Una taza de café y una rosquilla

Le 21 juillet 2021  - Ecrit par  David Vicente
Le 21 juillet 2021
Article original : Un bol de café et un donut Voir les commentaires
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La caída de una gota de agua en un recipiente lleno crea una onda circular en su superficie. Estamos interesados ​​aquí en la evolución de la longitud de esta onda después de que se refleja en los bordes de la taza.

La experiencia :

El tema del que trataremos aquí forma parte de la familia de problemas inspirados por el café matutino. Cuando una gota cae en un recipiente lleno de agua, la onda creada en su superficie aparece primero circular y luego se refleja en el borde. Después de esto, si la caída no ocurrió en el centro de la taza, la onda parece enfocarse en el punto opuesto. Luego se refleja de nuevo, pero su intensidad se vuelve demasiado débil para ser visualmente perceptible.

Lo que estamos observando parece ser el principio de un movimiento periódico. Sin embargo, el fenómeno es demasiado fugaz para que nuestros propios sentidos puedan analizarlo con certeza. Para solventar este problema, usaremos un poco de geometría y una computadora para recrear este fenómeno simplificándolo. Primero, solo vamos a mantener el movimiento en la superficie del agua, la línea frente a la onda en movimiento, la llamamos frente de onda.

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Entonces, solo representaremos esta línea con un número finito de puntos que designamos por $M_1,\ldots ,M_n$. Suponemos que todas estas n partículas parten del mismo punto, pero todas en direcciones diferentes.

Representación del frente de onda por $n = 14$ puntos.

Cada partícula se mueve una pequeña distancia en su dirección, hasta que se encuentra con el borde de la taza. Luego calculamos su nueva dirección respetando la igualdad del ángulo de incidencia y del ángulo de reflexión.

Algoritmo :

Designamos por $\cal D$ el disco unitario y n el número de puntos que componen el frente de onda. Introducimos dos vectores : $M=(M_1,\ldots,M_n)$ y $V=(V_1,\ldots,V_n)$ ; el primero corresponde a la lista de coordenadas y el segundo a la lista de los vectores de velocidades de los puntos del frente de onda.

Sea $\mbox{A}$ la posición inicial común a todos los puntos del frente de onda (el punto de caída de la gota). En el instante inicial, sea cual sea $k\in[\![1,n]\!]$, tenemos $M_k=\mbox{A}$ y $V_k=\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right), \sin\left( \frac{2k\pi}{n}\right)\right)$. Establecemos un paso temporal (pequeño), que designamos por $\delta_t>0$, y para todo $k\in [\![1,n]\!]$ introducimos el siguiente esquema iterativo :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \mbox{si } M_k+\delta_tV_k \in {\cal D}, \mbox{ entonces } M_k\leftarrow M_k+\delta_t V_k, \\ \mbox{si } M_k+\delta_tV_k \not \in {\cal D}, \mbox{ entonces calculamos } \tilde{\delta_t}\geq 0 \mbox{ tal que } \Vert M_k+\tilde{\delta_t} V_k\Vert=1,\\ \qquad M_k\leftarrow M_k+\tilde{\delta_t}V_k,\\ \qquad V_k \leftarrow V_k - 2\left(V_k \cdot {M_k}\right) {M_k},\\ \qquad M_k \leftarrow M_k+(\delta_t-\tilde{\delta_t})V_k. \end{array} \right. \]
donde $\cdot $ designa el producto escalar habitual y $\Vert \, \Vert$ la norma euclidiana en $\mathbb{R}^2$. Podemos reconocer allí un esquema de Euler explícito donde la condición de salida del disco $M_k\not \in {\cal D}$ reemplaza la del impacto en el borde $M_k\in \partial {\cal D}$ porque este generalmente no se realiza debido al paso. Después de $p$ iteraciones de este esquema, las coordenadas de $M$ representan todas las posiciones de los puntos de la onda en el instante $t=p\delta_t$.

Condición de reflexión en el borde del disco : aplicación de la simetría ortogonal frente a la recta tangente al disco en $B_1$ al vector $V_k$.

Gracias a este modelo (eligiendo un número de puntos igual a $n=2^{11}$ y un paso de tiempo igual a $\delta_t={2^{-6}}$), podemos obtener videos del frente de onda con una duración que excede los dos primeros reflejos perceptibles en la realidad. Además, podemos elegir la distancia, designada por $a$, en la que el punto de caída es desde el centro del disco.

