Une expérimentation de Piaget autour de la notion de volume

Pista azul El 18 octubre 2021  - Escrito por  Aurélien Alvarez, Nathalie Pasquet Ver los comentarios (1)

Les mathématiques à l’école primaire s’articulent autour de trois grands axes : nombres et calculs, espace et géométrie, grandeurs et mesures. S’appuyant sur des idées de Piaget, nous présentons dans cet article une activité autour de la notion de volume pour des enfants d’école primaire. L’activité est présentée en détail sur le site de la Fondation La main à la pâte et est rédigée pour des professeurs d’école primaire.

En 1936, dans son livre «La naissance de l’intelligence chez l’enfant» [1], Jean Piaget décrit sa théorie à propos du développement intellectuel de l’enfant. D’après lui, ce développement se fait en suivant différents paliers qui sont:

  1. le stade sensori-moteur;
  2. le stade préopératoire;
  3. le stade opératoire concret;
  4. le stade opératoire formel.

Comment et avec quels arguments scientifiques Piaget a-t-il construit et justifié sa théorie ? La vidéo ci-dessous donne quelques éléments de réponses et l’une des expérimentations discutées par Piaget est le point de départ de l’activité pour la classe (ou la maison) que nous présentons par la suite.

Une construction des connaissances par paliers

Les travaux de Piaget en psychologie du développement et en épistémologie ont eu un grand écho au XXe siècle et n’ont pas manqué d’être critiqués par ses détracteurs. Dans l’extrait ci-dessous d’un film tourné en 1977, Piaget discute de quelques expérimentations menées avec des enfants d’âges différents afin d’illustrer sa théorie des stades du développement cognitif chez l’enfant [2].

Ce sont ces expérimentations qui nous ont particulièrement intéressés dans le cadre d’un travail sur la thématique «grandeurs et mesures».

Problème. On donne à chaque élève ou groupe d’élèves, une feuille de papier sur laquelle figurent deux empreintes. Prenons l’exemple de deux empreintes rectangulaires. On leur présente plusieurs solides et on leur demande de trouver et positionner celui qui va sur la première empreinte. On se retrouve avec un parallélépipède rectangle à côté duquel est dessiné un rectangle. Le rectangle dessiné est a priori différent de la face inférieure du parallélépipède, c’est-à-dire de la face en contact avec la feuille. À l’aide de petits cubes, on demande de construire un solide qui s’appuie sur le rectangle dessiné et qui occupe «la même chose de place» que le parallélépipède à côté [3].

L’animation suivante illustre le problème posé.

Remarque:
La terminologie de «même chose de place» utilisée par Piaget et l’enseignante est assez discutable. Est-elle vraiment claire ? Cela étant, il n’est certainement pas évident de faire comprendre la notion de volume à un enfant de quatre ans. Si vous avez des propositions, n’hésitez pas à nous en faire part dans les commentaires.

Qu’observe-t-on sur la vidéo?

  1. Renaud (4 ans) considère que les deux volumes sont égaux du fait que les deux constructions ont la même hauteur.
  2. Irène (5 ans) est consciente que cette condition ne suffit pas puisqu’elle est sensible au fait que sa construction est plus mince que le modèle. Même si ce n’est pas une réaction immédiate chez elle, il lui vient ensuite l’idée d’agrandir sa construction par le dessus. Intuitivement, il lui semble alors que les deux constructions ont qualitativement le même volume mais elle reconnaît qu’elle n’en est pas complètement sûre.
  3. Matthieu (6 ans et demi) assemble directement une construction plus haute que le modèle et procède à un début de mesure pour s’assurer que les deux volumes sont bien les mêmes: sa construction dépasse le modèle d’une hauteur en rapport avec l’une des largeurs du modèle.
  4. Didier (10 ans) procède directement à des mesures pour sa construction et rajoute des étages en faisant un lien avec le nombre de faces.
  5. Popof (12 ans) découpe le volume en tranches et construit autant d’étages qu’il y a de tranches. [4]

Une activité pour la classe ou la maison

Vous pouvez retrouver et télécharger cette activité dans son intégralité en suivant ce lien. La suite de cet article en est une présentation sommaire à laquelle on pourra tout aussi bien préférer cette vidéo de présentation disponible sur la chaîne Billes de sciences.

