Une conjecture sur le triangle de Pascal

Piste verte Le 2 janvier 2022  - Ecrit par  Bruno Martin Voir les commentaires

Le triangle de Pascal, que l’on peut construire pas à pas en effectuant de simples additions, est l’objet d’une redoutable conjecture.

Connaissez-vous le triangle de Pascal, du nom du mathématicien et philosophe du XVIIe siècle, Blaise Pascal ?

Il est au cœur de la conjecture de ce trimestre. Si vous ignorez de quoi il s’agit ou s’il n’évoque qu’un vague souvenir, pas de panique ! C’est très simple et je vous explique de quoi il retourne dans les lignes qui suivent.

Nous démarrons avec des cases disposées en triangle

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puis nous remplissons les cases situées sur les bords latéraux par des $1$.

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La règle à suivre pour compléter ce triangle est la suivante : chaque case vide contient la somme des deux nombres figurant dans les deux cases situées immédiatement au-dessus.

Avec cette règle, la première case vide, située sur la troisième ligne en partant du haut, contient donc le nombre $2$ :

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Nous pouvons maintenant compléter la troisième ligne,

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puis la quatrième.

Est-ce terminé ? Non ! Nous pouvons continuer en ajoutant de nouvelles lignes à la base de notre triangle.

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Nous ajoutons des 1 aux extrémités des lignes.

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Et nous complétons les cases vides en utilisant toujours la même règle.

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Nous pourrions de la sorte étendre le triangle vers le bas, aussi loin qu’on le souhaite. Par la pensée du moins, car cela prend beaucoup de place. Et que ce soit votre feuille ou la mémoire de n’importe quel ordinateur, tous deux finiront par capituler au bout d’un certain nombre de lignes.

Pour nous repérer dans le triangle de Pascal, il est utile de numéroter les lignes en convenant que la première ligne en partant du haut, qui ne comporte qu’une case, est la ligne zéro. Puis viennent les lignes 1, 2, 3.... De la sorte, le numéro de la ligne correspond tout simplement au nombre situé dans la deuxième case en partant de la gauche de la ligne en question.

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À ce stade, nous en savons assez pour découvrir la conjecture du trimestre. Mais si vous vous demandez, légitimement, pourquoi les mathématiciens s’intéressent à ce triangle, je vous invite à lire le menu déroulant ci-dessous.

A quoi sert le triangle de Pascal ?

Le triangle de Pascal permet de compter le nombre de choix possibles dans certaines situations. Un exemple : demain, vous partez en week-end, vous avez 4 paires de chaussettes, mais souhaitez n’en emporter que 2. Combien de possibilités avez-vous ? La réponse peut se lire dans le triangle de Pascal : il suffit de se placer à la 4-e ligne, puis d’y lire le (2+1)=3e nombre en partant de la gauche. On trouve 6 possibilités. On peut vérifier directement en numérotant les paires de chaussettes $1$, $2$, $3$ et $4$. Les différentes possibilités sont :
$(1,2)$, $(1,3)$, $(1,4)$, $(2,3)$, $(2,4)$ et $(3,4)$, cela fait bien 6. Je vous invite à vérifier qu’il y a 35 possibilités pour choisir 3 paires de chaussettes parmi 7. Pour cela procédez de même en numérotant les paires de chaussettes et en énumérant tous les choix possibles. Cela correspond bien avec la lecture du triangle de Pascal : c’est le nombre situé à la 7e ligne et en (3+1)=4e position en partant de la gauche.

Mais pourquoi le triangle de Pascal – que l’on construit pas à pas, sans se poser de questions sur les paires de chaussettes – fournit-il le bon résultat ? Excellente question qui demande un peu de réflexion. Accrochez-vous ! Tenons par exemple pour acquis que dans la 6-ième ligne, les nombres indiquent le nombre de possibilités de choisir 0 paire, 1 paire.... choisies parmi 6 paires. Il y a donc 15 manières de choisir 2 paires, et 20 manières d’en choisir 3.

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Bien. Maintenant disons que vous avez une nouvelle paire de chaussettes dans votre garde-robe qui en comptait jusqu’alors 6. Vous avez donc 7 paires dont la nouvelle, disons que cette dernière est à petits pois. Vous voulez savoir combien de possibilités vous avez pour emporter 3 paires. Il y a deux possibilités :
1) vous ne sélectionnez pas la nouvelle paire à petits pois : dans ce cas nous savons déjà qu’il y a 20 possibilités.
2) vous sélectionnez la nouvelle paire à petits pois. Pour les 2 paires restantes choisies parmi vos 6 paires initiales, nous savons qu’il y 15 choix possibles.

