legendre, titulada : “Essai d’une théorie des nombres”, en la cual este autor tan sabio como modesto reunió en una ciencia interesante todos los diferentes descubrimientos hechos hasta aquí en en el análisis indeterminado, agregando sus propios resultados, los cuales extendieron ampliamente los límites de este sublime ciencia, abriendo un vasto campo a investigaciones posteriores’’ [Kausler, 1797-1798b]. A su retorno de San Petersburgo, llegó a ser miembro correspondiente de la Academia real de ciencias de Göttingen bajo la sugestión de Abraham Gotthelf Kästner (1719-1800). Desde 1805 hasta 1813, Kausler trabajó en Ochsenhausen, cerca de Biberach ; luego, fue docente en el liceo de Stuttgart, desde 1818 hasta 1822, enseñó ciencias y francés en Königin-Katharina-Stift [13]. Falleció en Febrero de 1825, en Stuttgart, sin haber publicado su traducción de Legendre, probablemente perdida.

Las rectificaciones de Legendre son tomadas en cuenta en su segunda edición [Legendre, 1808] concebida a partir de las tablas de Vega ; él lo indica en su advertencia inicial : ’’Nos hemos propuesto el hacer desaparecer en esta segunda edición la mayor parte de imperfecciones o incluso de errores que estaban en la primera, a pesar del cuidado que habíamos dedicado. Los cambios son tales que, aproximadamente, la mitad del volumen se ha transformado en una nueva obra.’’ [Ibid.]. El problema del número de números primos en la progresión aritmética es estudiado en la parte IV, § XI de la edición de 1808. El 26 de Febrero de 1816, frente al Instituto [Ndt : Academia de Ciencias], Legendre presentó su Supplément à l’essai sur la théorie des nombres [(Legendre) [14], 1816] ; para su realización, se apoyó en las tablas extendidas de Ladislaus Chernac (1742-1816) que él había publicado en 1811 [Chernac, 1811]. Si el Ensayo de Legendre traducido por Kausler no fue verdaderamente publicado, otros sí lo fueron. En 1829, aparece una traducción de Michael Creizenach (1789-1842)) [15] y en 1886, Hermann Maser (1856-1902)) publicó una traducción que circuló ampliamente en el espacio germanofono [Legendre, 1886].

Más allá de las traducciones, los resultados de Legendre circularon largamente y fueron ampliamente comentados. Por ejemplo, el matemático de Cambridge James Whitbread Lee Glaisher (1848-1928) publica sus Factor table for the sixth million, en Lomdres (1883) [Glaisher, 1883]. Él comenta y aporta suplementos a los resultados obtenidos por Legendre hace setenta años [Ilustración 3].

Ilustración 3 : Legendre revisitado por Glaisher, en 1883 (Glaisher, 1883, 67).

A modo de conclusión 

En 1980, Roger Cuculière consagró su memoria de DEA [Diploma de Estudios Avanzados, hoy Master 2 (NdT)] a la ley de reciprocidad cuadrática [Cuculière, 1980] y se interesó mucho en los escritos de Legendre. Legendre parece suscitar nuevamente el interés de los historiadores de las matemáticas. El Viernes 21 de Mayo de 2021, una sesión del seminairio de historia de las matemáticas fue consagrado a ’’Adrien-Marie Legendre y Europa’’ [ [Chemla, Smadja & Tournès, 2021] ] ; acabamos de encontrar nuevamente, aparte de la carta a su traductor alemán, dos de los contratos de edición de Legendre con su editor Firmin Didot para sus Elementos de geometría [ANMT,179 AQ 282, ’’Legendre’’]. Por la variedad y la agudeza de los trabajos de Legendre, por las nuevas fuentes archivísticas disponible, sería oportuno, que al fin, un colectivo de historiadores redacte une biografía científica de Legendre, a pesar de la anotación final del anónimo lector de Legendre [Ilustración 4].

Ilustración 4 : ’’… no pudo dar a sus resultados la elegancia ni la generalidad que caracterizan la teoría de M. Gauss’’ [Legendre, 1808, 480].

BIBLIOGRAFíA

Fuentes Primarias

Chernac Ladislas  

• 1811. Cribrum Arithmeticum sive, Tabula continens numeros primos, a compositis segregatos, occurrentes in serie numerorum ab unitate progedientium, usque ad decies centena millia, et ultra haec, ad viginti millia (1020000). Numeris compositis, per 2, 3, 5, non dividuis, adscripti sunt divisores simplices, non minimi tantum, sed omnino omnes, Daventriae, sumtibus Auctoris, Literis J. H. de Lange, 1811.

Gauss Karl Friedrich

• 1801. Disquisitiones Arithmeticae, Leipzig, Gerhard Fleischer, 1801.

Glaisher James Whitbread Lee

• 1883. Factor table for the sixth million, containing the least factor of every number not divisible by 2, 3, or 5 between 5, 000, 000 and 6, 000, 000, London, Taylor and Francis, 1883.