Nous avons décliné l’activité pour les différents cycles de l’école primaire:

  • cycle 1: école maternelle
  • cycle 2: CP-CE1-CE2
  • cycle 3: CM1-CM2-6°

Le matériel pour tout le monde. C’est là que papier, crayon, ciseaux et scotch seront les bienvenus. Il s’agit de fabriquer une petite collection de solides (dont des parallélépipèdes de différentes tailles : certains plutôt cubiques, d’autres plus allongés, etc.). Pour cela, le plus simple est de commencer par dessiner des patrons, comme illustré sur cette vidéo.

Vous pouvez également les trouver sur le site de la Fondation La main à la pâte en suivant ce lien. .

Ensuite, il faut se munir de petits cubes en grande quantité. Les plus motivés les fabriqueront avec.... papier, crayon, ciseaux, scotch et un gabarit de cube. Bon, c’est tout de même pas mal de travail... On peut aussi les acheter, on trouve des lots sur de nombreux sites [5].

Attention, comme nous l’avons indiqué précédemment, les parallélépipèdes que l’on fabrique et les petits cubes ne sont pas sans rapport. Il faut pouvoir reconstruire les parallélépipèdes à l’aide des petits cubes ou, inversement, être capable de découper les parallélépipèdes en petits cubes identiques. Pour cela, le plus simple est de choisir une unité, par exemple 2 cm, et de partir de petits cubes de côté l’unité choisie. Il convient ensuite de construire des parallélépipèdes dont les mesures des trois arêtes (longueur, largeur, hauteur) sont des multiples de l’unité choisie, par exemple (10 cm, 8 cm, 6 cm) ou (8 cm, 4 cm, 4 cm) ou (6 cm, 4 cm, 2 cm)... En ce qui nous concerne, nous avons fait le choix de partir de petits cubes existants et emboitables de 1,9 cm de côté.

À découper des parallélépipèdes en petits cubes, nous nous sommes finalement demandé si cela était toujours possible... Étant donné un parallélépipède rectangle, peut-on toujours le découper en petits cubes ? [6]

Proposition. Soit $\mathcal{P}$ un parallélépipède rectangle dont on note $L$, $l$ et $h$ les mesures de ses arêtes (longueur, largeur et hauteur). On peut découper $\mathcal{P}$ en un nombre fini de copies d’un cube $\mathcal{C}$ si et seulement si les rapports $L/l$, $L/h$ et $l/h$ des mesures de deux arêtes quelconques de $\mathcal{P}$ sont rationnels.

Démonstration

Si un tel découpage de $\mathcal{P}$ en unités de $\mathcal{C}$ est possible, c’est donc qu’il existe des entiers naturels non nuls $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que
\[L = \alpha \times a \quad l = \beta \times a \quad h = \gamma \times a,\]
où $a$ est la mesure des arêtes du cube $\mathcal{C}$.
Puisque
\[\frac{L}{l}=\frac{\alpha \times a}{\beta \times a}=\frac{\alpha}{\beta},\]
le rapport $L/l$ est donc rationnel. De même, on vérifie que les rapports $L/h$ et $l/h$ sont eux-aussi rationnels.

Réciproquement, si $L/h$ et $l/h$ sont rationnels, on peut les écrire sous forme de fractions ayant le même dénominateur, c’est-à-dire
\[\frac{L}{h} = \frac{\alpha}{\gamma} \quad \frac{l}{h} = \frac{\beta}{\gamma},\]
avec $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois entiers naturels non nuls (pour cela, on peut commencer par écrire $L/h$ et $l/h$ sous forme de fractions irréductibles puis prendre $\gamma$ égal au plus petit commun multiple des dénominateurs de ces deux fractions).
En posant alors $a = \frac{h}{\gamma}$, on en déduit
\[L = \alpha \times a \quad l = \beta \times a \quad h = \gamma \times a,\]
et on a ainsi montré qu’on peut découper $\mathcal{P}$ en petits cubes de côté $a$: précisément, il faut $\alpha \times \beta \times \gamma$ petits cubes.

Remarque:
En pratique, étant donné un parallélépipède rectangle, vérifier que les mesures de ses arêtes sont dans des rapports rationnels est une question toute théorique. Quand on fait des mesures avec quelque instrument que ce soit, la précision est nécessairement finie et les nombres que l’on rapporte sont de fait rationnels. Donc pas de problème pour découper en pratique n’importe quel parallélépipède en petits cubes.

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Remarque:
Pour complexifier la tâche, plutôt que d’un parallélépipède, on peut partir de n’importe quel solide dès lors que l’on peut diviser celui-ci en petits cubes.

