Des ballons et des maths

Le design d’un ballon de foot n’est pas fait au hasard. Nous avons vu ceci dans cet article, où l’on montre que pas n’importe quel design est possible. Pourquoi? Parce que l’on doit toujours respecter le célèbre théorème d’Euler:

Si un dessin sur une sphère possède $S$ sommets, $A$ arêtes et $F$ faces, alors
\[S - A + F = 2.\]

Une explication s’impose : par «arête» nous nous référons à une courbe du dessin qui relie deux sommets, et qui ne contient aucun autre sommet. Les faces sont les régions délimitées par ces arêtes (on ne peut pas aller d’une face à une autre sans croiser une arête ou passer sur un sommet). La seule condition que nous imposons est que deux arêtes ne se coupent jamais, sauf évidemment sur des sommets.

Bien sûr, la relation d’Euler reste valable pour les polyèdres convexes. Pour eux, la projection à partir d’un point intérieur au polyèdre sur une sphère qui le contient produit un dessin sphérique, souvent appelé version sphérique du polyèdre en question. Par exemple, si nous projetons depuis son centre un icosaèdre tronqué sur une sphère de même centre, nous obtenons un icosaèdre tronqué sphérique. Ceci n’est rien d’autre que le design qui a été utilisé pour les ballons officiels des Coupes du Monde entre 1970 et 2002 (le fameux ballon Telstar) (après, le design s’est un peu modifié ; voir par exemple cet article pour le surprenant ballon «cubique» de la Coupe du Monde 2014).

Voici les données pour quelques polyèdres et ballons (pas tous de foot !):

Une preuve simple du théorème d’Euler.

Voici une démonstration étonnamment simple du théorème d’Euler, due à Karl von Staudt.

Imaginons que nous ouvrions la sphère en un point situé à l’intérieur de l’une des faces et que nous l’étirions sans la casser (comme s’il s’agissait de pâte à modeler) jusqu’à l’étendre sur un plan. Ce que l’on voit alors est un graphe planaire, c’est-à-dire un ensemble de sommets reliés par des arêtes (pas nécessairement droites), de sorte que deux arêtes ne peuvent s’intesecter que sur des sommets. L’énoncé du théorème se transforme donc en un énoncé sur les graphes planaires avec $S$ sommets, $A$ arêtes et $F$ faces, à condition que nous considérions comme «face externe» ou «face à l’infini» celle qui vient de la face dans laquelle nous avons ouvert la sphère.

A titre d’illustration, voici les graphes planaires que l’on obtient par ce processus de «pincer l’une des faces» à partir du tétraèdre, de l’octaèdre, de l’icosaèdre, du cube et du dodécaèdre (dans cet ordre).

Étant donné un graphe $\Gamma$, considérons son graphe dual $\Gamma'$, c’est-à-dire celui dont les sommets correspondent aux faces de l’original, de sorte que deux sommets de $\Gamma'$ sont connectés si et seulement si les faces de $\Gamma$ qui leur correspondent partagent (au moins) une arête. Bien sûr, $\Gamma'$ peut aussi être représenté sur le plan. On montre à droite un graphe $\Gamma$ en bleu et son dual $\Gamma'$ en rouge. Notez que le dual du dual d’un graphe s’identifie avec le graphe d’origine [1].

Un arbre est un graphe dans lequel on ne peut pas se déplacer sur des arêtes différentes en commençant et en terminant sur le même sommet (c’est-à-dire qu’il n’y a pas de chemin fermé d’arêtes). Si pour toute paire de sommets de l’arbre on peut aller de l’un vers l’autre le long des arêtes, alors on dit que l’arbre est connexe. Dans un arbre connexe, le nombre de sommets est égal à celui des arêtes plus 1:
\[S = A + 1.\]
En effet, chaque fois que nous supprimons une arête qui est à «l’extrémité» de l’arbre, nous supprimons nécessairement un sommet (le sommet «externe»), et nous nous retrouvons avec un arbre connecté ; et lorsque nous supprimons la dernière arête, nous retirons deux sommets.

Deux graphes de nature différente : le graphe à gauche n’est pas un arbre, puisqu’il a un chemin fermé. Le graphe à droite, en revanche, est un arbre : aucun chemin n’est fermé. Par conséquent, le nombre de ses sommets est supérieur de 1 à celui de ses arêtes.

