Une lettre de 1801 d’Adrien Marie Legendre (1752-1833) à son traducteur allemand : Christian Friedrich Kausler (1760-1825)

Hors piste Le 8 septembre 2022  - Ecrit par  Franz Lemmermeyer, Norbert Verdier Voir les commentaires
Le 10 avril 1801, Adrien-Marie Legendre (1752–1833) écrit à Christian Friedrich Kausler (1760-1825). Il le remercie d’avoir l’intention de donner une traduction en allemand de sa Théorie des nombres. Cette lettre a été découverte sur un site de vente en ligne : Heritage Auctions [ [Heritage Auctions] ] [1]. Nous commencerons par retranscrire cette lettre ; nous avons respecté autant que possible l’écriture de l’original en nous contentant d’insérer quelques fois des signes de ponctuation afin de gagner en lisibilité. Plusieurs compléments permettent de contextualiser le texte et, ainsi, d’apporter des éléments de compréhension mathématique qui conduiront Legendre à pouvoir postuler en 1808 sa fameuse loi donnant le nombre de nombres premiers compris entre $1$ et un nombre $x$ donné.
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Illustration 1 La distribution des nombres premiers, avec Legendre [Legendre, 1808, 394].

LA LETTRE

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SA TRANSCRIPTION

Paris Le 20 Germinal an 9 [10 avril 1801]
Monsieur
Je suis très flatté que mon ouvrage sur les nombres ait pu fixer votre attention, et que vous ayez le projet d’en donner une traduction allemande, enrichie de vos remarques et de vos additions. Cet ouvrage ne pourra que gagner infiniment à passer par vos mains, et recevra sans doute des perfectionnements que je n’aurois pu lui donner et qui en assureront le succès. Je profiterois de cette heureuse occasion, comme vous m’y invitez, monsieur, et je vous adresserois avec empressement des recherches supplémentaires si j’en avois quelqu’une qui en valût la peine ; mais depuis l’impression de l’ouvrage je ne me suis point occupé de cet objet, et je n’ai rien qui soit digne de vous être communiqué, si ce n’est quelques erreurs dont la suppression ou la rectification pourra être comptée comme perfectionnement.

À peine l’impression étoit-elle achevée que je me suis apperçu [sic] d’une erreur assez considérable qui s’étoit glissée à la fin de l’introduction. Cette erreur heureusement n’est pas très apparente, et elle ne m’a été indiquée par personne, mais il n’en est pas moins essentiel de la faire disparaitre.

À la fin de l’art. XXIII, lign. 1 pag. 15, j’ai dit que l’erreur ne pourra jamais s’élever à autant d’unités qu’il y a de dénominateurs. Cette assertion n’est point exacte, elle parait dans cet endroit tirée d’une induction qui lui donne une grande vraisemblance ; et il y a un grand nombre de cas où l’erreur est en effet très légère, mais il y en a aussi où elle est beaucoup plus considérable que je ne l’avance, de sorte que tout ce qui suit, et particulièrement l’art. XXVIII qui contient un faux résultat, a besoin d’une grande modification. J’ai eu quelque peine, je l’avoue, à me rendre bien compte du vice du raisonnement, mais enfin je suis parvenu à le découvrir, et voici par quelle marche.