Vemos que después del primer reflejo en el borde, la onda no se enfoca exactamente en un punto, al contrario de lo que parecía sugerir la percepción visual. Por otro lado, sea cual sea el punto de caída, el movimiento no es periódico (salvo en el caso especial donde el punto de caída es el centro de la taza). Más precisamente, a corto plazo alterna entre fases de contracción y expansión, mientras que a largo plazo parece prevalecer el fenómeno de la dilatación. Para observar esto con más detalle, en cualquier iteración del esquema, calculamos la cantidad \[ \Vert M_{2}-M_1\Vert+\Vert M_{3}-M_2\Vert+\ldots+\Vert M_{n}-M_{n-1}\Vert \] que se considera una aproximación numérica de la longitud del frente de onda.

Longitud del frente de onda en función del tiempo y con diferentes valores de $a$.

A partir de la observación de estas curvas, podemos hacer las siguientes conjeturas :

  • para un valor fijo de $a$, cuando el tiempo $t$ se vuelve grande, hay una constante $C>0$ tal que la longitud del frente de onda es equivalente a $C\times t$,
  • $C$ depende de $a$ de forma creciente,
  • la amplitud de las oscilaciones secundarias es insignificante en comparación con $t$.

El resultado

Podemos especificar y probar las conjeturas anteriores, obtenemos el siguiente resultado.

Teorema : Sea ${\cal L}(t)$ la longitud del frente de onda en el tiempo $t$, tenemos la equivalencia : \[{\cal L}(t) \underset{t\to +\infty}{\Large \sim} 2\arcsin(a) \, t.\]

Este teorema sólo puede demostrarse con conocimientos equivalentes al primer año de Matemáticas en la educación superior (ver [V-20]). Si bien es económico en sus herramientas, la duración y la cantidad de cálculos significan que este enfoque no gana en claridad. Por otro lado, sólo es adecuado para el caso particular del círculo. Estos inconvenientes hacen que este no sea el camino que vamos a tomar aquí. Más bien intentaremos ilustrar una construcción geométrica que permita profundizar este resultado y extenderlo a una familia mayor de fenómenos denominados frentes de onda en un campo hamiltoniano integrable [CV-20], [C-20]. Estos están relacionados con el teorema de Arnold-Liouville sobre sistemas integrables.

El enrollamiento de la trayectoria en un toro

A lo largo de esta sección, nos centramos en un punto cualquiera del frente de onda y examinamos la trayectoria de este punto a lo largo del tiempo. El siguiente resultado es crucial para nuestro estudio.

Propiedad : Para un punto de frente de onda dado, los triángulos formados por dos puntos de impacto consecutivos y el centro del disco son isométricos.

Demostración

Se conserva el ángulo de incidencia.

Sea $O$ el centro del disco y $A,B,C$ tres puntos consecutivos de colisión con el disco (consulte la Figura anterior). Dado que $OAB$ es isósceles en O, tenemos $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$. Sin embargo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, por lo que $\widehat{OBA} = \widehat{OBC}$. Dado que $OAB$ y $OBC$ son ambos isósceles, tienen un lado en común y sus ángulos de base son iguales, por lo tanto, son isométricos.

Una consecuencia de esta propiedad es que la trayectoria de un punto permanece confinada dentro de un anillo.

Trayectoria de una partícula para $t\in[0,10]$ (izquierda), $t\in[0,50]$ (centro) y $t\in[0,500]$ (derecha).

De esta forma, en cualquier momento, su afijo complejo [1] puede ser determinado por dos parámetros reales $u$ y $v$ , de manera que $e^{iu}$ es el afijo del último impacto con el círculo y $v$ representa la distancia que lo separa de este impacto. Dado que los triángulos formados por dos puntos de impacto consecutivos y el centro del disco son isométricos e isósceles, denotemos $\alpha$ el ángulo en la base, $v_\alpha$ la longitud de la base y $u_\alpha$ el ángulo en la parte superior de estos triángulos. Por la propiedad anterior, estas cantidades permanecen constantes en el tiempo. Esto define por tanto en el rectángulo $(u,v)\in [0,2\pi[\times [0;v_\alpha[$ una parametrización de las posiciones que este punto puede ocupar en cualquier momento.