Considérons donc notre graphe planaire $\Gamma$ et son dual $\Gamma'$. Soit $\mathcal{A}$ un arbre connexe dont les sommets sont tous les sommets de $\Gamma$ et dont les arêtes sont dans $\Gamma$ (une petite réflexion montre qu’un tel arbre existe). Soit $\mathcal{B}$ le graphe ayant les mêmes sommets que $\Gamma'$ et tel que deux sommets sont connectés si et seulement si les faces qu’ils représentent partagent une arête de $\Gamma$ qui n’est pas dans $\mathcal {A}$. Nous affirmons que $\mathcal {B}$ est un arbre connexe. En effet, d’une part, $\mathcal {B}$ est un arbre, car s’il contenait un circuit fermé, il renfermerait un sommet de $\Gamma$, qui ne pourrait donc pas être connecté dans $\mathcal {A}$, contredisant le fait que $\mathcal {A}$ est connexe. D’autre part, $\mathcal{B}$ est connexe, sinon une région de $\Gamma$ ne pourrait pas être connexe, de sorte que toutes ses arêtes externes seraient dans $\mathcal{A}$, ce qui serait en contradiction avec le fait que $\mathcal{A}$ ne possède pas de chemin fermé.

À titre d’illustration, dans la figure à gauche, le graphe original $\Gamma$ apparaît en bleu ; les arêtes de $\mathcal {A}$ sont colorées en continu et les arêtes restantes en pointillés. De même, le graphe $\Gamma'$ apparaît en rouge ; les arêtes de $\mathcal {B} $ sont colorées en continu et les arêtes restantes en pointillés.

Puisque $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont des arbres connexes, nous avons
\[A_{\mathcal{A}} + 1 = S_{\mathcal{A}}, \qquad A_{\mathcal{B}} + 1 = S_{\mathcal{B}}.\]
Or, chaque face de $\Gamma$ représente un sommet de $\mathcal{B}$, donc
$\, F_{\Gamma} = S_{\mathcal{B}}.\,$
De plus, puisque $\mathcal{A}$ contient tous les sommets de $\Gamma$, nous avons
$\, S_{\Gamma} = S_{\mathcal{A}}. \,$
En fait,
\[A_{\Gamma} = A_{\mathcal{A}} + A_{\mathcal{B}},\]
car toute arête de $\Gamma$ soit appartient à $\mathcal{A}$, soit est traversée par une arête de $\mathcal{B}$. Par conséquent,
\[\begin{eqnarray*} S - A + F &=& S_{\Gamma} - A_{\Gamma} + F_{\Gamma} \\ &=& S_{\mathcal{A}} - (A_{\mathcal{A}} + A_{\mathcal{B}}) + S_{\mathcal{B}} \\ &=& ( S_{\mathcal{A}} - A_{\mathcal{A}}) + (S_{\mathcal{B}} - A_{\mathcal{B}})\\ &=& 1 + 1 = 2, \end{eqnarray*}\]
ce que nous voulions montrer.

Une conséquence de ce théorème est que l’on ne peut pas décomposer une balle en hexagones de sorte qu’au moins 3 d’entre eux se touchent en chaque sommet. En effet, si $H$ est le nombre total d’hexagones, alors évidemment
\[F = H.\]
Puisque chaque hexagone comporte 6 arêtes mais chaque arête est partagée par une paire d’hexagones, le nombre total d’arêtes est 6 fois le nombre d’hexagones divisé par 2 :
\[A = \frac{6H}{2} = 3H.\]
Enfin, comme chaque hexagone comporte 6 sommets mais
qu’au moins 3 hexagones convergent sur chaque sommet, le nombre total de sommets est inférieur ou égal à 6 fois le nombre de faces divisé par 3 :
\[S \leq \frac{6H}{3} = 2H.\]
Par conséquent, d’après la relation d’Euler,
\[2 = S-A+F \leq 2H - 3H + H = 0,\]
ce qui est absurde.

Un ballon qui n’existe pas

L’image de gauche est alors trompeuse : il semble qu’il s’agit d’un ballon de foot, mais en réalité c’est une découpe circulaire d’un plan pavé par des hexagones, dont certains sont noircis de manière convenable. Néanmoins, c’est cette représentation qui est utilisée au Royaume-Uni pour la signalisation des stades et des terrains de football, comme montré à droite.

Il y a quelques années, une pétition officielle fut déposée par le mathématicien australien Matthew Parker au gouvernement britannique pour changer ces illustrations dans la signalisation. La réponse officielle a été la suivante : «Le gouvernement considère que le symbole actuellement utilisé a un sens clair et est bien compris par le public. Changer le dessin pour qu’il corresponde à la géométrie n’est pas approprié dans ce contexte.» Vous pouvez voir plus de détails sur cet affaire ici. Apparemment, dans le pays où le football a été inventé, un mauvais ballon continuera à illustrer un peu partout ce sport pendant un certain temps...

Et le ballon de la Ligue des Champions ?

