Vamos directo al grano. Este es el teorema del punto fijo de Brouwer.

Se dice que Brouwer tuvo la idea de este resultado mientras tomaba un café. Al mezclarlo con azúcar, pareciera que siempre hay un punto inmóvil ; dicho de otra forma, al revolver el café, hay un punto de la superficie que no se mueve.

Empecemos por el caso de la dimensión 1. En este caso, $f$ es una función continua del intervalo $[0,1]$ en sí mismo.

Consideremos ahora la función $g:x\in[0,1]\longmapsto f(x)-x$. Para esta, se tiene $g(0)\geq0$ y $g(1)\leq0$. Así, por el teorema del valor intermedio, se deduce que existe $x$ tal que $g(x)=0$, es decir, tal que $f(x)=x$. Esto completa la demostración en dimensión 1.

En el resto de esta nota probaremos el teorema de Brouwer a través de un bello argumento combinatorio : el lema de Sperner.

Entremos al fabuloso mundo de la combinatoria

Nos interesamos ahora en un objeto muy importante de la combinatoria : un grafo.

Un grafo consiste de :

• un conjunto de vértices que representan, por ejemplo, individuos, y

• un conjunto de aristas, que representan, por ejemplo, los lazos de amistad de esos individuos.

Para cada vértice del grafo, se puede definir su grado como el número de sus vecinos (de manera análoga al número de amigos de un individuo)

Comencemos enunciando una propiedad válida para todo grafo que usaremos más adelante :

Ejercicio : Probar la propiedad.

El lema de Sperner en dimensión 1 y 2

Esta es una versión discreta del teorema del valor intermedio.

Como ya probamos el teorema de Brouwer en dimensión 1, agreguemos una dimensión y procedamos con el caso de dimensión 2.

Una triangulación (del plano) es una partición de un objeto en un conjunto de triángulos. En lo que sigue, vamos a triangular... ¡triángulos !

Ahora colorearemos una triangulación con 3 colores de la siguiente manera :

• cada vértice externo tiene un color diferente ;
• cada lado del triángulo externo es un segmento bicolor ;
• los vértices del interior del triángulo externo son pintados con cualquiera de los 3 colores.

Una coloración de este tipo es llamada coloración de Sperner.

Podemos ahora enunciar el lema de Sperner en dimensión 2 :

Demostremos este hermoso resultado.

Comencemos por abrir las aristas

Construyamos ahora un nuevo grafo. Pongamos un vértice en cada triángulo pequeño, además de uno al exterior del triángulo grande. Tracemos ahora una arista entre dos de estos vértices si se les puede unir a través de una de las aberturas :

¿ Qué valores puede tener el grado de un vértice  ?

Todas las configuraciones posibles (módulo permutación de los vértices) son :

• vértice de grado 0
  
• vértice de grado 2
  
• vértice de grado 1
  

Así, los vértices de grado 1 son exactamente los vértices dentro de triángulos tricolores . Debemos entonces hallar un vértice de grado 1 en nuestro nuevo grafo para deducir el lema de Sperner.

¿ Pero cómo hacerlo ?

Partamos del vértice externo

y sigamos un camino en el grafo.

Hay dos posibilidades :

1. Llegamos a un lugar sin salida, es decir, el camino acaba en un vértice de grado 1 ¡y entonces se gana !
   
2. O bien volvemos al vértice de partida (se cierra un ciclo).
   
   En este caso, intentamos otro camino hasta hallar uno bueno.
   
   

   Pero ¿por qué podemos encontrar uno bueno ?

   Recordemos que los vértices del interior de los triángulos pequeños tienen grados 0, 1 o 2. Por lo tanto, todos los vértices de un ciclo (salvo el vértice externo) son de grado 2.
   
   Pero hemos visto que la cantidad de cambios de color en un segmento bicoloreado es impar. En consecuencia, el grado del vértice externo es impar.
   
   Ahora bien, sabemos que, en un grafo, el número de vértices de grado impar es par. Por lo tanto, el vértice externo debe necesariamente unirse por un camino a otro vértice de grado impar, es decir, de grado 1.
   

Esto completa la prueba del lema de Sperner en dimensión 2.

De Sperner a Brouwer en dimensión 2

Demostraremos ahora el teorema de Brouwer en dimensión 2. Consideremos una función continua $f$ del disco unitario (cerrado) de $\mathbb{R}^2$ en sí mismo.

Razonemos por el absurdo, y supongamos que $f$ no tiene punto fijo. Colocando 3 vértices en la circunferencia, podemos pensarla como un triángulo.

La aplicación $f$ es, por tanto, una función continua del triángulo (lleno) $T$ en sí mismo. La astucia ahora consiste a ver este triángulo no en el plano, sino que en el espacio.

Incrustando el triángulo en $\mathbb{R}^3$, la aplicación $f$ definida en $T$ y a valores en $T$ es ahora una función de $\mathbb{R}^3$ a valores en $\mathbb{R}^3$.

Ya que deseamos aplicar el lema de Sperner, necesitamos introducir las triangulaciones. Construimos por iteración triangulaciones más y más pequeñas por el mecanismo siguiente : ’’un triángulo de la etapa $k$ de la construcción es refinado en en la etapa $k+1$’’.

Las primeras triangulaciones son las siguientes :

Sea $T_k$ la triangulación dada por la $k$-ésima etapa de la construcción precedente.

