Una vuelta del toro

Pista verde El 4 enero 2015  - Escrito por  Arnaud Chéritat
El 5 octubre 2019  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Un retournement du tore Ver los comentarios
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Para el aficionado a los problemas geométricos, las involuciones plantean un real desafío.

¿De qué hablamos?

La topología estudia las figuras sin importar las deformaciones.


Por ejemplo, usted puede deformar una taza en un toro lleno, un ’’mug’’ en una ’’dona’’, tal como en la animación de aquí a la izquierda extraída de Wikipedia. Hablamos de deformar las figuras en el plano o en el espacio, no de objetos físicos: para transformar una taza en un buñuelo habría bastantes problemas, de partida porque la materia que la compone es rígida, químicamente distinta a la del buñuelo, e incluso sus masas son distintas. Para las figuras correspondientes es más fácil, ya que se puede hacer esto en la mente o dibujándolas, e incluso con pasta de modelar (esto último nos obliga a conservar el volumen). ¿Cuáles son las deformaciones autorizadas? Depende del problema que uno se plantea, pero por regla general se prohíbe desgarrar el objeto o pegarle partes. Así, para las curvas planas no autorizaremos la transformación ilustrada acá abajo.

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Desgarramientos y pegados prohibidos

El tema que deseo tratar se refiere a deformar superficies en el espacio, pero para ilustrar algunas nociones voy a utilizar, como arriba, deformaciones de curvas en el plano. En ese caso, las curvas se mantienen incluidas en ese plano: no pasan a la tercera dimensión, pese a que algunas animaciones pueden dar esa ilusión [1].

¿Cuáles son las figuras autorizadas? En esto también se puede variar. Toda una franja de esta ciencia se interesa en los objetos lisos. Los ángulos están prohibidos, los fractales censurados. Fuera entonces la primera animación, donde el toro es perfectamente liso pero la taza tiene pliegues angulosos.

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Inmersión: autointersecciones autorizadas (esta animación tiene lugar en un plano)
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Curva lisa, curvas no lisas

En el problema considerado aquí, vamos a observar deformaciones continuas (no se salta directamente de un estado al otro). También se va a permanecer en el mundo de las curvas y superficies lisas, pero las autointersecciones estarán autorizadas, es decir, la curva puede cruzarse a sí misma, como cuando se dibuja el símbolo ∞. Se habla entonces de curva inmersa [2]. Lo mismo para una superficie. Cuando no hay autointersección se dice que está incrustada (todo esto es muy náutico...) Otro modo de caracterizar las curvas inmersas es decir que se puede recorrerlas con una velocidad que varía continuamente y que no se anula. La circunferencia de la izquierda pasa alternadamente de estar inmersa a estar incrustada. En esta animación todas las curvas están dibujadas en el plano. La botella de Klein flotando a la derecha es un ejemplo de superficie inmersa en el espacio, donde no puede ser incrustada.

En una inmersión, no solo los desgarros están prohibidos, sino también los pliegues. No voy a entregar aquí la condición técnica exacta, pero sepa al menos que uno no tiene el derecho de curvar demasiado la línea o la superficie. Esta última condición yo me la imagino como una forma de resistencia a la flexión. De ese modo, está prohibido hacer desaparecer una vuelta de una curva plana pellizcándola como acá abajo: por una parte, en un instante -destacado por el color rojo- la curva no es lisa; por otra parte, cuando la curva tiende a hacia la curva roja, el radio de curvatura mínima tiende a 0.

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Esta forma de suprimir el boucle está prohibida (la animación se desarrolla en un plano)
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Tentativa fallida de eversión de la esfera: vista externa y en corte

Volvamos a las superficies. Dar vuelta la esfera es deformarla hasta que su cara interna y su cara externa se intercambien. Imagine las dos caras pintadas de color diferente. La forma inicial es una esfera, y la forma final es una esfera con los dos colores cambiados.
Ese proceso se llama eversión. Es imposible realizarla sin desgarro ni autointersección. Con la terminología introducida más arriba, no hay eversión de la esfera si las deformaciones permanecen como incrustaciones. Lo que es sorprendente es que se puede dar vuelta la esfera pasando por inmersiones, es decir, con autointersecciones, pero sin pliegue ni pellizcamiento. De hecho, lo mismo sucede para toda superficie cerrada.

¡Cuidado, es difícil! Trate usted mismo para verlo. Aquí a la izquierda aparece un intento frustrado.

Stephen Smale descubrió y demostró la existencia de estas eversiones en los años 1960; lo hizo de manera puramente teórica, como consecuencia de un teorema abstracto más bien general. Se sabía que uno podía hacerlo sin tener, no obstante, una descripción detallada de todas las etapas. Muy rápidamente se produjeron realizaciones efectivas, y enseguida fueron propuestos en forma regular diferentes procedimientos. Esto será tema de otro artículo.