Le design du ballon de la Ligue des Champions (reproduit ci-dessous à gauche) résulte d’un dodécaèdre sur chaque face duquel une étoile a été dessinée, avec ses sommets au centre des arêtes (comme illustré à droite). Il en résulte une configuration de 12 étoiles et 20 faces hexagonales, ce qui donne 32 faces, 132 arêtes et 90 sommets (ce qui a été déjà enregistré ci-dessus).

Pour l’instant, pas de problème. Mais regardez maintenant le logo officiel de la compétition. Voyez-vous quelque chose de bizarre ?

À première vue, cela ressemble à une simple reproduction visuelle du ballon. Cependant, il y a un détail qui saute aux yeux : sur le ballon, les étoiles se rejoignent toujours en triplets qui délimitent des hexagones, tandis que dans le logo, il existe deux groupes d’étoiles qui se rejoignent en des quadruplets pour donner lieu à des octogones [2].

Cela peut-il être possible ? Les mathématiciens basques José Ignacio Royo Prieto et Martintxo Saralegi-Aranguren se sont intéressés à la question il y a quelques années. En utilisant le théorème d’Euler et d’autres arguments, ils ont montré que la réponse est négative : le logo de la Ligue des Champions ne peut pas représenter un vrai ballon. Ils ont alors écrit un article sympa et imparable qui, apparemment, ne circule qu’en espagnol. Ci-dessous, je reproduis certains de ses arguments (avec des légères modifications) ; dans l’article original, vous trouverez une discussion complète du sujet.

Signalons cependant qu’il est possible de couvrir une balle avec des étoiles (à 5 pointes), des hexagones et des octogones. Un design «symétrique» proposé par Royo Prieto et Saralegi-Aranguren est obtenu de la manière suivante. Prenez un cube tronqué comme celui illustré à gauche ci-dessous. Il est composé de 6 octogones et de 8 triangles. Maintenant, collez le dessin géométrique de droite sur chaque face octogonale. Vous obtenez alors un polyèdre avec 32 triangles, 6 carrés et 24 pentagones, pour lequel chaque arête est partagée par un pentagone et soit un triangle, soit un carré. Ensuite, divisez chaque arête en deux, et faites-le «vers l’intérieur» des pentagones (en créant des concavités). Ceux-ci deviennent alors des étoiles (à 5 pointes), les carrés deviennent des octogones et les triangles se transforment en hexagones. Enfin, projetez le tout sur une sphère et vous obtiendrez une belle balle...

Voici un autre design (tiré directement de l’article de Royo Prieto et Saralegi-Aranguren) qui est plus intéressant car il n’utilise que deux octogones. Dans l’illustration ci-dessous, on voit un octogone central, mais la balle a été ouverte sur une face octogonale opposée afin de le représenter complètement sur le plan (chacun des 4 coins représente un hexagone). Ainsi, les 8 côtés externes du dessin correspondent aux côtés de cet octogone de la face arrière de la balle.

Pour plaisanter, Royo Prieto et Saralegi-Aranguren ont baptisé «championsèdres» les polyèdres formés par des étoiles de 5 pointes, des hexagones et des octogones. J’ignore s’il existe un championsèdre «plus beau» que les autres. J’y penserai après la finale de «la Champions»...

Exercice: Comptez le nombre de sommets, d’arêtes et de faces des championsèdres plus haut et vérifiez que, dans chaque cas, ces nombres satisfont l’égalité d’Euler.

Une activité pour l’école

Voici une belle activité à mettre en œuvre en classe. Je l’ai apprise de Nicolai Andreev lors du Congrès International des Mathématiciens de Rio de Janeiro en 2018 (et nous l’avons reproduit - avec un grand succès - au Festival des Mathématiques du Chili).

Coupez deux morceaux de carton, chacun suivant les bords de 6 pentagones réguliers, l’un au centre et les cinq autres adossés le long de ses côtés. Pliez ces cartons le long des cinq côtés du pentagone central, toujours dans le même sens. Ensuite, placez un carton sur l’autre mais dans des directions opposées, plus précisément avec les plis se renfermant «vers l’intérieur». Faites-le de sorte que leurs centres coïncident, mais en les tournant légèrement jusqu’à ce que leurs extrémités soient alternées à des intervalles réguliers. Enfin, passez un élastique de manière alternée par les pointes de l’un et de l’autre. Maintenant, libérez l’objet... «Vous» verrez un dodécaèdre qui se referme magiquement !

On a mis en œuvre ceci avec la décoration du ballon de la Ligue des Champions dans la vidéo ci-dessous (voir aussi cette page). Notez qu’il est mieux que chaque carton soit composé de deux couches : une continue comme décrit ci-dessus mais en matériau léger, et une autre composée des 6 pentagones collés sur les espaces correspondants (tous du même côté).