Cela fait au total $15+20 = 35$ possibilités : cela correspond bien à la règle de remplissage du triangle de Pascal.

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Voici les dix-sept premières lignes du triangle de Pascal.

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Redisons-le, nous pouvons étendre ce triangle « à l’infini » vers le bas en ajoutant des lignes et en utilisant la règle énoncée plus haut.

Autre remarque : vous pouvez observer que le triangle est symétrique par rapport à la droite verticale qui passe par la pointe supérieure du triangle, on peut s’en convaincre assez rapidement.

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En conséquence, presque tous les nombres contenus dans le triangle apparaissent au moins deux fois. On peut constater que certains nombres apparaissent davantage, comme le nombre $10$ : il apparaît 4 fois dans le triangle affiché, je vous laisse vérifier.

Question :

Est-il possible en ajoutant des lignes dans le triangle de voir le nombre $10$ réapparaître ?

Réponse : non. En effet sur la ligne n°10 où $10$ apparaît, tous les nombres, si l’on met de côté les 1 aux extrémités, sont plus grands que $10$. Et nous allons effectuer des additions de ces nombres. Il n’y aura donc plus de $10$ à la ligne suivante, et il n’y en aura plus en fait, aussi loin que l’on étende le triangle de Pascal !

Nouvelle question :

Est-il possible qu’un nombre donné apparaisse une infinité de fois dans le triangle ?

Là encore la réponse est négative. En effet, à chaque ligne supplémentaire, on ajoute au moins 1 à chaque nombre du triangle. Donc par exemple, à la 1001e ligne, on est certain que, les 1 mis de côté, tous les nombres seront supérieurs à 1000. Au bout d’un moment, tout nombre finit par ne plus apparaître.

Nous avons vu que $10$ apparaît 4 fois dans le triangle de Pascal. Y a-t-il un nombre qui apparaît au moins 6 fois ? Oui, $120$ !

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En effet il apparaît 4 fois dans le dernier triangle affiché et nous sommes sûrs qu’il apparaîtra encore 2 fois : à la ligne n° 120 précisément, dans la deuxième et dans l’avant-dernière case de cette ligne.

Peut-on trouver un nombre qui apparaît 8 fois ? Oui, même si notre triangle à 17 lignes n’est plus assez grand pour nous en rendre compte par nous-mêmes : $3003$ apparaît exactement 8 fois dans le triangle de Pascal.

A votre avis, ce petit jeu peut-il continuer indéfiniment ?

Autrement dit, va-t-on trouver un nombre qui apparaît au moins 10 fois, un autre au moins 12 fois, et ainsi de suite. Notez que cela ne serait pas contradictoire avec le fait que tout nombre donné finit par ne plus apparaître dans les lignes du triangle de Pascal.

Eh bien le mathématicien David Singmaster a conjecturé en 1971 que ce n’est pas le cas.

Conjecture du trimestre : il y a un nombre maximal d’apparitions dans le triangle de Pascal, qu’aucun nombre autre que $1$ ne peut dépasser.

On n’a aucune idée de ce que serait cette valeur maximale du nombre d’apparitions, mais à ce jour, on ne connaît pas de nombre qui apparaît au moins 10 fois dans le triangle. Nous pourrions donc tout simplement conjecturer : à l’exception de $1$, aucun nombre dans le triangle de Pascal n’apparaît plus de 10 fois !

Dans l’article où il énonce cette conjecture, D. Singmaster annonce avoir communiqué son hypothèse au grand mathématicien Paul Erdös et que ce dernier lui a répondu que ce doit être très difficile. C’est un connaisseur qui parle et on ne saurait lui donner tort puisque cinquante ans plus tard, le problème reste ouvert [1].

Post-scriptum :

L’auteur remercie chaleureusement Shalom Eliahou et l’équipe de relecture pour leurs corrections.

Notes

[1Signalons toutefois, à l’intention des mathématiciens chevronnés, un article récent sur ce problème écrit par K. Matomäki, M. Radziwiłł, X. Shao, T. Tao et J. Teräväinen. C’est d’ailleurs grâce à cet article que j’ai découvert l’existence de la conjecture de D. Singmaster.

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Pour citer cet article :

Bruno Martin — «Une conjecture sur le triangle de Pascal» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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