¡Una merienda simétrica con escolares !

Le 8 juin 2014  - Ecrit par  Aziz El Kacimi
Le 15 juillet 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Goûter symétrique chez les collégiens ! Voir les commentaires
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François Recher, Valerio Vassallo y yo somos matemáticos residentes en la Cité des Géométries — Gare Numérique de Jeumont. Muchas de nuestras actividades son pedagógicas y consisten en hacer intervenciones en los establecimientos secundarios del norte de Francia y particularmente del Valle de Sambre. Las hacemos en colaboración con los profesores locales, bajo la forma de lecciones entregadas directamente a los alumnos, con animación de talleres, debates... Los temas que abordamos son muy variados, pero un poco más centrados en la geometría. Trabajamos con los números, las fracciones (mediante la partición), las simetrías (axial o central), las figuras geométricas habituales (en el plano o en el espacio)... Es generalmente ahí donde los profesores de los colegios y liceos a los cuales vamos tienen dificultades para transmitir y nos piden ayuda, como universitarios, para tener otro punto de vista y, eventualmente, un punto de ataque complementario al suyo. Una de nuestras últimas intervenciones frente a los alumnos fue particularmente interesante. Es en parte lo que me llevó a narrarlo en este artículo. El lector (que tenga el coraje de seguir hasta el final) podrá así notar la vivacidad de los escolares y compararla con el silencio sepulcral de los estudiantes descrito en el texto Crónica de una mañana de clases.

Ser un profesor en un sentido verdadero es ser un alumno. La enseñanza comienza cuando usted, el profesor, aprende del alumno, poniéndose en su lugar, de modo que pueda comprender lo que él comprende, y la manera como él lo comprende.

Soren Kierkegaard

El lunes 12 de mayo, Valerio y yo intervinimos en dos establecimientos : durante la mañana en el Colegio Vauban, en Maubeuge, y en el Colegio Jacques Brel, en Louvroil, por la tarde. En el colegio Vauban, nuestras intervenciones son frecuentes este año. Seguimos un curso de Quinto Grado con su profesora Julie Gosselin y otros de sus colegas, en el marco del PEGD (Proyecto Educativo Global Departamental) propuesto por la Cité des Géométries (los alumnos de este curso participan también en las actividades de la compañía Isla lógica que presentó el espectáculo Matemáticas curiosas y furiosas del 11 al 13 de junio de este año en Maubeuge). Probablemente tendremos la oportunidad de hablar de esto de una manera detallada y completa en una rendición de cuenta global. Este relato solo se refiere al Colegio Jacques Brel.

No había buen tiempo ese día, llovía a cántaros y la temperatura era baja. Un poco sorpresivo para mediados de mayo, pero estábamos en el norte, una zona maravillosa, con personas formidables... ¡así que si el tiempo tiene sus caprichos, no es tan grave !

La sala donde fuimos a hacer nuestra intervención no estaba calefaccionada, y pese a que nos movimos bastante, estábamos un poco congelados. El almuerzo caliente del comedor escolar nos dio un poco de ánimo, pero no del todo. Estábamos como unos pajaritos tiritando bajo la nieve y tuvimos que refugiarnos un rato en el automóvil para entibiarnos. Un cuarto de hora más tarde, un poco más repuestos, nos dirigimos hacia el Colegio Jacques Brel. Kaled Boutahar, profesor de Ciencias de la Vida y de la Tierra y responsable del laboratorio de matemáticas, nos recibió muy cálidamente en su sala de clases (sí, hay un laboratorio de matemáticas en ese colegio, donde no se demuestra grandes teoremas pero los alumnos aprenden matemáticas manipulando diversos objetos concebidos para ese propósito). Ya estábamos listos para comenzar la sesión, pero con pocos alumnos : siete de los doce, de los tres niveles (Sexto, Quinto y Cuarto Grado) estaban en un paseo. No quedaban sino cinco : Kessy, Tonzilla, Waffa, Hamza y Quentin. Nosotros estábamos un poco decepcionados pero... no podíamos hacer otra cosa, ¡había que seguir adelante !

Como no es nuestra costumbre imponer un tema, les pedimos a los alumnos que sugirieran uno. Ellos movieron la cabeza, como diciéndonos que iban a aceptar el que les propusiéramos. Por casualidad pronunciamos la palabra simetría. Y de inmediato esta les llamó la atención.

