Una versión simplificada del teorema de Gauss Bonnet

Piste rouge Le 18 octobre 2020  - Ecrit par  Raphael Ducatez
Le 8 septembre 2022  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Une version simplifiée du théorème de Gauss-Bonnet Voir les commentaires
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Teorema de Gauss Bonnet

Un muy buen resultado en geometría diferencial (y que realmente me gusta) es el teorema de Gauss Bonnet, el cual se enuncia de la siguiente manera : ’’Para cualquier superficie cerrada $S$, la integral de su curvatura $K$ es igual a $2\pi$ por su característica de Euler’’.

Aquí no explicaremos este teorema en detalle sino que presentaremos una versión ligeramente simplificada cuyo enunciado y demostración son elementales. Se pueden presentar a estudiantes universitarios o de secundaria mientras les permiten comprender al menos el espíritu del teorema original y, por lo tanto, constituyen, en mi opinión, un tema perfecto para una presentación de divulgación matemática. Este resultado ya fue mencionado en el artículo de Pierre Pansu ’’Mapas, muchachos y gorros’’ y voy a entrar en un poco más de detalle aquí.

A lo largo del artículo expresaremos los ángulos en radianes (como recordatorio, $2\pi$ radianes = 360 grados).

Empecemos con un pequeño resultado intermedio : para un polígono con $N$ lados, la suma de los ángulos es $(N-2)\pi$ radianes. Efectivamente, demos la vuelta a este polígono en el sentido de las agujas del reloj. Después de un giro completo, la suma de los ángulos de los giros $t(i)$ siempre vale $2\pi$, cualquiera que sea el número de giros realizados. El ángulo $a(i)$ de cada vértice es igual a $\pi$ menos $t(i)$. Por lo tanto, tenemos que la suma de los ángulos $a(i)$ es igual a $N\pi$ menos la suma de vueltas $t(i)$, es decir, $N\pi-2\pi$. Este ejemplo no es insignificante, porque las vueltas son el equivalente de la curvatura en dimensión 1, y podríamos haber dicho algo que se parece muy vagamente al teorema de Gauss Bonnet : ’’la integral de los giros en un circuito automovilístico vale siempre $2\pi$’’.

Para un polígono, la suma de los giros angulares siempre vale $2\pi$.

Puntas, también conocidas como defectos de ángulos.

Ahora consideremos un poliedro tridimensional. ¿Podemos definir en sus vértices una noción de esquina ? ¿Algo equivalente a los ángulos 2D que mide qué tan afilado es el vértice ? Descartes ofreció una respuesta. Para un vértice $v$, consideramos las caras del poliedro adyacentes con $v$ y su ángulo $a(i)$ en este vértice. Definimos entonces la punta (o defecto angular) $d(A)$ como $2\pi$ menos la suma de estos ángulos $a(i)$.

Ejemplos :

  • Para un tetraedro regular, en cada vértice $v$ los tres ángulos adyacentes valen $\pi/3$ y, por lo tanto $d(v)=2\pi-3\times\pi/3=\pi$ .
  • Para un cubo, en cada vértice $v$ los tres ángulos adyacentes valen $\pi/2$ y, por lo tanto, $d(v)=2\pi-3\times\pi/2=\pi/2$ .
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Tetraedro : $d(v)=π$ ; Cubo : $d(v)=π/2$.

Estos valores aparecen de forma natural cuando se despliega el patrón. De ahí el término ’’defecto angular’’.

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Tetraedro : $d(v)=π$ ; Cubo : $d(v)=π/2$.

Tenga en cuenta que puede haber puntas negativas. Sin embargo, esto no depende de si el vértice se hunde o no en la figura. Por ejemplo, la punta de abajo es positiva. Para ver si una punta es positiva o negativa, desplegamos el patrón de la figura. Si en el patrón las caras alrededor del vértice no se superponen, entonces la suma de los ángulos es menor que $2 \pi$ ; por el contrario, si se superponen, la suma de los ángulos es mayor que $2\pi$.