Kausler Christian Friedrich

• 1796. Leonhard Eulers Vollständige Anleitung Zur Algebra. Dritter Theil „Übersetzung aus dem französischen“, Frankfurt, 1796.
• 1797-1798a. « De Numeris Qui Semel Vel Pluries in Summam Duorum Quadratorum Resolvi Possunt », Eingegangen Am 5.11.1800, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1797-1798, 232–267.
• 1797-1798b. « Remarques pour faciliter la recherche des diviseurs des nombres premiers », Eingegangen Am 17.06.1801, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1798-1797, 268–289.
• 1798. « Solution du problème de décomposer les nombres entiers non-carrés en deux, trois ou quatre carrés », présenté à l’Académie le 26 Avril, -1798, Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae, XI (1798), 125-156.
• 1799-1802a. « Solution de quelques problèmes d’analyse indéterminée. Continuation », présenté à l’Académie le 13 Août 1800, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1799-1802, 116–145.
• 1799-1802b. « Demonstratio Theorematis : Nec Summam Nec Differentiam Duo- Rum Cubo-Cuborum Cubo-Cubum Esse Posse », Conventui Exhibita Die 18. Jan. 1801, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1799-1802, 146–155.
• 1799-1802c. « Disquisitiones Super Numeris Formae $Mx^2 + Ny^2$, Eingegangen 18.11.1801, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1799-1802, 156–180.
• 1802a. « Solution de quelques problèmes remarquables d’analyse indéterminée », présenté à l’Académie le 29 novembre 1798, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 13 (1802), 205–236.
• 1802b. « Nova Demonstratio Theorematis Nec Summam, Nec Differentiam Duorum Biquadratorum Biquadratum Esse Posse », Conventui Exhibit. Die 4. Octobr. 1799, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 13(1802), 237–244.
• 1802c. « Nova Demonstratio Theorematis Nec Summam, Nec Differentiam Duorum Cuborum Cubum Esse Posse », Conventui Exhibita d. 7. Nov. 1799, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 13 (1802), 245–253.

Legendre Adrien-Marie

• 1785-1788. « Recherches d’analyse indéterminée », Histoire de l’Académie royale des sciences, année MDCCLXXXV, (1785/88), 465-559.
• 1797-1798. Essai sur la théorie des nombres, Paris, Duprat, an VI (1797-1798)
  1808. Essai sur la théorie des nombres, deuxième édition, Paris, Courcier, 1808 [16].
• 1816. Supplément à l’essai sur la théorie des nombres, Segunda Edición, París, Courcier, 1816.
• 1886. Zahlentheorie von Adrien Marie Legendre. Nach der dritten Auflage ins Deutsche übertragen von H. Maser, Leipzig, Teubner, 1886.

Schering Ernst

• 1863. Carl Friedrich Gauss Werke Band II, herausgegeben von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, B.G. Teubner,1863, 444-447.

Vega Georg von

• 1793. Vorlesungen über die Mathematik, erster Band, 2, Wien, 1793.
• 1797. Logarithmisch-Trigonometrische Tafeln Nebst Andern Zum Gebrauch Der Mathematik Eingerichteten Tafeln Und Formeln, Band II. Leipzig, Leipzig, Weidmannischen Buchhandlung, 1797.

Fuentes secundarias

Boucard Jenny & Verdier Norbert

• 2015. « Circulations mathématiques et congruences dans les périodiques de la première moitié du XIXe siècle », Philosophia Scientiæ, 19-2 (2015), 57-78.

Bullynck Maarten

• 2010. « A history of factor tables with notes on the birth of number theory, 1657-1817 », Revue d’histoire des mathématiques, Volumen 16, Número 2 (2010), 133-216.

Cuculière Roger

• 1980. Histoire d’un théorème d’arithmétique : La loi de réciprocité quadratique, mémoire de DEA sous la direction de Gilles Lachaud, Université Paris-Nord, Villetaneuse, 1980.
  (Ver http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/IMG/pdf/roger_cuculiere_loireciprocitequadratique.pdf)

Echeverria Javier

• 1992. “Observations, problems and conjectures in number theory – the history of the prime number theorem” in Echeverria, Javier (ed.) et al., The space of mathematics. Philosophical, epistemological, and historical explorations, Berlin, Walter de Gruyter (1992), 230-252.

Goldstein Catherine, Schappacher Norbert & Schwermer Joachim (Editors)

• 2007. The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae, Berlin, Springer Verlag, 2007.

Gündert Gisela ; Kress Wolfgang & Josef Buck Joseph  

• 2018. 200 Jahre Königin Katharina Stift, Stuttgart, Königin-Katharina-Stift, 2018.

Lemmermeyer Franz

• 2022. 4000 Jahre Zahlentheorie. I. Von Babel bis Abel, Berlin, Springer Verlag, 2022.

Préveraud Thomas

• 2013. « Destins croisés de manuels français en Amérique (1819-1862) : l’exemple des Éléments de géométrie d’Adrien-Marie Legendre » en : Les ouvrages de mathématiques dans l’Histoire. Entre recherche, enseignement et culture, coordonné par Évelyne Barbin & Marc Moyon, Limoges, Presses universitaire de Limoges, 2013.

Wittmann Axel

• 2018. Obgleich und indeßen. Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Johann Franz Encke 1813-1854, Band I, herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von Axel Wittmann, Remagen-Oberwinter, Verlag Kessel, 2018.

Fuentes provenientes de archivos

Archives nationales du monde du travail (ANMT), Roubaix, fonds Didot : 179 AQ 282, liasse : « Legendre ».

Fuentes orales y provenientes de sitios

Bullynck Maarten

• 2016 “From exploration to theory-driven tables (and back again)”, 2016.

Chemla Karine, Smadja Ivahn & Tournès Dominique, sous la direction de,

• 2021 « Adrien-Marie Legendre et l’Europe », en : Séminaire d’histoire des mathématiques, Paris, Institut Henri Poincaré, Viernes 21 de Mayo 2021.

Gauß Carl Friedrich, Brief zu J. Encke, 24 Dezember 1849 [17] 

Heritage Auctions, 2019.

Mayer, J. C. Stammbuch, 1779., 2012

Roegel Denis
“A Reconstruction of Felkel’s Tables of Primes and Factors (1776)”, 2012.

Agradecemos a los relectores y relectoras, de los cuales Jenny Boucard, se han dado en trabajo de leer una versión preparatoria de este texto ; agradecemos en particular a « Cidrolin » por sus lecturas detalladas.