Parametrización de las posiciones que puede ocupar un punto cuyo ángulo de incidencia con el borde del disco sea fijo.

Dado que $u\mapsto e^{iu}$ es $2\pi$-periódico, el punto del frente de onda se puede representar por una infinidad de pares de la forma $(u+2k\pi,v)$ donde $k$ es cualquier número entero. Geométricamente, esto equivale a replicar el rectángulo $[0,2\pi[\times [0;v_\alpha[$ indefinidamente a la derecha e izquierda del rectángulo inicial e identificar dos puntos de la franja si al mismo tiempo sus ordenadas y sus abscisas son iguales módulo $2\pi$.

Replicación horizontal del rectángulo

A medida que aumenta el tiempo $t$, la trayectoria del punto descrito usando los parámetros $(u,v)$ es simple : el movimiento es rectilíneo y vertical hasta que el punto se encuentra con el borde del disco ; entonces el punto $(u,v)$ salta al punto de coordenadas $(u+u_\alpha,0)$. Esto sugiere que peguemos por encima y por debajo de cada uno de los rectángulos dispuestos horizontalmente ante otros rectángulos idénticos con un desplazamiento horizontal igual a $u_\alpha$ y repetir esta operación indefinidamente para cubrir todo el plano.

El rectángulo inicial (en verde oscuro) se replica (en verde claro) para que cubra todo el plano y que la trayectoria del punto en el plano sea en línea recta (violeta, luego rojo, luego naranja, luego amarillo).

La ventaja de esta construcción es que ahora, descrito con los parámetros $(u,v)$, el punto siempre se mueve en línea recta, sin saltar, con un vector de velocidad constante igual a $(0,1)$. Sin embargo, tiene la desventaja de representar el punto del frente de onda por la infinidad de pares que tienen la forma \[(u,v)+k(2\pi,0)+l(-u_\alpha,v_\alpha),\] donde $(k,l)\in\mathbb{Z}^2$ son dos coordenadas enteras cualesquiera. Para paliar este defecto, consideramos el siguiente paralelogramo \[{\cal P}_\alpha = \{r(2\pi,0)+s(-u_\alpha,v_\alpha)|(r,s)\in [0,1[^2\}.\] Como todavía se puede cubrir el plano con este paralelogramo, en cualquier momento se puede asociar con la posición del punto un solo punto en ${\cal P}_\alpha$.

Paralelogramo ${\cal P}_\alpha$ (izquierda) y su enderezamiento mediante la aplicación $L_\alpha$.

Luego consideramos el mapa lineal $L_\alpha$ de $\mathbb{R}^2$ que envía la base $((2\pi,0),(-u_\alpha,v_\alpha))$ a la base canónica. Esto nos lleva a considerar las coordenadas $(r,s)=L_\alpha(u,v)$ en $[0,1[^2$ para representar el punto (tal punto representa todas las parejas de la forma $(r+k,s+l)$ donde $(k,l)\in\mathbb{Z}^2$).

Descrita con los parámetros $(r,s)$, la trayectoria del punto sigue siendo uniforme rectilínea, pero ahora con un vector de velocidad (que generalmente no es igual a $(0,1)$), que designaremos por ${\bf V}_\alpha$. Postular que cualquier punto del plano de coordenadas $(r,s)$ se identifica con cualquier otro punto de la forma $(r+k,s+l)$, donde $(k,l)$ es un par de números enteros arbitrarios, equivale a un lugar en la superficie de un toro, que es el nombre matemático de la forma de una rosquilla. Para entender esto, podemos considerar la siguiente aplicación
\[ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}^2 &\to& \mathbb{R}^3,\\ (r,s) & \mapsto & 4\begin{pmatrix} \cos(2\pi r)\\ \sin(2 \pi r)\\ 0 \end{pmatrix} + 1.5{\cos(2\pi s)} \begin{pmatrix} {\cos(2\pi r)}\\ \sin(2\pi r)\\ 0 \end{pmatrix} + 1.5{\sin(2\pi s)} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{array} \]

Parametrización del toro.

La imagen de esta aplicación es un toro en el espacio. Además, cualquier par $(r,s)$ tiene la misma imagen en el toro que cualquier otro par de la forma $(r+k,s+l)$, donde $(k,l)$ es un par de enteros arbitrarios (porque $\cos$ y $\sin$ son $2\pi$-periódicas). En este sentido, esta aplicación permite identificar estos puntos.