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Las puntas de las dos figuras son iguales y positivas.

Puntas y característica de Euler

Recordemos ahora la noción de característica de Euler de un polígono. Esta es igual a la siguiente suma : número de caras ($C$) – número de aristas ($A$) + número de vértices ($V$), es decir, $\chi = C-A+V$. Es uno de los invariantes más conocidos en matemáticas. Su invarianza se debe a que su valor no cambia si sumamos uno o más vértices ($V\rightarrow V+1$ y $A\rightarrow A+1$), una o más aristas ($A \rightarrow A+1$ y $C\rightarrow C+1$), o que la figura esté deformada.

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$\chi_1 = \chi_2 = \chi_3 =\chi_4$

¿Qué pasa con la suma de las puntas del poliedro ? Podemos tomar los ejemplos anteriores :

Para el cubo, tenemos 8 vértices, cada uno con una esquina igual a $\pi/2$ ; la suma de las puntas es entonces $8\times\pi/2=4 \pi$. Para el tetraedro, tenemos 4 vértices, cada uno de los cuales tiene una punta igual a $\pi$ y por lo tanto la suma es $4 \pi$. Podemos mostrar este teorema de Gauss Bonnet simplificado :

Teorema de Gauss Bonnet (I) simplificado : Dado un poliedro $P$, la suma de sus puntas es igual a $2\pi$ por su característica de Euler.

DEMOSTRACIÓN :

\[ \sum_{\text{vértices } v } d(v) = \sum_{\text{vértices } v } 2 \pi - \sum_{i \text{ alrededor de } v} a(i) = 2 \pi V - \sum_{\text{vértices } v } \sum_{i \text{ alrededor de } v} a(i)\]

El segundo término es la suma de todos los ángulos del poliedro, por lo que también es la suma sobre todas las caras $c$ de la suma de los ángulos de esta cara : Por lo tanto :
\[ \sum_{\text{vértices }v } d(v) = 2\pi V - \sum_{\text{caras } c} \sum_{i \text{ al interior de } c} a (i) = 2\pi V - \sum_{\text{caras }c } (N(c)-2) \ \pi,\]
con $N(c)$ el número de lados de la cara $c$ y donde usamos el pequeño resultado del principio $\sum_{i \text{ al interior de }c} a(i) =(N(c)-2) \ \pi$. Entonces obtenemos
\[ \sum_{\text{vértices }v } d(v) = 2\pi V +2\pi C -\pi \sum_{\text{caras }c } N(c) \]
En esta última suma, cada arista del poliedro se cuenta dos veces, y por tanto es igual a $2A$ (siendo $A$ el número de aristas del poliedro). Y podemos concluir : la suma de las puntas vale $2\pi\times(V-A+C)$.

Superficies con agujeros y sin agujeros

Si la característica de Euler es uno de los invariantes topológicos más conocidos es porque permite, en particular, clasificar superficies de dimensión 2. De nuevo para los poliedros, la característica de Euler es realmente invariante si se complejizan cortando caras, añadiendo vértices o deformando la figura. Podemos enunciar el siguiente resultado : la suma de las puntas de un sólido (sin agujeros) es siempre $4 \pi$. En el caso general, la característica de Euler es 2 menos 2 veces el número de ’’agujeros’’.

Por ejemplo, en las siguientes figuras, la suma de las puntas es igual a 0 y $-4 \pi$, y la característica de Euler es igual a $ 12 -24+12 =0$ y $ 50 -100 +48 = -2$, respectivamente :

¿Hacia la versión continua ?

Considere una superficie lisa y aproxímela mediante un poliedro que tenga un gran número de caras. En una pequeña zona de la superficie, se puede definir la curvatura en este lugar como la ’’densidad de las esquinas’’ del poliedro que la cubre. Por ejemplo, en una zona con una curvatura importante los vértices del poliedro que la recubre son más puntiagudos o más numerosos. De hecho, cuando aumenta el número de caras, la suma de las esquinas converge hacia la integral de la curvatura.