Sur chaque planche sont dessinées deux empreintes. Contrairement à ce que l’on voit sur la vidéo ci-dessus, nous ne donnons pas le solide initial: l’élève doit le trouver parmi plusieurs solides qui lui sont donnés et le placer sur la première empreinte. En regardant l’empreinte, l’élève doit donc la mémoriser afin de l’identifier parmi les faces des solides proposés. Plusieurs variables didactiques [7] sont disponibles dès cette première étape, notamment l’endroit où sont situés ces solides par rapport à l’enfant et au plateau (devant, à environ un mètre, à plusieurs mètres, derrière lui…), la possibilité ou pas de manipuler les solides et de les placer sur l’empreinte par essais/erreurs, le nombre d’essais possibles, le travail individuel, en binôme ou en groupe, etc.

La deuxième phase du travail consiste à construire sur la deuxième empreinte un solide de même volume que le solide qui a été posé sur la première empreinte.

Des planches différentes pour chaque cycle

Le travail est évolutif au sein de chaque cycle.

  • Cycle 1: Au départ, l’empreinte rectangulaire initiale est l’une des faces du parallélépipède proposé. La deuxième empreinte est tout d’abord la même empreinte qui est positionnée comme la première... ou pas. C’est là qu’interviennent de nouvelles variables didactiques qui viennent rompre certains contrats didactiques [8] quand, par exemple, les côtés des solides ne sont plus parallèles aux bords du plateau. On fait ensuite varier la tâche en proposant l’empreinte d’une autre face du même solide. Voici quelques possibilités.
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  • Cycle 2: La deuxième empreinte ne correspond plus nécessairement à l’une des faces du solide initial et peut même avoir un rapport longueur/largeur assez grand. À cette difficulté s’ajoute la difficulté liée à la rupture du contrat didactique due à la disposition de l’empreinte dont les côtés ne sont que très rarement parallèles aux bords du plateau.
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  • Cycle 3: On commence à rencontrer des empreintes dont les formes géométriques ne sont plus seulement des rectangles. Le recours à la mesure, et au dénombrement du nombre de petits cubes nécessaires pour quantifier «la chose de place» occupée par le solide, semble de plus en plus inévitable pour les formes les plus exotiques, alors que jusque-là, il était toujours possible de «découper» le solide (parallélépipède) en tranches sans nécessairement avoir besoin de compter le nombre de petits cubes dans chaque tranche.
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Le recours au calcul du nombre exact de petits cubes nécessaires pour reconstruire le solide, c’est-à-dire le calcul du volume du solide exprimé en unité de petits cubes, est l’approche utilisée par la plupart des élèves. Une fois ce nombre calculé, il ne reste plus qu’à rassembler un tas du même nombre de petits cubes et à disposer ces petits cubes sur la forme géométrique dessinée.

Remarque:
D’un point de vue didactique, il est opportun de fabriquer les solides initiaux en double. Ces doubles, pouvant s’ouvrir, les élèves bénéficient d’une rétroaction évaluative qui leur permet de vérifier leurs propositions, sans recourir à l’adulte. En effet, après avoir calculé le volume de leur solide en unités de petits cubes, comment être sûr de ne pas s’être trompé quelque part, que ce soit dans le calcul ou dans le raisonnement ? Les élèves ont la possibilité d’«ouvrir le solide de validation» et de le remplir de petits cubes.

Outre le fait de pouvoir détecter une éventuelle erreur, cela permet d’«expérimenter» cette conservation du volume : la somme des volumes des petits cubes est égale au volume du solide de départ [9].

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Pour aller plus loin

Pour terminer, nous proposons un prolongement possible à cette activité avec des élèves un peu plus âgés : c’est le problème de la «duplication du cube». Ce dernier est l’un des trois grands problèmes de l’Antiquité avec la quadrature du cercle et la trisection de l’angle. Il s’agit de construire un cube dont le volume est le double d’un cube donné. Ce problème, connu sous le nom de problème de Délos a son origine dans une légende rapportée par Eratosthène dans «Le Platonicien» et par Théon de Smyrne dans son «Arithmétique». Les Déliens, victimes d’une épidémie de peste, interrogèrent l’oracle de Delphes qui leur répondit qu’il fallait doubler l’autel consacré à Apollon pour faire cesser l’épidémie. Quand les architectes demandèrent à Platon comment s’y prendre pour doubler le volume de ce cube parfait, ce dernier leur répondit que par l’intermédiaire de l’oracle leur dieu leur reprochait de négliger la géométrie.

