¿Una fórmula para los números primos?

El 5 diciembre 2008  - Escrito por  Louis Funar
El 5 diciembre 2008  - Traducido por  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Artículo original : Une formule pour les nombres premiers? Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Comprender la distribución de los números primos ha sido un desafío para los matemáticos de todos los tiempos. Algunos de aquellos que partieron en búsqueda del Grial trataron de describirlos con ayuda de las fórmulas matemáticas explícitas. Resulta que todas las fórmulas construidas con ese propósito no fueron de gran utilidad, ya que trabajar con esas fórmulas es a menudo más complicado que probar directamente que los números en consideración son primos...

Recientemente, Eric Rowland, un joven estudiante en tesis con Doron Zeilberger, hizo un asombroso descubrimiento en esta dirección.

Se define la secuencia de naturales que comienza por $a_1=7$, en la cual cada término se obtiene del anterior por recurrencia:
\[ a_{n}=a_{n-1} + mcd (n, a_{n-1}),\]
donde $mcd (a,b)$ máximo común divisor de los números $a$ y $b$.

Consideremos enseguida las diferencias de los términos consecutivos, es decir, la secuencia
\[ a_2-a_1, a_3-a_2, \ldots, a_n-a_{n-1}, \ldots ,\]
cuyos primeros términos son
\[1,1,1,5,3, 1,1,1,1,11,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,23,3,1,...\]

Entonces uno solo ve aparecer al 1 y números primos.

Y en efecto, en 2008, Rowland demostró que cada término de esta secuencia es ¡ya sea 1 o un número primo!

Este hermoso descubrimiento fue publicado en el Journal of Integer Sequences en 2008 -con una presentación de Jeffrey Shalit, editor de esa revista-, que se puede encontrar en su blog: Recursivity.

Las aplicaciones de esta fórmula para la construcción de grandes números primos son bastante limitadas, ya que se puede probar que es necesario esperar ’’mucho tiempo’’ antes de encontrar el número primo $p$: el número pasos de recurrencia necesarios es del mismo orden de magnitud que $p$.

Sin embargo, la simplicidad de esta fórmula de recurrencia, en contraste con la complejidad de la secuencia de números primos, hace soñar a los amantes de los enigmas matemáticos...

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Una fórmula para los números primos?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2008

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.