J’ai dit que la raison à la fin de l’art. XXII pag. 16, que pour la formule $n(1-\frac{1}{\theta})(1-\frac{1}{\omega})$ l’erreur ne pourra jamais être de deux unités. Cela est vrai, car cette formule développée devient $n-\frac{n}{\theta}-\frac{n}{\omega} + \frac{n}{\theta\omega}$ et l’erreur, s’il y en a, se compose de l’erreur des différentes parties. Soit $\frac{n}{\theta} = n' + \frac{\alpha}{\theta}$ ; $n’$ étant l’entier de la division et $a$ le reste positif, moindre que $\theta$ ; soit pareillement $\frac{n}{\omega}= n'' + \frac{\beta}{\omega'}\frac{n}{\theta \omega} = n'''' + \frac{\gamma}{\theta\omega}$ . Le nombre des termes non divisibles par $\theta$ et $\omega$ dans la suite proposée A + B, 2A + B, . . . $n$A+B sera $n−n′ −n′′ +n′′′$, et partout l’erreur de la formule sera $- \frac{\alpha}{\theta}- \frac{\beta}{\omega} + \frac{\gamma}{\omega\theta}$, laquelle ne peut pas aller à une unité en plus puisque le seul terme positif est $\gamma/\theta\omega$ , ni à deux unités en moins, puisque $a/\theta + \beta/\omega$ sont deux parties dont chacune est moindre qu’une unité. Mais si on passe ensuite au cas de trois facteurs, l’erreur de la formule $n(1-\frac{1}{\theta})(1-\frac{1}{\gamma}) (1-\frac{1}{\mu}) $se compose de l’erreur des différentes parties $n-\frac{n}{\theta}-\frac{n}{\gamma}-\frac{n}{\mu} + \frac{n}{\theta\gamma}+\frac{n}{\gamma\mu} + \frac{n}{\lambda\mu} -\frac{n}{\theta\gamma \mu}$, dont quatre sont négatives et trois positives (la première n ne devant pas être comptée) ; dont quatre sont négatives et trois positives (la première n ne devant pas être comptée) ; Les premières peuvent donner au plus une erreur de trois unités, et les autres, une de deux. En général si $k$ est le nombre des facteurs premiers $\theta, \gamma, \mu, \&,$ le développement de $n(1-\frac{1}{\theta})(1-\frac{1}{\gamma})(1-\frac{1}{\mu}) \;\&$ donnera (l’entier $n$ excepté) $2^{k-1}$ parties négatives et $2^{k-1} – 1$ parties positives ; il est difficile de porter un jugement sur la plus grande erreur qui résultera de chacune des parties ; tout ce qu’on voir clairement, c’est que l’erreur négative la plus grande ne peut aller jusqu’à $2^{k-1}$ unités, et que l’erreur positive la plus grande ne peut aller jusqu’au nombre de ces parties qui est $2^{k-1} − 1$. Il y a lieu de présumer que les limites pourront être fort abaissées, mais rien n’assure qu’elles puissent être fixées au-dessous de k, comme je l’ai dit à la fin de l’art. XXIII pag. 15. C’est sans doute parce que cette limite de l’erreur peut surpasser $k$ de beaucoup, contre mon assertion sans cependant aller jusqu’à $2^{k+1}$, que la méthode donnée dans l’art. XXIV, pour trouver le nombre de nombres premiers contenus dans une progr. arithm. donnée, est défectueuse. Cependant on peut en faire mention comme d’un moyen approximatif qui quelquefois est assez exacte, et qui en général ne s’écarte de la vérité que lorsque le nombre des termes de la suite arith. est très grand, comme de 100.000 ou plus. Si j’avais plus de loisir dans ce moment, je prendrais la liberté, monsieur, de vous indiquer comment je rectifierais moi-même, dans une autre édition la fin de mon introduction depuis l’art. XXIII, mais je crois que je n’y perdrais rien à ce que vous vouliez bien vous même vous charger du soin de cette rectification. La plus grande partie peut à la rigueur subsister en avertissant que les résultats ne sont qu’approchés. On pourrait aussi tout simplement supprimer tout ce qui suit, l’art. XXIII amendé. La table pag. 17 présente des résultats fautifs dans les derniers chiffres décimaux, à compter du nombre premier 53 ; mais au reste elle pourrait être supprimée. La formule indiquée dans la note pag. 19 réussit merveilleusement. J’ai trouvé A = 1 et B = −1,08106 [2] ; de sorte que si on demande combien il y a de nombres premiers
au-dessous de $a$, on trouve le nombre $= \frac{a}{\log a - 1,08106}$ ; formule où $\log a$ est un logarithme hyperbolique, ce que nous désignons de nos jours par logarithme népérien et notons $ln a$. L’exactitude de cette formule se vérifie par les tables de Vega [3] qui donnent les nombres premiers jusqu’à 400000 ; la formule donne 33846 nombres premiers au-dessous de 400000, tandis que l’énumération faite à l’aide des dites tables en donne 33851 ; au-dessous de 100000 la formule donne 9586 et l’énumération 9583, & ainsi dans les autres degrés [4]. Cet accord étonnant dans la loi d’une suite aussi irrégulière que celle des nombres premiers, est véritablement admirable, et ne laisse aucun doute sur la vérité de la formule ; il est fâcheux que je n’en ai pas une démonstration exacte ; car j’avoue qu’elle est tout à fait empirique et que je n ’en vois pas même la route par laquelle on pourrait le démontrer. Il en résulte en sorte cet autre théorème singulier que l’intervalle probable qui sépare deux nombres premiers consécutifs est égal au log. hyp. du plus petit ; de sorte que si $x$ est un nombre premier, le nombre premier suivant sera $x + \log x$, ou plus ext. $x + \log x$ − 0, 08106, ou encore en termes plus clairs ; dans le chiliade qui s’étend depuis $x $− 500 jusqu’à $x $+ 500, le nombre des nombres premiers contenus est $\frac{1000}{\log x}$ ou $\frac{1000}{\log x - 0,081}$, formule qu’on trouve encore d’une vérité frappante, mais elle est un corollaire facile à déduire de la précédente. Les fautes de l’introduction exigent qu’on supprime les deux articles de la pag. 464 ou au moins le second, et qu’on y ait égard au commencement de la table des matières.