La racine cubique de 2

Le volume $V$ d’un cube $\mathcal{C}$ de côté $a$ est donné par la formule $V=a^3$. Ainsi si l’on construit un cube $\mathcal{C'}$ de côté $a'$ et de volume $V'$ double de celui de $\mathcal{C}$, on aura donc
\[\frac{V'}{V}=\frac{a'^3}{a^3}=\left(\frac{a'}{a}\right)^3=2.\]

Or, la racine cubique de deux, c’est justement le nombre réel positif dont le cube est égal à 2 et que l’on note traditionnellement $\sqrt[3]{2}$. On en déduit donc que $\frac{a'}{a}=\sqrt[3]{2}$, c’est-à-dire $a'=\sqrt[3]{2}a$.

Il revient au même de présenter les choses ainsi. Choisissez l’unité de votre choix, par exemple le centimètre cube ($\text{cm}^3$). Il est très facile de construire un cube de volume $1 \, \text{cm}^3$: il suffit de construire un cube de côté $1 \, \text{cm}$ puisque
\[1 \, \text{cm} \times 1 \, \text{cm} \times 1 \, \text{cm} = 1 \, \text{cm}^3.\]
Le problème qui nous occupe est alors de construire un cube de volume $2 \, \text{cm}^3$. L’idée séduisante, de prime abord, de construire un cube de côté $2 \, \text{cm}$ ne fonctionne pas... puisqu’on calcule facilement que le volume d’un tel cube est $2 \times 2 \times 2 = 8 \, \text{cm}^3$ et non 2 !

Comme activité numérique, on peut s’amuser à calculer une valeur approchée de ce nombre en cherchant des approximations supérieures et inférieures.
S’il est bien sûr possible de faire les calculs à la main au début, une calculatrice sera bienvenue si l’on souhaite une approximation plus précise.
Voici la méthode.

  • Puisque $1^3=1 < 2$ et que $2^3=8 > 2$, le nombre $\sqrt[3]{2}$ que l’on cherche est compris entre 1 et 2. Concrètement, le petit cube de volume $2 \, \text{cm}^3$ que l’on souhaite construire a ses côtés de longueur comprise entre 1 et $2 \, \text{cm}$.
  • Puisque $\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}=3,375 > 2$, le nombre $\sqrt[3]{2}$ est compris entre 1 et $\frac{3}{2}=1,5$.
  • Puisque $\left(\frac{5}{4}\right)^3=\frac{125}{64}=1,953125 < 2$, le nombre $\sqrt[3]{2}$ est compris entre $\frac{5}{4}=1,25$ et $\frac{3}{2}=1,5$.
  • ...

Ce principe d’approximation d’un nombre par encadrement est très courant en mathématiques et en sciences plus généralement.
On parle de méthode de dichotomie.
Cette méthode permet d’approcher autant qu’on le souhaite le nombre $\sqrt[3]{2}$ par des fractions mais ne permet pas l’impossible, c’est-à-dire d’écrire $\sqrt[3]{2}$ sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ deux nombres entiers.

Démonstration de l’irrationnalité de $\sqrt[3]{2}$

Si $\sqrt[3]{2}$ était rationnel, on aurait donc $\sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. De plus, quitte à simplifier la fraction, on pourrait toujours se ramener au cas où $p$ et $q$ ne seraient pas tous les deux des nombres pairs.
L’équation précédente se réécrirait $p^3=2q^3$ et on en déduirait alors que $p^3$ est un nombre pair puisqu’il serait multiple de 2. Mais alors, $p$ serait lui-même un nombre pair: en effet, le cube d’un nombre impair est impair. Puisque $p$ serait pair, on pourrait donc l’écrire sous la forme $p=2p'$ avec $p'$ un autre entier. L’équation $p^3=2q^3$ se réécrirait $(2p')^3=8p'^3=2q^3$ et donc $4p'^3=q^3$. Le même raisonnement que précédemment nous permettrait de déduire que $q^3$ est pair puisqu’il serait un multiple de 4 (et donc de 2), et par suite que $q$ serait pair. Finalement, $p$ et $q$ seraient tous les deux pairs et ceci contredirait l’hypothèse de simplification de fraction que nous avions faite au départ.