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Suma de las puntas = integral de la curvatura = 4π.

Entonces tenemos el teorema de Gauss Bonnet.

Teorema de Gauss Bonnet (I) : \[ \iint_{\mathcal{S}} K d\sigma = 2 \pi \chi (\mathcal{S}) \]

Y también tenemos que, para una superficie $\mathcal{S}$, el valor de $\chi(\mathcal{S})$ es igual a $4\pi -4\pi \times g$ con $g$ el número de ’’agujeros’’ de la superficie.

Tenga en cuenta que $4\pi$ es también la superficie de una esfera de radio 1. En este ejemplo preciso, la curvatura $K$ es constante e igual a $1$. Más generalmente, tenemos $K=1/r^2$ para una esfera de radio $r$.

Teorema notable de Gauss

Resulta que la curvatura no es algo que puedas cambiar fácilmente. Toma una hoja de papel y gírala como quieras. Su curvatura siempre será cero. La explicación es otro teorema de Gauss, a veces denominado ’’Teorema egregium’’ (el teorema notable).

Teorema Egregium : Cualquier transformación que conserve las longitudes en la superficie conserva la curvatura.

Así, para una superficie que no sea elástica, su curvatura siempre será la misma sea cual sea la deformación. Si te gustan las pizzas, también te remito al artículo de Nicolas Rocher ’’Un-théorème-et-une-part-de-pizza’’

Pero sigamos con nuestros poliedros y establezcamos una variante (muy) simplificada de este teorema para las esquinas :

Teorema Facilius : Considere un poliedro $P$ que tiene solo caras triangulares. Cualquier transformación en un poliedro $P'$ que conserva las longitudes de las aristas también conserva el valor de las puntas.

La prueba es elemental : se conservan las longitudes, por lo que se conservan los ángulos de los triángulos ; luego, por definición, se conservan las puntas. Por ejemplo, en la figura anterior de puntas « hacia adentro y afuera », las puntas de la figura de la izquierda son iguales a las de la figura de la derecha. Aquí hay otra figura deformada para la cual todas las esquinas siguen siendo las mismas.

Traslado de vectores

A partir del trabajo de Gauss y luego de Riemann (quien fue su alumno), se desarrolló todo un campo de las matemáticas para comprender los espacios curvos. Una noción central que aparece es la de ’’traslado de vectores’’ y otro teorema de Gauss Bonnet. Aquí simplemente ilustraré este concepto, siempre usando poliedros.

El traslado de vectores en un poliedro

Divirtámonos moviendo continuamente un vector en un poliedro. El vector siempre está en el mismo plano que la cara del poliedro y mientras no cambie de cara permanece constante en el sentido usual del término. Si cambia de cara, esta es la regla : el vector seguiría siendo el mismo si se desarrollara el patrón del poliedro. En particular, el ángulo entre el borde y el vector sigue siendo el mismo.

Aparece entonces un fenómeno curioso : una vez devuelto a su punto de partida, el vector transportado puede ser diferente del inicial.

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El vector es transportado a lo largo de los caminos punteados.

Además, parece que para los ejemplos del cubo y el tetraedro, el ángulo desde el que ha girado el vector coincide con el defecto angular del vértice encerrado. De hecho, tenemos la versión simplificada de un teorema de Gauss Bonnet.

Teorema de Gauss Bonnet (II) simplificado. Al trasladar un vector a lo largo de un bucle en un poliedro, una vez devuelto a su punto de partida, el vector habrá girado un ángulo igual a la suma de las esquinas del área rodeada por el bucle.

No haremos la demostración aquí para el caso general, pero mostraremos este resultado en un ejemplo. La idea principal es utilizar el patrón de poliedro. De hecho, en una superficie plana, el vector puede trasladarse naturalmente : el vector permanece constante en el sentido habitual del término.