Dans le reste de l’ouvrage je n’ai à indiquer pour le présent aucun changement essentiel. Je conseille de terminer les additions à la pag. 466 en omettant tout ce qui suit, parce que la règle pag. 467 n’est pas générale. Je conseille surtout de supprimer la table XII, comme inutile et d’une impression excessivement difficile. D’un autre côté j’aurois désiré qu’on ajoutât une table extraite des tables VIII, IX, X et XI, et continuée plus loin, s’il est possible, contenant les seuls diviseurs trinaires de première espèce, ainsi qu’il est indiqué dans la remarque pag. 364. Et dans les trois tables VIII, X et XI, il serait bon aussi, de mettre au titre de chaque page, la forme paire des diviseurs ainsi que leur forme impaire. Par ex. dans la table VIII, le titre serait :

\[\text{Diviseurs}\quad 4n+1 \left\{ \begin{array}\\8n+2 c=8k+1\\8n-2 c=8k-3\end{array} \right.\]

,
ce qui veut dire que les diviseurs pairs seront de la forme $8n + 2$ si c’est de la forme $8k + 1$, et qu’ils seront de la forme $8n − $2 si c’est de la forme $8k − 3$. La derniere équation de la pag. 190 et la première de la pag. 191, sont fautives et doivent être corrigées ainsi

\[(t^2 + u^2 -\alpha t N’ - \beta uN’)^2 + (\alpha u N’ -\beta t N)^2 = N N’ N’’, \; (N’ - \alpha t - \beta u)^2 + (\alpha u - \beta t)^2 = N N’’\].

Dans la valeur de $c^2$ pag. 326 il y a une partie $\pi(f′^2g^2 + f^2g’^2)$, pour laquelle on doit lire $π f’^2g^2 + π′ f^2g'^2$.

Je n’ajouterai plus qu’un mot relatif à l’usage qu’on peut faire de la formule trouvée empiriquement $b = \frac{a}{\log a - 1,08106}$, pour résoudre fort exactement le problème de l’art. XXIV de l’introd. Désignons par $φ onct. a$ ou $\phi (a)$la fonction $\frac{a}{\log a - 1,08106}$, qui exprime combien il y a des nombres premiers depuis 1 jusqu’à $a$. Et soit proposé par ex. de trouver combien il y a de nombres premiers dans la suite 1, 91, 181, 271, ... , 90$n $+ 1. J’observe que tous les nombres premiers, exceptés 3 et 5 diviseurs de 90, sont répartis entre les différentes suites arithm. dont les termes généraux sont 90$n$ + 1, 90$n$ + 7, 90$n$ + 11, & jusqu’à 90$n$ + 89, le nombre de ces suites est $\frac{90}{2}(1-\frac{1}{3})(1 - \frac{1}{5} )= 24$. Et lorsque $n$ est un grand nombre, comme on doit le supposer, il n’y a pas de raison pourquoi une de ces suites contiendroit plus de nombres premiers qu’une autre, puisque l’exclusion des multiples de 7, de 11, &. s’y fait de la même manière à des intervalles de 7, de 11 termes &. Or le nombre des nombres premiers depuis $1$ jusqu’à a est en général $φ. a$ ; ainsi le nombre demandé $=\frac{1}{16}\phi(a) = \frac{1}{16} . \phi(90n + 1)$ ou plus exact[ement] \[\frac{1}{16}\phi (90n + 45) = \frac{45}{16}.\frac{2n+1}{L (2n + 1) + L(45) - 1,08106}\] [5] De même dans l’ex. de l’art. XXV le nombre demandé $=\frac{1}{16} \phi(60x-30)$ , et en faisant $x$ = 1000 cette quantité devient 377.7 ou 378.

Voilà, Monsieur, toutes les observations que je puis vous adresser pour le présent. Recevez-les avec indulgence et agréez les sentimens & la considération avec lesquels je suis votre dévoué serviteur. Le Gendre.