El toro se designa por $\mathbb{T}^2$. Ahora podemos representar sin ambigüedades el punto dado del frente de onda en cualquier momento por su posición en $\mathbb{T}^2$.

Trayectoria en el disco (a la izquierda) y su representación en el toro (a la derecha) de una partícula para $t\in[0,200]$.

La asintótica de la fase estacionaria

Vamos a ver ahora cómo la construcción anterior permite clarificar el proceso a seguir para demostrar el resultado principal de este artículo. Primero, sea $M(t,\theta)$ el afijo complejo de la partícula del frente de onda emitida inicialmente en la dirección $(\cos(\theta),\sin(\theta))$en el tiempo $t$. El frente de onda en este instante está parametrizado por $\theta \in[0,2\pi] \mapsto M(t,\theta)$ y esta función es diferenciable fuera de un conjunto finito de puntos (los valores de $\theta$ tales que $M(t,\theta)$ pertenece al borde del disco), la longitud del frente de onda viene dada por la fórmula
\[ \int_0^{2\pi}\left| \frac{\partial M}{\partial \theta}(t,\theta)\right|\mbox{d}\theta . \]
Sin embargo, desde el punto de vista del toro, acabamos de ver que podríamos escribir
\[ M(t,\theta) = F(\theta, \underbrace{t{\bf V}(\theta)}_{\in \mathbb{T}^2}), \]
donde $F$ y ${\bf V}$son funciones que se pueden calcular explícitamente siguiendo la construcción anterior (sería necesario para esto introducir nuevos parámetros para poder expresar las coordenadas exactas del punto de caída, expresar $\alpha$ en función de $\theta$ luego usar el función $L_\alpha$, no lo haremos aquí para centrarnos en el método más que en los cálculos). Entonces tenemos :
\[ \left|\frac{\partial M}{\partial \theta}(t,\theta)\right| = tG(\theta,t{\bf V}(\theta)) + R(t,\theta) \]
donde $G$ es una función que puede hacerse más explícita y $R(t,\theta)$ es un resto, que es más pequeño que una constante independiente de $t$ y $\theta$. La longitud del frente de onda toma la siguiente forma :
\[ {\cal L}(t) = t \int_0^{2\pi}G(\theta,t{\bf V}(\theta))\mbox{d}\theta + R(t,\theta). \]
Por lo tanto, tenemos que determinar un límite del tipo
\[ \lim_{t\to +\infty}\int_0^{2\pi} G(\theta,t{\bf V}(\theta))\mbox{d}\theta. \]
Sin embargo, cuando fijamos la primera variable $\theta$, la función ${\bf v} \in \mathbb{R}^2 \mapsto G(\theta,{\bf v} )$ es una función definida en $\mathbb{T}^2$, por tanto desde el punto de vista del toro es una función doblemente periódica, es decir que ella comprueba :
\[ G(\theta,{\bf v}+{\bf k} )=G(\theta,{\bf v} ), \quad \mbox{ cualquiera que sea } {\bf k} \in\mathbb{Z}^2. \]
Desarrollando esta función en la serie de Fourier [2] (con respecto a la segunda variable) y usando un argumento de densidad con respecto a la convergencia uniforme [3], podemos reemplazar $G$ por una función del tipo :
\[ \sum_{{\bf k} \in \mathbb{Z}^2}c_{\bf k}(\theta)e^{i{\bf k}\cdot {\bf v}}. \]
De esta manera, nos vemos llevados a determinar la asintótica cuando t tiende a la infinidad de integrales de la forma :
\[ I_{\bf k}(t) = \int_0^{2\pi} c_{\bf k}(\theta)e^{it{\bf k}\cdot V(\theta)}\mbox{d}\theta. \]

Para esto, utilizamos la asintótica de la fase estacionaria que se puede formular de la siguiente manera.