Considere la siguiente pirámide : comenzando desde el centro de la base de la pirámide, trasladamos un vector a lo largo de la línea punteada.
El vector pertenecerá alternativamente a la cara cuadrada, luego a una cara triangular, luego a otra cara triangular para volver a la cara cuadrada. Al final habrá girado en cierto ángulo desde su posición inicial.
Ahora sigamos el camino del vector en el patrón de la pirámide. Este último permanece igual al pasar de la cara cuadrada a la cara triangular y hasta llegar a lo que parece ser el borde. Este borde es en realidad el mismo que la cara triangular al lado. Ahora debemos imaginar que estas caras triangulares están una al lado de la otra y que el vector simplemente pasa de una a la otra (en particular, el ángulo entre el vector y el borde permanece igual). Luego, el vector se devuelve al punto de partida. Entonces podemos ver la correspondencia entre la esquina $A$ y el ángulo en el que el vector ha girado al final del camino.

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El vector es transportado a lo largo de las líneas punteadas.
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El vector ha girado en un ángulo igual al defecto angular de los vértices encerrados por el camino punteado.

Traslado de vectores sobre una superficie curva

Al considerar superficies curvas, muchas cosas que parecían obvias de repente se vuelven mucho menos sencillas. Una de ellas es la igualdad de vectores. Tomemos dos puntos en la superficie de la Tierra con un vector en cada uno de ellos. ¿Podemos decir que estos vectores son iguales o diferentes ? Ahora piensa en la primera ley de Newton : ’’Si la suma de las fuerzas es cero, la velocidad permanece constante’’. ¿Qué significa aquí ser ’’constante’’ ? Aquí hay un ejemplo práctico : estás en un automóvil y comienzas a dirigirte hacia el este y ya no tocas el volante. ¿En qué dirección estás después de 1000 km ? ¿Siempre al este, un poco al norte o un poco al sur ? La solución del problema es el uso de un nuevo objeto matemático llamado ’’traslación paralela’’ creado especialmente para la ocasión. Puedes imaginar que la superficie es, aproximadamente, un poliedro que tiene un número muy grande de caras muy pequeñas y que la regla para trasladar el vector es la establecida para los poliedros.

Como antes, si trasladamos un vector en un bucle, una vez devuelto a su punto de partida, el vector trasladado puede ser diferente del de partida. Es posible calcular el ángulo por el cual el vector habrá girado y esto es una vez más un teorema de Gauss Bonnet (no simplificado esta vez).

Teorema de Gauss Bonnet (II) : Trasladando un vector a lo largo de un bucle en una superficie, una vez de regreso en su punto de partida, el vector habrá girado un ángulo igual a la integral de la curvatura sobre el área rodeada por el bucle.

Por ejemplo, en la figura del artículo de Pierre Pansu, partiendo del polo norte con un vector en la dirección del viaje, el vector permanecerá dirigido hacia el sur durante todo el viaje. Pero al final del ciclo, habrá girado $\frac{\pi}{2}$. También tenga en cuenta que si la Tierra tuviera un radio de 1, la superficie rodeada por el bucle sería de hecho $\frac{\pi}{2}$ ($1/8$ de la esfera).

Termino el artículo con una pequeña pregunta de física. El péndulo de Foucault en el Panteón gira alrededor de $4,7$ radianes en $24$ horas. La superficie de la zona norte delimitada por el paralelo $48º$ norte (el de París) sobre una esfera de radio $1$ es de $1,6$ ’’radianes’’. La suma de los dos da $2\pi$. ¿Coincidencia ?
(aquí una buena animación y allí una discusión pero en inglés, desafortunadamente).

Post-scriptum :

Este artículo se basa en una publicación en mi blog.
Agradezco a Jean Rax que me haya animado a publicar este artículo en el sitio Paisajes Matemáticos.

Gracias también a los revisores cuyos nombres o seudónimos son CAMI, Jimmy Dillies, Nicolas Bedaride y Lison, por su cuidadosa revisión y sugerencias para la corrección.

Article original édité par Pierre-Antoine Guihéneuf

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «Una versión simplificada del teorema de Gauss Bonnet» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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