ET SON CONTEXTE [6]

En 1788, Legendre publie ses premiers résultats en théorie des nombres [Legendre, 1785-1788]. Aujourd’hui, ce mémoire est cité principalement en rapport avec l’énoncé par Legendre de la loi de réciprocité quadratique ; historiquement plus important, cependant, est le fait que cette publication, en particulier ses conjectures sur la connexion entre les sommes de trois carrés et les nombres de classe des formes quadratiques, a inspiré Gauss pour élaborer sa théorie des formes quadratiques binaires dans la section V des Disquisitiones Arithmeticae [Gauss, 1801]. En 1797-1798, Legendre a inclus ces résultats dans son livre très lu Essai sur la théorie des Nombres [Legendre, 1797-1798] Dans ce livre, Legendre a utilisé la théorie de Lagrange sur la réduction des formes quadratiques pour donner une condition nécessaire et suffisante pour la solvabilité de l’équation $a x^2 + b y^2 = c z^2$ en nombres entiers non nuls. Ses preuves de la loi de réciprocité quadratique et du théorème des trois carrés comportaient des lacunes, notamment parce qu’il supposait l’existence de nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Legendre a également formulé diverses conjectures, en particulier concernant le nombre de nombres premiers inférieurs à un certain nombre réel.

Revenons sur l’extrait de l’ouvrage inséré en début de texte [Illustration 1]. Cet exemplaire numérisé sur Google.books comporte une centaine d’annotations marginales d’un même lecteur ; elles résultent d’une lecture très attentive ; voici celle associée au résultat proposé par Legendre [Illustration 2].

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Illustration 2 Un livre annoté par un lecteur anonyme [Legendre, 1808, 394].

L’Essai de Legendre était beaucoup plus populaire (et plus facile à lire) que l’impénétrable Disquisitiones Arithmeticae publiée par Gauss en 1801 [7]. Gauss commence par introduire la notion de congruence, que Legendre a refusé d’adopter [Boucard & Verdier, 2015] et donne deux preuves complètes de la loi de réciprocité quadratique ; la section V sur les formes quadratiques binaires reste la partie la plus difficile des Disquisitions, et contient une preuve complète du théorème des trois carrés ; la section qui a bénéficié d’une reconnaissance immédiate (Legendre a inclus certains des résultats de Gauss déjà dans la deuxième édition de son Essai [Legendre, 1808] était la théorie de la cyclotomie de Gauss : Il y a prouvé que les équations $x^n - 1 = 0$ sont solubles dans les radicaux, et que les n-gones réguliers [8] avec $n$ impair peuvent être construits à la règle et au compas si $n$ est un nombre premier de Fermat [9].

Qu’en est-il des traductions de Legendre ?
En 1794, Legendre a publié ses Eléments de géométrie qui ont connu un grand succès. Ils sont traduits en anglais par John Farrar en 1819 [Préveraud, 2013] puis en allemand par Léopold Crelle en 1822. Ces traductions ont été immédiatement utilisées comme manuels scolaires : la géométrie était un sujet indispensable dans les écoles secondaires et les universités. La situation est différente en ce qui concerne la théorie des nombres, qui n’était pas du tout enseignée (bien que les équations diophantiennes jouissent d’une certaine popularité) jusqu’à ce que Dirichlet propose les premiers cours dans les années 1830. Quiconque voulait étudier la théorie des nombres devait lire Diophantus ou les quelques mémoires d’Euler et de Lagrange. L’Essai de Legendre offrait une introduction à la théorie des nombres qui était largement accessible à tous ceux qui s’intéressaient à ces questions.

Apportons désormais différents éléments sur C.F. Kausler qui a été l’un des lecteurs assidus de Legendre. Né en 1760 à Tübingen, il a été le condisciple de Friedrich Schiller (1759–1805). Après la mort de son père, il a été envoyé en 1773 dans un orphelinat de Stuttgart. En 1780, il se rend à Nîmes où il travaille comme maître de justice [10]. De cette période, nous possédons une silhouette de Kausler ; elle est extraite du « Stammbuch » [11] de Johann Christian Andreas Mayer (1747-1801).

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La silhouette de Kausler datée du cinq mars 1782 et réalisée à Tübingen [ [Mayer, 1779] ].

Il retourne à Stuttgart en 1783 où il enseigne les mathématiques et le français. Tout au long de la décennie 1786-1796, il multiplie les initiatives en fondant une école pour jeunes filles à Stuttgart (Lehrinstitut für junge Mädchen) et en publiant, en 1796, une traduction en allemand, du traité d’algèbre d’Euler, incluant les additions de Lagrange [Kausler, 1796]. Dans un appendice, il inclut ses propres investigations sur la factorisation des nombres entiers avec la méthode dite « de Fermat » ainsi qu’une tentative de démonstration pour le cas n = 3 de ce qui a été appelé par la suite « conjecture de Fermat » [12].