— ¿Les gustaría que trabajáramos con eso ?

Las respuestas saltaron de todas partes :

— ¡Sí, sí, la simetría, la simetría, está bien ! gritaban.

— ¿Y cuál ?, ¿la central o la axial ?, preguntó inmediatamente uno de nosotros.

— La simetría axial, contestó de manera afirmativa Hamza, desde el fondo de la sala.

— ¿Están todos de acuerdo ?

— ¡Sí ! contestaron.

— Perfecto, vamos entonces con la simetría axial.

Nosotros habíamos partido del hecho de que estos alumnos eran los mejores de sus clases y que frecuentaban el laboratorio porque pedían más. Empezamos entonces la sesión con la pregunta más natural :

— ¿Qué es la simetría axial ?

Los dedos se levantaron :

— ¡Señor, señor !, nos decían. Señalamos a Kessy.

— ¡Tú !

— Un cuadrado que se desdobla, contestó ella.

— ¿Un cuadrado que se desdobla ? ¿Puedes explicarnos eso ? ¿Hacernos un dibujo sobre el pizarrón ?

Ella salió adelante, toda contenta (nos habría gustado ver semejante entusiasmo entre nuestros estudiantes en la universidad), dibujó un eje y, con mucha duda, un pequeño cuadrado a la izquierda, y se aprestaba a reproducirlo por completo a la derecha. Pero ella no estaba del todo segura, lo que hizo inquietarse a Hamza :

— Se comienza primero por un punto. Él quería decir el vértice del cuadrado.

— ¿Y por qué por un punto primero ?

— Es así como se hace habitualmente : primero los puntos del cuadrado, y después los cuatro costados, uno por uno.

Esa respuesta nos dejó estupefactos. Decididamente el pequeño Hamza tenía mucho que decir. Faltaba hacer la simetría en concreto. Quentin pidió ir al pizarrón. Cogió la regla, anotó la cifra $0$ sobre el punto en cuestión y manteniéndola en forma perpendicular al eje, midió la distancia hasta ahí y la repitió del otro lado para marcar un punto. Hizo lo mismo con cada uno de los vértices y trazó finalmente el cuadrado representando la simetría de la figura inicial. Evidentemente, no olvidó mostrarnos que era un cuadrado idéntico al de la izquierda.

Esta escena nos convenció de que los alumnos percibían bien la noción de simetría axial, que había que continuar en esa dirección y avanzar lo más lejos posible. Sacamos entonces un archivo electrónico (que yo había fabricado a propósito para ilustrar cualquier intervención relacionada con la simetría) y comenzamos a proyectarles objetos habituales de la vida diaria, sobre los cuales les pedimos que mostraran todos los ejes de simetría posibles. El primero era una pizza redonda, y a nuestra pregunta no le faltaba motivación :

— Aquí hay una pizza. ¿Cómo la dividirían en dos partes iguales ?

Evidentemente, tanto en nuestras cabezas como en las de los alumnos, cada una de las partes era constituida de un solo pedazo. Nosotros les habíamos advertido que la división tenía que hacerse con un único movimiento de cuchillo que cruzara de manera rectilínea nuestra pizza. ¿Dónde había que cortar entonces ? Aparecieron intentos de respuesta, como :

— Necesitamos la mitad de la pizza, señor, dijo Hamza a uno de nosotros.

— ¿Qué significa la mitad de la pizza, Hamza ?

— Su centro, contestó él.

— ¿Y dónde está el centro ?

— ¿Puedo ir al pizarrón a mostrarle ?

— Sí, claro, anda.

Él hizo un intento, pero sólo se aproximó. Como los dibujos (rectas, círculos) hechos a mano son con frecuencia imprecisos y pueden llevar a conclusiones erradas, nosotros les propusimos trabajar directamente sobre la imagen proyectada sobre el telón. Eso les facilitó las cosas, aunque nos dio la impresión un tanto misteriosa de que ¡ellos creían trabajar sobre una pizza de verdad ! Después de Hamza, Kessy nos propuso mostrarnos cómo lo haría. Trazó dos cuerdas, ambas cercanas al diámetro.

— Este es el centro, nos dijo, mostrándonos el punto de intersección.

— ¿En serio ?

— ¡Sí, en serio !

— ¿Cómo lo sabes ?

— Está más cercano a todo, respondió con toda naturalidad. Ella estaba segura de sí misma y de lo que decía.