Definimos entonces un coloreamiento $\lambda$ de la triangulación $T_k$. Para $x=(x_1,x_2,x_3)\in T_k$, definimos
\[ \lambda(x) \, = \, \min\left\{ i \in \{1,2,3\} :\, f(x)_i < x_i \right\}. \]
Para las figuras, adoptamos las convenciones siguientes :

• si $\lambda(x)=1$, entonces el vértice es pintado de azul ,
• si $\lambda(x)=2$, entonces el vértice es pintado de verde , y
• si $\lambda(x)=3$, entonces el vértice es pintado de naranjo .

Afirmamos que $\lambda$ define una coloración de Sperner para la triangulación $T_k$.

Podemos aplicar el lema de Sperner. En cada triangulación $T_k$ existe un pequeño triángulo multicolor, es decir, de vértices $v_1^k$ (coloreado 1), $v_2^k$ (coloreado 2) y $v_3^k$ (coloreado 3).

Construimos de este modo 3 sucesiones $(v_1^k)_{k\geq0}$, $(v_2^k)_{k\geq0}$ y $(v_3^k)_{k\geq0}$.

Como el triángulo $T$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^3$, podemos extraer 3 sucesiones de $(v_1^k)_{k\geq0}$, $(v_2^k)_{k\geq0}$ y $(v_3^k)_{k\geq0}$ que convergen simultáneamente.

Observemos que dichas subsucesiones tienen el mismo límite, denotado $v$. En efecto, por construcción, los vértices $v_1^{\varphi(k)}$, $v_2^{\varphi(k)}$ y $v_3^{\varphi(k)}$ son los vértices de una sucesión de triángulos cada vez más pequeños de la triangulación $T_{\varphi(k)}$. Por lo tanto, ellos están cada vez más cercanos unos de otros. En consecuencia, si las sucesiones convergen, entonces sus límites coinciden.

En lo que sigue, abusando de la notación, no diferenciaremos las sucesiones $(v_i^k)_{k\geq0}$ de sus subsucesiones $(v_i^{\varphi(k)})_{k\geq0}$.

Pero ahora, ¿cómo concluir ?

Para esto, tratemos de comparar $v$ con $f(v)$. Como $f$ es continua sobre $T$, y
\[ v = \lim_{k\rightarrow+\infty} v_1^k = \lim_{k\rightarrow+\infty} v_2^k = \lim_{k\rightarrow+\infty} v_3^k, \]
tenemos
\[ f(v) = \lim_{k\rightarrow+\infty} f(v_1^k) = \lim_{k\rightarrow+\infty} f(v_2^k) = \lim_{k\rightarrow+\infty} f(v_3^k). \]
Pero de acuerdo a la definición de la coloración $\lambda$, tenemos :
\[ f(v_1^k) < (v_1^k)_1 \quad \textrm{ y } \quad f(v_2^k)_1 \geq (v_2^k)_1. \]
Así, pasando al límite las desigualdades precedentes, obtenemos :
\[ f(v)_1 \leq v_1 \quad \textrm{ y } \quad f(v)_1 \geq v_1, \]
es decir,
\[ f(v)_1 = v_1. \]
De la misma forma se prueba que :
\[ f(v)_2 = v_2 \quad \textrm{ y } \quad f(v)_3 = v_3. \]
Hemos así probado que $f(v)=v$, es decir, $f$ admite un punto fijo. Sin embargo, esto es una contradicción con nuestra hipótesis de partida, lo cual concluye la prueba. [1]

¿Y en dimensión superior ?

En dimensión 3, consideramos triangulaciones de tetraedros

y coloraciones con condiciones sobre las aristas y las caras.

En dimensión $n$ arbitraria, consideramos simplejos de $n+1$ vértices, es decir, la figura análoga de $n$ dimensiones.

Se definen de la misma forma triangulaciones de un simplejo : son subdivisiones en simples más pequeños de la misma dimensión. La definición de coloración de Sperner es análoga.

Luego, gracias a un razonamiento por inducción sobre la dimensión, se obtiene el enunciado general siguiente del lema de Sperner :

De la misma forma que en dimensión 2, se prueba el teorema de Brouwer a partir del lema de Sperner.

Algunas aplicaciones

Un resultado equivalente al lema de Spernery al teorema de Brouwer e el lema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, o lema KKM. Este es válido para cerrados de $\mathbb{R}^n$, pero restrinjámonos al caso de la dimensión 2.

Sea $T=x_1 x_2 x_3$ un triángulo. Sean $F_1,F_2,F_3$ tres cerrados tales que :

1. $T\subset F_1\cup F_2\cup F_3$,
2. $x_i\in F_i$, y
3. si denotamos $c_{ij}$ el lado del triángulo $x_i x_j$, entonces $c_{ij}\subset F_i\cup F_j$.

Entonces existe $x\in F_1\cap F_2 \cap F_3$.

Finalmente, ¡el teorema del punto fijo de Brouwer puede también reformulante en un enunciado de la teoría de juegos !

¿Conoces el juego de Hex ?

Es un juego donde dos jugadores compiten en un tablero hecho de hexágonos. El objetivo de cada uno de los jugadores (azul y rojo) es conectar los bordes del tablero (correspondientes a su color) coloreando los hexágonos por turnos.

A finales de la década de 1940, John Nash demostró que en este juego siempre hay un ganador. No fue hasta mucho después que un matemático llamado David Gale demostró que del resultado de Nash se puede deducir el teorema del punto fijo de Brouwer.

Puedes encontrar aquí las notas manuscritas de esta exposición (en francés) en formato pdf, y aquí puedes saber más del seminario del ’’relax’’ matemático (sitio en francés).