En 1797, il se rend à Saint Petersburg ; il devient correspondant de l’Académie des sciences en avril 1798. Son séjour est mathématiquement fructueux ; il présente plusieurs notes arithmétiques devant l’Académie des sciences ; elles sont publiées dans les années 1800s dans diverses publications académiques pétersbourgeoises [Kausler, 1797-1798a &b, 1798, 1799-1802a, b &c, 1802a, b & c]. Dans certaines productions, il montre en quoi la Théorie des nombres de Legendre l’influence. Ainsi, dans ses « Remarques pour faciliter la recherche des diviseurs des nombres premiers », il indique : « Je m’occupais de cette théorie et des moyens de l’appliquer aussi aux autres nombres qui sont la somme de trois ou quatre carrés, lorsque je reçus l’excellent ouvrage de Mr. Le Gendre, intitulé : “Essai d’une théorie des nombres” dans lequel cet auteur aussi savant que modeste a réuni en une science intéressante toutes les différentes découvertes faites jusqu’ici dans l’Analyse indéterminée, en y ajoutant les siennes propres, lesquelles en reculant de beaucoup les limites de cette sublime science, ouvrent un vaste champ à des recherches ultérieures » [Kausler, 1797-1798b]. À son retour de Saint Petersburg, il devient membre correspondant de l’Académie royale des sciences de Göttingen sous la suggestion d’Abraham Gotthelf Kästner (1719-1800). De 1805 à 1813, Kausler travaille à Ochsenhausen près de Biberach ; ensuite, il devient enseignant au lycée de Stuttgart, puis de 1818 jusqu’à 1822, il enseigne les sciences et le français à Königin-Katharina-Stift [13]. Il décède en février 1825, à Stuttgart, sans avoir publié sa traduction de Legendre, vraisemblablement perdue.

Les rectifications de Legendre sont prises en compte dans sa deuxième édition [Legendre, 1808] conçue à partir des tables de Vega ; il l’indique dans son Avertissement : « On a tâché de faire disparaître dans cette seconde Edition la plus grande partie des imperfections ou même des erreurs qui étaient restées dans la première, malgré les soins qu’on y avait apportés. Les changemens sont tels, qu’une moitié environ du volume est devenue un ouvrage nouveau. » [Ibid.]. Le problème du nombre de nombres premiers dans la progression arithmétique est étudié dans la partie IV, § XI de l’édition de 1808. Le 26 février 1816, devant l’Institut, Legendre présenté son Supplément à l’essai sur la théorie des nombres [(Legendre) [14], 1816] ; pour sa réalisation, il s’est fondé sur les tables étendues de Ladislaus Chernac (1742-1816) qu’il avait publiées en 1811 [Chernac, 1811]. Si l’Essai de Legendre traduit par Kausler n’a vraisemblablement pas été publié, d’autres l’ont été. En 1829, paraît une traduction de Michael Creizenach (1789-1842)) [15] et en 1886, Hermann Maser (1856-1902)) fait paraître une traduction qui a beaucoup circulé dans l’espace germanophone [Legendre, 1886].

Au-delà des traductions, les résultats de Legendre ont largement circulé et été commentés. Par exemple, le mathématicien de Cambridge James Whitbread Lee Glaisher (1848-1928) publie ses Factor table for the sixth million, en 1883 à Londres [Glaisher, 1883]. Il commente et apporte des suppléments aux résultats obtenus par Legendre quelque soixante-dix ans plus tôt [Illustration 3].

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Illustration 3 Legendre relu par Glaisher, en 1883 [Glaisher, 1883, 67].

En guise de conclusion  

En 1980, Roger Cuculière avait consacré son mémoire de DEA (Master aujourd’hui) à la loi de réciprocité quadratique [Cuculière, 1980] et s’était beaucoup intéressé aux écrits de Legendre. Legendre semble susciter à nouveau l’intérêt des historiens des mathématiques. Le vendredi 21 mai 2021, une séance du séminaire d’histoire des mathématiques a été consacrée à « Adrien-Marie Legendre et l’Europe » [ [Chemla, Smadja & Tournès, 2021] ] ; nous venons de retrouver, outre cette lettre à son traducteur allemand, deux de ses contrats d’édition de Legendre avec son éditeur Firmin Didot à propos de ses Éléments de géométrie [ANMT,179 AQ 282, « Legendre »]. Par la variété et l’acuité des travaux de Legendre, par les nouvelles sources archivistiques disponibles, il serait opportun, qu’enfin, un collectif d’historiens rédige une biographie scientifique de Legendre malgré l’annotation finale de l’anonyme lecteur de Legendre [Illustration 4].