Es increíble que estos jóvenes escolares puedan tener opiniones tan decididas. Es tan diferente de lo que estamos acostumbrados a ver en las clases superiores.

Comprendimos que casi todos estos alumnos sabían lo que entendían por centro del círculo y que veían dónde estaba situado. Pero nosotros queríamos de todas maneras que llegaran a ubicarlo sobre esta pizza. Algo que ocurrió efectivamente después de algunas aproximaciones : lo vieron donde debía estar, debajo de una apetitosa aceituna. ¡Aleluya ! La continuación :

— Ahora que sabemos dónde está el centro de la pizza, ¿cómo la cortamos en dos partes iguales ?

Todos los alumnos levantaron sus dedos para salir al pizarrón. Nosotros habíamos hecho pasar uno por uno a cuatro alumnos, y entre ellos, a Tonzilla y a Waffa que por costumbre eran un poco menos espontáneas que los demás. Cada uno tuvo derecho a su diámetro. Es bastante curiosa la manera cómo procedieron : el primer alumno lo dibujó horizontal, el segundo vertical, el tercero eligió la primera bisectriz de los dos primeros y el cuarto la segunda bisectriz.

— ¿No hay más que esos cuatro ahí ? Las respuestas no tardaron en llover :

— No, hay cinco, dijo uno ;

— ¿Es todo ?

— Seis, dijo otro ;

— Muchos más, dijo un tercero ;

— Infinitos, recalcó Hamza con insistencia. ¿Infinitos ? Comprendimos lo que él quería decir : uno puede trazar una infinidad de diámetros.

Estábamos satisfechos : todos saben ahora que el círculo tiene una infinidad de ejes de simetría, toda recta que pase por su centro constituye uno. Faltaba ahora demostrarles que el círculo ocupa un lugar especial, y que hay otras figuras que tienen tantos ejes de simetría. ¡Incluso se puede contar sus ejes de simetría con los dedos de una mano ! Les proyectamos luego una torta cuadrada, una mariposa extendiendo sus dos pequeñas alas planas, un copo de nieve, una foto bien simétrica del Taj Mahal, un pequeño burro mirando su reflejo en un espejo, un triángulo equilátero, un rectángulo... pero también figuras sin ningún eje de simetría, y entre ellas desde luego, un cuadrilátero absolutamente cualquiera (ver aquí). Umberto Eco afirmaba Para decir que algo es falso, hay que creer que otra cosa es verdadera. Por lo tanto ¡hay figuras simétricas y otras que no lo son !

La última secuencia de nuestra intervención consistió en mostrar cómo la simetría axial permite resolver ciertos problemas prácticos, por ejemplo, el cálculo del área de una figura geométrica. Habitualmente los alumnos de esos niveles conocen la fórmula que entrega el área de un rectángulo. Teníamos que asegurarnos primero que este era efectivamente el caso. Después de eso les preguntamos si ellos sabían cómo calcular el área de un triángulo, de manera de llevarlos a recortar figuras, una práctica indispensable para lo que planéabamos hacer a continuación. La pregunta provocó de verdad un problema pues al principio respondían cualquier cosa. No era en absoluto evidente hacerles comprender que uno puede recurrir a un rectángulo. Pero estábamos dispuestos al menos a hacer el esfuerzo. Lo más importante era que ellos aprendieran que cuando uno no puede ir directamente de un punto $A$ a un punto $B$, hay que buscar siempre cómo pasar por un tercero que uno conozca bien, regla que no es propia de las matemáticas sino de utilidad en la vida real. Respecto a lo que nos interesaba, se trataba de dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos, hacer otras figuras para fabricar un rectángulo cuya área sea el doble de aquella que uno busca. Es lo que habíamos hecho con ellos : pero a pesar que ese rectángulo había sido fabricado a propósito con ese fin, la vuelta al área del triángulo inicial no era tan evidente.

En efecto, no era en absoluto el área de tales figuras (llamadas regulares) lo que más nos interesaba esa tarde, sino aquella que correspondía a algo más fuera de lo común. Un pez, como por ejemplo el del dibujo de abajo. Su borde $\Gamma $ está conformado por fragmentos de rectas y de círculos, deliberadamente dibujados, con el fin de adaptarlo al cálculo de su área. Sobre este borde $\Gamma $, uno puede determinar cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ formando un rectángulo que constituye el vientre del pez. Los cuatro fragmentos exteriores, de contornos respectivos $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ y $\delta $ están construidos de tal manera que las figuras creadas por reflexión respecto a los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ se superponen en el interior y teselan el rectángulo $ABCD$ (cf. dibujo que sigue, y vea aquí para las etapas intermedias).