La fin de l’histoire

Comme nous l’avons vu, le problème de Délos revient à celui de construire le nombre $\sqrt[3]{2}$. Mais que signifie construire un nombre? Bien qu’implicite dans la formulation du problème, il est entendu qu’il faut, comme pour toutes les constructions géométriques à cette époque, le construire à la règle et au compas [10], ce que personne ne réussit jamais à faire... Et pour cause, en 1837, le mathématicien français Pierre-Laurent Wantzel démontra qu’une telle construction était impossible: la racine cubique de deux n’est pas un nombre constructible à la règle et au compas [11].

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Post-scriptum :

C’est dans le cadre d’un travail en collaboration avec la Fondation La Main à la pâte que nous avons développé puis testé cette activité. Nous remercions l’équipe de La Main à la pâte pour son soutien constant et la grande liberté laissée pour expérimenter toutes sortes d’idées. Nous remercions aussi chaleureusement Jos Leys pour les animations ci-dessus, ainsi que les relecteurs Jean Aymès et Andrés Navas pour leurs nombreuses remarques et suggestions.

Article édité par Philippe Colliard

Notas

[1On pourra lire l’avant-propos à la seconde édition de 1977 et l’introduction du livre en suivant ce lien.

[2Même si c’est seulement la dernière partie qui va vraiment nous intéresser ici, nous vous encourageons à regarder le film dans son intégralité. En particulier au début de celui-ci, Piaget commence par répondre à ses détracteurs auxquels il reproche de mal interpréter l’idée centrale de son épistémologie génétique, à savoir que «la connaissance part de l’action exercée sur les objets». Il ne s’agit donc pas de «tirer la connaissance des objets eux-mêmes». Par ailleurs, il faut comprendre l’action exercée sur les objets comme une «interaction», et non pas comme quelque chose à sens unique. Ainsi, Piaget se présente comme un «constructiviste» pour qui «la connaissance est affaire de continuelles constructions nouvelles par interactions avec le réel qui ne sont pas préformées. Il y a créativité continuelle».

[3Attention, les dimensions du parallélépipède, du rectangle dessiné et des petits cubes ne sont pas sans rapport. En effet, il faut pouvoir reconstruire le parallélépipède à l’aide des petits cubes ainsi qu’être capable de recouvrir exactement le rectangle dessiné à l’aide des petits cubes.

[4Il est intéressant de remarquer que Popof découpe le modèle en tranches horizontales qu’elle retourne pour pouvoir les empiler les unes sur les autres. Mais il serait tout aussi simple et naturel de découper le modèle en tranches verticales à empiler les unes sur les autres.

[5Pour certains élèves, des constructions qui s’effondrent en cours de route sont autant de motifs de découragement. Les cubes emboitables sont à cet égard les plus commodes car ils permettent de contourner cette éventuelle difficulté.

[6Même si ce n’est pas dit explicitement, on s’intéresse bien sûr à des découpages en petits cubes ayant leurs côtés parallèles à ceux du parallélépipède rectangle. À bien y réfléchir, il n’y a de toute façon pas d’autres façons de faire possibles.

[7Dans une tâche d’apprentissage, les variables didactiques sont des paramètres, en général fixés par l’enseignant, qui, lorsqu’on les modifie, demandent à l’élève d’adapter ou changer sa stratégie de résolution. Les variables didactiques permettent donc à l’enseignant de complexifier ou simplifier la tâche et ainsi favoriser la construction du savoir chez l’élève.

[8On pourra lire cet article d’Annie Bessot pour une introduction à la théorie des situations didactiques.

[9Les plus astucieux peuvent du coup remarquer qu’il n’est en fait pas nécessaire d’en passer par le calcul explicite du volume du parallélépipède pour obtenir le même volume à l’aide de petits cubes. Comme quoi, se jeter sur les calculs (et peut-être s’emmêler les pinceaux dans les tables de multiplication) n’est pas toujours indispensable 😉.

[10Cet article propose quelques exercices pour se familiariser avec ce type de construction.

[11On peut par contre construire la racine cubique de deux à l’aide d’une règle graduée et d’un compas ou par pliage de papier.

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Para citar este artículo:

Aurélien Alvarez, Nathalie Pasquet — «Une expérimentation de Piaget autour de la notion de volume» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Comentario sobre el artículo

  • Une expérimentation de Piaget autour de la notion de volume

    le 24 de octubre à 23:22, par FatMath

    Bonsoir,

    Pour expliquer «La même chose de place», ne pourrait-on pas expliquer à l’enfant qu’on voudrait faire entrer des objets dans la maison et qu’elle en serait remplie.

    Répondre à ce message

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