Valeurs approchées des racines

Piste rouge Le 30 juillet 2020  - Ecrit par  Serge Cantat, Stéphane Le Borgne Voir les commentaires
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Comment évaluer des racines carrées, comme $\sqrt{2}$, ou $\sqrt{324,12}$, en quelques calculs « rapides » ? Et à quoi cela correspond-il géométriquement ? Il s’agit d’un texte à l’usage des lycéens. D’autres textes sur le même thème vont suivre, ou sont parus récemment. Bonne lecture !

Dessiner $\sqrt{2}$

Dans un carré dont la longueur des côtés est égale à $1$ (disons $1$ mètre), la
diagonale vaut $\sqrt{2}$, comme on peut le voir à partir du théorème de Pythagore ; en ce sens, on a représenté $\sqrt{2}$ géométriquement : c’est la longueur de cette diagonale. Traçons maintenant un carré dont l’aire est égale à $2$ ; la longueur $L$ de ses côtés vérifiera alors $L\times L = 2$, et la figure sera donc, en un certain sens, « plus proche » de la définition algébrique des racines carrées : par définition
\[ L=\sqrt{2} \]
car c’est la solution positive de l’équation $L^2= 2$. Pour tracer cette figure, partons d’un rectangle dont les côtés mesurent $2$ et $1$, découpé en deux carrés, qui chacun sont découpés le long de leur diagonale, comme sur la figure suivante.

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Un rectangle de côtés $2$ et $1$, découpé en deux carrés

Nous disposons donc de quatre demi-carrés, que nous pouvons maintenant réarranger en un grand carré dont les côtés
ont pour longueur $\sqrt{2}$ [1] :

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Un carré d’aire $2$, donc de côté $L=\sqrt{2}$

Ce procédé de découpage-collage montre comment construire le carré cherché, d’aire $2$, à partir d’un rectangle initial de même aire. Nous allons maintenant décrire un autre processus qui ne fonctionne pas directement : au lieu de construire directement le carré cherché, il produit une suite de rectangles qui approchent de plus en plus le carré. Cela fournira un algorithme pour calculer des approximations successives du nombre $L=\sqrt{2}$.

Calculer $\sqrt{2}$

Le but que nous avons maintenant est donc de calculer $\sqrt{2}$ avec une précision arbitraire, ceci en manipulant comme ci-dessus des rectangles d’aire égale à $2$. Une autre méthode est décrite dans l’article de Patrick Popescu Pampu sur le même sujet : vous y apprendrez ici un bel algorithme de calcul, enrichi des souvenirs nostalgiques de l’auteur.

Commençons par quelques remarques. Les longueurs $a$ et $b$ des côtés d’un rectangle d’aire $2$ vérifient la relation $ab=2$, ou encore $b=2/a$. Le rectangle utilisé ci-dessus est un cas particulier de cette remarque pour lequel $a=2$ et $b=1$. Si un tel rectangle est presque un carré, c’est-à-dire que $a$ est presque égal à $b$, alors $a$ et $b$ seront presque égaux à $\sqrt{2}$.
Plus généralement, si l’aire du rectangle vaut $A$, alors $ab=A$, $b=A/a$, et si le rectangle est proche d’un carré, $a$ et $b$ sont proches de $\sqrt{A}$.
Nous allons donc chercher une construction géométrique qui transforme n’importe quel rectangle allongé en un rectangle moins allongé, plus proche d’un carré.

Pour ce faire, revenons au cas particulier $A=2$, et remplaçons le rectangle initial, de côtés $a>b$ et d’aire $ab=2$, par le rectangle de côtés
\[a_1=\frac{a+b}{2} \quad \text{et} \quad b_1=\frac{2}{a_1}=\frac{4}{a+b}.\]

Autrement dit, le plus grand des deux côtés est remplacé par leur moyenne
arithmétique, si bien que le nouveau côté vérifie $b < a_1 < a$ ;
puis l’on calcule l’autre côté du nouveau rectangle $b_1$ : pour que l’aire reste égale à $2$, il faut que $b_1 = 2/a_1$. Puisque $a_1 < a$ et $a_1b_1 = 2 = ab$,
on obtient $b_1 > b$ ; ainsi,
les nouveaux côtés sont compris entre les anciens, et se sont donc rapprochés.
 [2]

Voici comment construire par découpage et ré-assemblage le nouveau rectangle, ceci en partant d’un rectangle de
côtés $a=2$ et $b=1$. On conserve tout d’abord une partie de largeur $a_1=\frac{a+b}{2}=\frac{3}{2}$ et de
hauteur $b=1$ ; il reste alors une partie de taille $1/2\times 1$.
Puis l’on découpe cette partie résiduelle en
quatre rectangles fins, comme ci-dessous

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Découpage du rectangle

et l’on ré-arrange les rectangles pour obtenir un rectangle de base $a_1=3/2$ et de hauteur $b_1=1+2/6=4/3$ :

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Réassemblage

Le rectangle ainsi construit a les dimensions requises, $a_1$ et $b_1$.