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Illustration 4 « … il n’a pas pu donner à ses résultats l’élégance et la généralité qui caractérisent la théorie due [sic] à M. Gauss » [Legendre, 1808, 480].

BIBLIOGRAPHIE

Sources primaires

Chernac Ladislas  

  • 1811. Cribrum Arithmeticum sive, Tabula continens numeros primos, a compositis segregatos, occurrentes in serie numerorum ab unitate progedientium, usque ad decies centena millia, et ultra haec, ad viginti millia (1020000). Numeris compositis, per 2, 3, 5, non dividuis, adscripti sunt divisores simplices, non minimi tantum, sed omnino omnes, Daventriae, sumtibus Auctoris, Literis J. H. de Lange, 1811.

Gauss Karl Friedrich

  • 1801. Disquisitiones Arithmeticae, Leipzig, Gerhard Fleischer, 1801.

Glaisher James Whitbread Lee

  • 1883. Factor table for the sixth million, containing the least factor of every number not divisible by 2, 3, or 5 between 5, 000, 000 and 6, 000, 000, London, Taylor and Francis, 1883.

Kausler Christian Friedrich

  • 1796. Leonhard Eulers Vollständige Anleitung Zur Algebra. Dritter Theil „Übersetzung aus dem französischen“, Frankfurt, 1796.
  • 1797-1798a. « De Numeris Qui Semel Vel Pluries in Summam Duorum Quadratorum Resolvi Possunt », Eingegangen Am 5.11.1800, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1797-1798, 232–267.
  • 1797-1798b. « Remarques pour faciliter la recherche des diviseurs des nombres premiers », Eingegangen Am 17.06.1801, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1798-1797, 268–289.
  • 1798. « Solution du problème de décomposer les nombres entiers non-carrés en deux, trois ou quatre carrés », présenté à l’Académie le 26 Avril, -1798, Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae, XI (1798), 125-156.
  • 1799-1802a. « Solution de quelques problèmes d’analyse indéterminée. Continuation », présenté à l’Académie le 13 Août 1800, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1799-1802, 116–145.
  • 1799-1802b. « Demonstratio Theorematis : Nec Summam Nec Differentiam Duo- Rum Cubo-Cuborum Cubo-Cubum Esse Posse », Conventui Exhibita Die 18. Jan. 1801, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1799-1802, 146–155.
  • 1799-1802c. « Disquisitiones Super Numeris Formae $Mx^2 + Ny^2$, Eingegangen 18.11.1801, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1799-1802, 156–180.
  • 1802a. « Solution de quelques problèmes remarquables d’analyse indéterminée », présenté à l’Académie le 29 novembre 1798, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 13 (1802), 205–236.
  • 1802b. « Nova Demonstratio Theorematis Nec Summam, Nec Differentiam Duorum Biquadratorum Biquadratum Esse Posse », Conventui Exhibit. Die 4. Octobr. 1799, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 13(1802), 237–244.
  • 1802c. « Nova Demonstratio Theorematis Nec Summam, Nec Differentiam Duorum Cuborum Cubum Esse Posse », Conventui Exhibita d. 7. Nov. 1799, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropoli- tanae, 13 (1802), 245–253.

Legendre Adrien-Marie

  • 1785-1788. « Recherches d’analyse indéterminée », Histoire de l’Académie royale des sciences, année MDCCLXXXV, (1785/88), 465-559.
  • 1797-1798. Essai sur la théorie des nombres, Paris, Duprat, an VI (1797-1798)
    1808. Essai sur la théorie des nombres, deuxième édition, Paris, Courcier, 1808 [16].
  • 1816. Supplément à l’essai sur la théorie des nombres, seconde édition, Paris, Courcier, 1816.
  • 1886. Zahlentheorie von Adrien Marie Legendre. Nach der dritten Auflage ins Deutsche übertragen von H. Maser, Leipzig, Teubner, 1886.

Schering Ernst

  • 1863. Carl Friedrich Gauss Werke Band II, herausgegeben von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, B.G. Teubner,1863, 444-447.

Vega Georg von

  • 1793. Vorlesungen über die Mathematik, erster Band, 2, Wien, 1793.
  • 1797. Logarithmisch-Trigonometrische Tafeln Nebst Andern Zum Gebrauch Der Mathematik Eingerichteten Tafeln Und Formeln, Band II. Leipzig, Leipzig, Weidmannischen Buchhandlung, 1797.