Teorema : Queremos evaluar la asintótica, cuando $t$ tiende a $+\infty$ de una integral de la forma \[ I(t) = \int_a^bc(\theta)e^{itS(\theta)}\mbox{d}\theta, \] donde $S$ es una función indefinidamente diferenciable con valores reales, $c$ una función indefinidamente diferenciable e idénticamente cero fuera de un intervalo limitado $J$, $S'$ solo igual a 0 en 0 sobre $J$. Además, suponemos que $S''(0)\not = 0$. Entonces tenemos : \[ I(t) = \frac{\sqrt{2\pi}e^{i\epsilon \pi/4}}{|tS''(0)|^{1/2}}e^{itS(0)}\left(c(0)+\frac{R(t)}{t}\right), \] donde $\epsilon=\pm 1$ depende del signo de $S''(0)$ y $R(t)$ es una función uniformemente limitada con respecto a $t$.

Gracias a este resultado, deducimos :

  • para ${\bf k}=(0,0)$, $I_{(0,0)}(t)$ es una constante, esta constante es calculable (es igual a $2\arcsin(a)$) y corresponde al coeficiente director de la asintótica lineal ;
  • para ${\bf k}\not =(0,0)$, $I_{\bf k}(t)$ es del orden de $\frac{1}{\sqrt{t}}$ y es posible calcular su asintótica explícitamente.

Más precisamente, podemos demostrar el siguiente resultado.

Teorema : \[ {\cal L}(t)\underset{t\to +\infty}{=} 2\arcsin(a)t+\sqrt{t}\sum_{n=0}^\infty J_n(t) + R(t) \] donde $R(t)$ es una función limitada uniformemente con respecto a $t$ y \[ J_n(t) = \frac{-8\sqrt{2}}{\pi^2(2n+1)^{5/2}}\cos((2n+1)a)\cos\left(\pi\left((2n+1)t+\frac{1}{4}\right)\right). \]

Esto nos permite demostrar las conjeturas iniciales y, además, de especificar el período y la amplitud de las oscilaciones secundarias :

  • las oscilaciones residuales tienen una amplitud de orden $\sqrt{t}$,
  • las oscilaciones residuales son periódicas (período 2).

Comparación del modelo numérico de ${\cal L}(t)$ (en rojo) con el modelo teórico de orden 2 (en azul), $a=0.6$ y la suma del modelo teórico truncado en $n = 10$.

Références

[V-20]
D. Vicente, Une goutte d’eau dans un bol, Quadrature 117, 2020

[CV-20]
Y. Colin de Verdière et D. Vicente, Large-time asymptotics of the wave fronts length I The Euclidean disk (lien)

[C-20]
Y. Colin de Verdière, Large time asymptotics of the wave fronts length II : surfaces with integrable Hamiltonians (lien).

Post-scriptum :

El autor desea agradecer a su padre su ayuda en la traducción del texto.

Article original édité par Nils Berglund

Notes

[1En el plano en el que se ha fijado una base ortonormal, decimos que el punto de coordenadas $(a,b)$ tiene por afijo complejo el número $z=a+ib$. En particular, los puntos del círculo con centro $O$ y radio 1 tienen como afijos complejos los números de la forma $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$, donde $\theta$ es un real.

[2La serie de Fourier apareció en relación con el estudio de ciertos fenómenos físicos, el primero de los cuales es la vibración de baja amplitud en medios elásticos. Considere una función del tipo $ v \mapsto ce^{2i\pi kv}$, donde $k$ es cualquier número entero y $c$ cualquier constante. Esta función es 1-periódica y se denomina oscilación armónica en referencia al estudio de una cuerda en vibración. Bajo ciertos supuestos de regularidad, podemos demostrar que cualquier función 1-periódica $\phi$ puede representarse como la superposición de un número infinito de oscilaciones armónicas que llamamos descomposición en serie de Fourier :
\[ { v} \in \mathbb{R}, \quad \phi(v) = \sum_{k\in \mathbb{Z}}c_ke^{2i\pi k v} \]
Este fenómeno se generaliza en el caso de funciones doblemente periódicas, obtenemos una fórmula del tipo :
\[ {\bf v} \in \mathbb{R}^2, \quad \phi({\bf v}) = \sum_{{\bf k}\in \mathbb{Z}^2}c_{\bf k}e^{2i\pi {\bf k} \cdot {\bf v}} \]

[3Decimos que una secuencia de funciones $(g_N)$ converge uniformemente a una función $g$, todas definidas en $\mathbb{R}$, si tenemos \[ \lim_{N\to +\infty}\sup_{x\in \mathbb{R}}|g_N(x)-g(x)|=0. \]

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Pour citer cet article :

— «Una taza de café y una rosquilla» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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