Sucede que, para el toro, una eversión es más fácil de encontrar. Si usted la quiere buscar por sí mismo, entonces puede ser conveniente que no lea de inmediato el resto del artículo.

Un desafío que se convirtió en algo personal

Como nací en 1975, creo que escuché hablar de las eversiones hacia 1995, cuando era estudiante de primer año en la ENS [3]. Inmediatamente me planteé como objetivo encontrar por mi cuenta una realización, sin basarme en las ya existentes.

Era difícil. Llené hojas de papel con esbozos, bebí muchas tazas de café, me arranqué muchos cabellos.

Muy a mi pesar, me habían dado una pista: ’’partir del doble revestimiento de la superficie de Boy’’, y me indicaron que se podía obtener la vuelta del toro de la misma manera (con la botella de Klein).

No logré dar vuelta la esfera, pese a numerosos intentos efectuados y horas gastadas. Mi enfoque era puramente intuitivo, no utilizaba ninguna teoría para ayudarme. Yo había sido de los más avanzados de mi curso en la materia diseño industrial durante los dos años de cursos preparatorios que acababan de finalizar. También me consideraba bueno en la visualización de objetos 3D. Pensaba que podía dar con el método mediante tanteos.

Sin embargo, logré comprender la superficie de Boy, así como dar vuelta el toro. Orgulloso, hice una imagen de síntesis de la primera, y para la eversión del segundo, un boceto que publiqué en mi página web en 1996. Internet comenzaba recién a universalizarse, pero la Escuela Normal ya suministraba a los estudiantes cuentas informáticas, terminales para trabajar (en una sala común), alojamiento de páginas personales, etc...

Despliegue este bloque para acceder al boceto, acompañado de algunas explicaciones.

Aquí está... No es tan simple de comprender. Debo decir que se trata de un dibujo hecho con lápiz o tinta, luego escaneado y finalmente coloreado, arreglado y señalizado con un programa gratuito de diseño (todo en 1996), y que se lo presento tal cual. Los videos de abajo son más claros.

Explicaciones: las dos caras del toro tienen cada una su color. Cada figura en color, excepto una, está acompañada de una sección en trazo negro. La secuencia se detiene cuando se llega a una figura que posee una simetría que intercambia las dos caras. Basta entonces con rehacer el camino al revés, pero con los colores permutados.

Algunos años más tarde, me mostraron la película Outside In del Geometry Center que detalla una eversión de la esfera. Frustrado porque me impusieron una solución antes que yo hubiera podido encontrar una por mí mismo, aprecié la calidad pedagógica y gráfica de la película. Sin embargo, había un pasaje difícil de comprender, que aún hoy en día no estoy seguro de captar.

Hacia 2008 realicé con POV-Ray una animación de la eversión de un toro, en una variante un poco más simple que mi boceto:

Aquí está la misma animación vista en corte transversal. De alguna manera, se puede encontrar completamente la manipulación a partir de su intersección por un plano horizontal medio. Se verá ahí entonces dos círculos paralelos que experimentan un cierto movimiento para encontrarse cambiados al final. Esta manera de dar vuelta el toro es en realidad bien conocida. Su existencia se reveló en 1970 y tal vez incluso antes.

¿Y la esfera...?
Les contaré acerca de sus vueltas en otro artículo.

Post-scriptum :

Agradezco a los tres relectores (por orden alfabético) Clément Caubel, Jérôme Germoni y Sébastien Kernivinen. Sus adecuados comentarios me ayudaron a pulir el artículo y hacerlo más claro, y sus estímulos, a mejorar las ilustraciones.

Artículo original editado por Serge Cantat

Notas

[1Vea el video al final de la nota Encuadramiento circular de Patrick Popescu Pampu

[2El artículo Le h-principe de Misha Gromov de Michèle Audin y Pierre Pansu le dirá más sobre eso.

[3ENS: Escuela Normal Superior de Francia

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Una vuelta del toro» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Sección plana de la etapa media simétrica de una vuelta del toro. CC BY-SA Arnaud Chéritat.
img_13169 - CC BY-SA Arnaud Chéritat.
img_13171 - Domaine public, Wikipedia
img_13173 - CC BY-SA Arnaud Chéritat.
img_13174 - CC BY-SA Arnaud Chéritat.
img_13175 - CC BY-SA Arnaud Chéritat.
img_13176 - CC BY-SA Arnaud Chéritat.
img_13184 - Maillage de l’objet : mpatoulachik sur Thingiverse. Rendu : A. Chéritat avec Blender/Cycles. CC BY-SA.
img_13192 - CC BY Arnaud Chéritat.
img_13218 - CC BY-SA Arnaud Chéritat. Fait avec POV-Ray.

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