Sources secondaires

Boucard Jenny & Verdier Norbert

  • 2015. « Circulations mathématiques et congruences dans les périodiques de la première moitié du XIXe siècle », Philosophia Scientiæ, 19-2 (2015), 57-78.

Bullynck Maarten

  • 2010. « A history of factor tables with notes on the birth of number theory, 1657-1817 », Revue d’histoire des mathématiques, Volume 16, Issue 2 (2010), 133-216.

Cuculière Roger

  • 1980. Histoire d’un théorème d’arithmétique : La loi de réciprocité quadratique, mémoire de DEA sous la direction de Gilles Lachaud, université Paris-Nord, Villetaneuse, 1980.
    (Voir http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/IMG/pdf/roger_cuculiere_loireciprocitequadratique.pdf)

Echeverria Javier

  • 1992. “Observations, problems and conjectures in number theory – the history of the prime number theorem” in Echeverria, Javier (ed.) et al., The space of mathematics. Philosophical, epistemological, and historical explorations, Berlin, Walter de Gruyter (1992), 230-252.

Goldstein Catherine, Schappacher Norbert & Schwermer Joachim (Editors)

  • 2007. The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae, Berlin, Springer Verlag, 2007.

Gündert Gisela ; Kress Wolfgang & Josef Buck Joseph  

  • 2018. 200 Jahre Königin Katharina Stift, Stuttgart, Königin-Katharina-Stift, 2018.

Lemmermeyer Franz

  • 2022. 4000 Jahre Zahlentheorie. I. Von Babel bis Abel, Berlin, Springer Verlag, 2022.

Préveraud Thomas

  • 2013. « Destins croisés de manuels français en Amérique (1819-1862) : l’exemple des Éléments de géométrie d’Adrien-Marie Legendre » in Les ouvrages de mathématiques dans l’Histoire. Entre recherche, enseignement et culture, coordonné par Évelyne Barbin & Marc Moyon, Limoges, Presses universitaire de Limoges, 2013.

Wittmann Axel

  • 2018. Obgleich und indeßen. Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Johann Franz Encke 1813-1854, Band I, herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von Axel Wittmann, Remagen-Oberwinter, Verlag Kessel, 2018.

Sources archivistiques

Archives nationales du monde du travail (ANMT), Roubaix, fonds Didot : 179 AQ 282, liasse : « Legendre ».

Sources orales & sitographiques

Bullynck Maarten

Chemla Karine, Smadja Ivahn & Tournès Dominique, sous la direction de,

Gauß Carl Friedrich, Brief zu J. Encke, 24 Dezember 1849 [17] 

Heritage Auctions, 2019.

Mayer, J. C. Stammbuch, 1779., 2012

Roegel Denis
“A Reconstruction of Felkel’s Tables of Primes and Factors (1776)”, 2012.

Nous remercions les relecteurs qui ont pris la peine de lire une version préparatoire de ce texte et notamment « Cidrolin » pour ses lectures avisées.

Post-scriptum :

Nous remercions les relecteurs et relectrices, dont Jenny Boucard, qui ont pris la peine de lire une version préparatoire de ce texte ; nous remercions tout particulièrement « Cidrolin » pour ses lectures avisées.

Article édité par Norbert Verdier

Notes

[1Les références orales et sitographiques sont indiquées par [ [Identifiant de la référence] ]. Tous les liens ont été vérifiés avant la publication de l’article.

[2Dans une lettre à Johann Franz Encke (1791-1865) datée de Göttingen du 24 décembre 1849 ([Schering, 1863] & [ [Gauß 1849] ]), Carl Friedrich Gauss (ou Gauß) (1777-1855) rend compte de ses propres recherches sur ce sujet du nombre de nombres premiers parmi les nombres entiers ; il écrit qu’afin d’obtenir de bons résultats pour le nombre de nombres premiers parmi les 500 premiers, il est nécessaire d’obtenir des résultats sur le nombre de nombres premiers parmi les premiers cinq cents mille entiers, un million, trois millions et obtient des valeurs valant respectivement $1,09040 ; 1,07682 ; 1,07297$. Il indique qu’il n’ose pas conjecturer que la limite de ces nombres est $1$.

[3Les tables donnant les nombres premiers inférieurs à $100 000$ ont été éditées par Jurij Bartolomej ou Georg von Vega (1754-1802), en 1793 [Vega, 1793]. Celles donnant les nombres inférieurs à 400 000 ont été éditées en 1797 [Vega, 1797]. Vega a copié certaines tables dans celles de Anton Felkel (1740- ?) publiées en 1776 [ [Roegel, 2012] ]. Pour le rôle des tables dans le développement de la théorie des nombres, voir également [Bullynck, 2010] et [ [Bullynck] ].