La idea de dejar a los alumnos dibujar ese pez y de que ellos mismos encontraran una manera de doblar los pedazos parecía totalmente natural. Nosotros nos separamos para poder seguir a unos y otros en su tarea. Hamza era bastante curioso y preguntón. Valerio le propuso observar cómo uno abre un sobre rectangular en un paralelógramo cuya área es doble (cf. dibujo de abajo).

Eureka : Hamza se dio cuenta de inmediato de que los vértices del sobre cumplían un rol especial. Eso le llevó a buscar los análogos en el pez. Él los localizó con facilidad pese a que son solo aproximados. Él comprendió también que esos vértices son los centros de simetría : $A$ entre una parte de $\alpha $ y una de $\delta $, $B$ entre una parte de $\alpha $ y una de $\beta $ y así consecutivamente (cf. dibujo). (Eso hacía pensar que él sospechaba que la composición de dos reflejos de ejes ortogonales es la simetría central, de centro el punto de intersección). Él fue al pizarrón y nos explicó de manera sorprendente cómo uno desdobla esos contornos de manera que todo coincida dentro del rectángulo $ABCD$ (exactamente como en el dibujo). Con ayuda de la regla, él extrajo la longitud y la ancho del rectángulo, calculó su área mediante la fórmula habitual y concluyó triunfalmente :

— ¡ La superficie del pez es dos veces la del rectángulo, y es entonces de tantos centímetros $^2$ !

— Formidable, gritamos todos al mismo tiempo.

La sesión llegó a su fin justo cuando sonó el timbre para el recreo. Les preguntamos a los alumnos si les había servido de algo. Todos contestaron con un bien fuerte, les agradecimos educadamente y ellos se dispersaron gritando cada uno por su lado ¡adiós ! ¡Fue tan conmovedor ! pero tamaña sorpresa nos llevamos (aquella que motivó esta crónica, como yo lo dije desde un principio) cuando le preguntamos a Kaled :

— ¿Hamza es el mejor de su curso ?

— ¡No, no, por el contrario ! Al parecer es un niño con muchas dificultades, y es por eso que me se me pidió que lo recibiera en el laboratorio. Algunos de los otros cuatro también están en la misma situación.

Casi nos caímos de la impresión : ¿estos niños tienen problemas en clase ? ¡Y sin embargo, hoy se iluminaron tanto durante la sesión de geometría elemental !

$\bullet $ Es a esta edad cuando a algunos niños les toca desarrollarse. Si uno deja que los problemas crezcan sin buscar las soluciones, pueden transformarse en algo sin ninguna solución y la situación en irreversible. ¡Esto es extremadamente grave !

$\bullet $ Es deber del profesor darse cuenta y tratar de comprender sus dificultades. Ponerse en su lugar y, en definitiva, ¡seguir el consejo de Kierkegaard !

Esos laboratorios en la secundaria y la primaria, por los cuales hemos abogado tanto en los últimos años, parecen ser una de las soluciones en tal sentido. En todo caso, son ciertamente un aporte beneficioso dentro de un establecimiento, como lo atestigua la experiencia que acabamos de vivir. Para terminar, el colegio nos ofreció gentilmente café, té y galletas, llenas de ejes de simetría. ¡Fue una merienda simétrica con los escolares !

En el camino de regreso a Lille, Valerio y yo discutimos largamente acerca de estos problemas. Estábamos reconfortados en nuestra convicción de seguir adelante con este trabajo. Con François tenemos la intención de redactar un informe sobre todo esto, que difundiremos entre aquellos que sienten de corazón los problemas de enseñanza de las matemáticas. Vamos a hacerlo en el marco de nuestras actividades en la Cité des Géométries, vastamente involucrada en esta dirección (y en otras, por supuesto).

Referencias :

[BDR] - G. Bonnefond, D. Daviaud & B. Revranche. Le nouveau Pythagore, Curso de Sexto año. Edición especial para el profesor, Hatier (1996).

Article original édité par Paul Vigneaux

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¡Una merienda simétrica con escolares !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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