[4Nous avons $\pi(400000) = 33860$ et $\pi(100000) = 9592$ où $\pi(x)$ désigne la fonction qui compte le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Les résultats annoncés par Legendre sont donc très proches de la réalité.

[5La justification du résultat provient de l’égalité : $\frac{1}{16}\phi (90n + 45) = \frac{90n + 45}{/log(90n + 45) - 1,08106} =\frac{45}{16}.\frac{2n+1}{\log(2n + 1) + \log(45) - 1,08106}$

[6Nous renvoyons pour une contextualisation de la théorie des nombres sur le long terme (de Babel à Abel soit quatre mille ans à l’ouvrage de Franz Lemmermeyer [Lemmermeyer, 2022]. Pour une histoire du théorème des nombres premiers, nous renvoyons à la synthèse de Javier Echeverria : [Echeverria, 1992]. J.Echeverria montre à partir de ce théorème des nombres premiers que les mathématiques souvent présentées comme théoriques et coupées du monde réel, sont aussi une science d’observation et conçues comme telles par bon nombre de ses acteurs du XIXe siècle.

[7Pour avoir plus d’informations sur l’ouvrage de Gauss et les principaux concepts développés, nous renvoyons à l’étude : [Goldstein, Schappacher & Schwermer, 2007].

[8Un n-gone est un polygone ayant n angles et n côtés ; il est dit « régulier » si les longueurs des côtés sont égales.

[9Un nombre de Fermat est un nombre entier de la forme : $F_n = 1+2^{2^{n} } $ avec $n$ entier naturel. Ce n-ième nombre de Fermat est noté $F_n$. Pierre de Fermat ( ?-1665) émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers … mais $F_5$ est composé et tous les suivants le sont jusqu’à $F_{32}$. On ne sait pas qu’il se passe après. Les seuls nombres de Fermat premiers connus sont donc : $F_0 = 3, F_1 = 5, F_2 = 17, F_3 = 257 et F_4 = 65 537$.

[10Le terme « maître de justice » (Hofrat) renvoie probablement à un titre honorifique donné aux hauts fonctionnaires, peut-être en rapport avec l’éducation des fils de nobles.

[11Un « Stammbuch » est un liber amicorum c’est-à-dire, en l’occurrence, un recueil de textes offerts à un ami par ses camarades à l’occasion d’un événement particulier relatif à son parcours. Apparus dans les universités protestantes allemandes au XVIe siècle, c’est une tradition très développée dans l’espace germanophone.

[12Dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse – notée $c$ – au carré est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés : $a$ et $b$, autrement dit : $a^2 + b^2 = c^2$. En revanche, il est impossible de trouver trois entiers naturels (non nuls) tels que $a^n + b^n = c^n$ dès que n est un entier naturel dépassant trois. Ce résultat a été annoncé par Pierre de Fermat ( ?-1665).

[13La reine Catherine de Wurtemberg (en allemand Katharine Sophie Friederike Dorothee von Württemberg) (1783-1835), inspirée par l’institut Smolny de Saint-Pétersbourg, a fondé en 1818 à Stuttgart un institut éducatif royal (Königin-Katharina-Stift-Gymnasium dénommé encore Katharinenstift ou Katzenstift) destinée à l’enseignement de jeunes filles. Il s’agissait d’une sorte de couvent accueillant des filles issues de milieux aisés mais aussi de familles d’extractions plus modestes. Kausler fait partie de la première promotion de professeurs en 1818 ; l’institut comptait alors environ deux cents élèves [Gündert, Kress & Buck, 2018].

[14Cet exemplaire ne porte sur sa page de titre ni le nom de l’auteur ni celui du libraire-imprimeur.

[15Nous ne sommes pas parvenus à localiser cette traduction ; des comptes rendus ont été publiés mais aucune trace dans les bibliothèques n’a été retrouvée.

[16- Nous faisons référence à l’exemplaire numérisé sur Google.books. Cet exemplaire provient de Astor Library à New-York et comporte des annotations dont nous faisons usage dans notre analyse.

[17L’ensemble des lettres entre Gauss et Encke vient d’être publié et contextualisé par Axel Wittmann [Wittmann, 2018].

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Pour citer cet article :

Franz Lemmermeyer, Norbert Verdier — «Une lettre de 1801 d’Adrien Marie Legendre (1752-1833) à son traducteur allemand : Christian Friedrich Kausler (1760-1825)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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