Nous pouvons alors itérer cette construction ce qui, à partir du choix initial
$a=2$ et $b=1$, donne les valeurs suivantes :

  1. longueurs $a_1=3/2$ et $b_1=4/3$. C’est le rectangle construit ci-dessus.
  2. longueurs $a_2=(3/2+4/3)/2=17/12$ et $b_2=24/17$.
  3. longueurs $a_3=(17/12+24/17)/2=577/408$ et $b_3=816/577$.

Pour comparer ces différentes fractions, mettons-les à chaque pas au même dénominateur, puis calculons la différence $a_n-b_n$ :

  1. $a_1=9/6$ et $b_1=8/6$, donc $a_1-b_1=1/6$
  2. $a_2=289/204$ et $b_2=288/204$, donc $a_2-b_2=1/204$.
  3. $a_3=332 929/235 416$ et $b_3=332 928/235 416$, donc \[a_3-b_3=1/235 416.\]

Au troisième pas, nous avons deux nombres rationnels positifs dont le produit vaut 2 et dont la différence vaut $1/235 416$. La racine de $2$ est donc comprise entre les deux nombres rationnels $b_3$ et $a_3$ et chacun d’eux fournit une valeur approchée
de $\sqrt{2}$ à $1/235 416$ près, donc avec au moins cinq décimales justes. C’est déjà relativement précis,
puisqu’on en déduit $\sqrt{2}=1.41421...$.

Dans les fractions qui viennent d’être calculées, on remarque que les numérateurs des fractions irréductibles représentant les différences $a_n-b_n$ sont tous égaux à $1$. Ce n’est pas une coïncidence, il est effectivement possible de démontrer que c’est le cas pour tout $n$ [3]. Une autre façon d’exprimer cette propriété est la suivante : si $a_n=p_n/q_n$ est l’écriture de $a_n$ sous forme de fraction irréductible alors
\[ p_n^2-2q_n^2=1. \]
La suite $(p_n,q_n)$ fournit donc une infinité de solutions à l’équation de Pell-Fermat
\[ x^2-2y^2=1, \]
à résoudre en nombres entiers $x,y$.
 [4]

Calculer $\sqrt{7}$

La méthode que nous avons décrite pour $\sqrt{2}$ fonctionne pour d’autres nombres. Appliquons-la pour estimer $\sqrt{7}$ en démarrant avec $a=7$ et $b=1$. Le rectangle de côtés $a$ et $b$ est
maintenant remplacé par un rectangle de côtés $a_1=(a+b)/2$ et $b_1=7/a_1$ (pour conserver une aire égale à $7$). Cela donne, en mettant $a_n$ et $b_n$ au même dénominateur,
\[ a_1 = 4 = 16/4 \quad {\text{et}} \quad b_1 = 7/4\]
puis
\[ a_2=\frac{23}{8},\; b_2= \frac{56}{23}, \quad {\text{soit}}\quad a_2= \frac{529}{184}, \; b_2= \frac{448}{184}\]
\[ a_3=\frac{977}{368} , \; b_3=\frac{2576}{977}, \quad {\text{soit}}\quad a_3=\frac{954529}{359536}, \; b_3=\frac{947968}{359536}\]
si bien que les différences successives $a_n-b_n$ valent $6$, $9/4$, $81/184$, $6561/359536=0.018$. Ainsi, après trois étapes
l’erreur d’approximation est petite, mais tout de même encore de l’ordre de $1/100$ (ce n’est pas génial !).

On peut faire mieux en partant d’un autre rectangle (toujours d’aire $7$ bien sûr). Revenons à l’équation de Pell-Fermat, mais avec un $7$ à la place du $2$ ; il s’agit de l’équation $x^2-7y^2=1$, que l’on ré-écrit sous la forme équivalente
\[ x^2=1+7y^2. \]
Nous chercherons des solutions en nombres entiers $x$, $y$. Si $(x,y)$
est une telle solution, alors $(x/y)^2=7+(1/y)^2$ ; si $y$ est grand alors
$(1/y)^2$ est petit et $x/y$ est déjà une bonne approximation de $\sqrt{7}$.
Faisons la liste des nombres $1+7y^2$ pour $y$ entre $0$, et $7$ :
\[ 1,\ \ 8,\ 29,\ \ 64,\ \ 113,\ \ 176,\ \ 253,\ \ 344. \]
Pour $y=3$, la valeur obtenue est le carré $8^2=64$, ce qui donne
\[ 8^2=64=1+7 \times 3^2; \]
autrement dit le couple $(8,3)$ est une solution de l’équation $x^2=1+7y^2$. Cela suggère d’appliquer notre méthode en partant d’un rectangle d’aire $7$ dont le premier côté a pour longueur $a=8/3$ et le second vérifie nécessairement $b=21/8$. Donc, partant de $a=8/3$ et $b= 21/8$, et mettant $a_n$ et $b_n$ au même dénominateur, nous obtenons
\[ a_1=\frac{127}{48},\; b_1= \frac{336}{127}, \quad {\text{soit}}\quad a_1= \frac{16129}{6096}, \; b_1= \frac{16128}{6096}\]
puis
\[ a_2=\frac{32257}{12192},\; b_2= \frac{85344}{32257}, \quad {\text{soit}}\quad a_2= \frac{1040514049}{393277344}, \; b_2= \frac{1040514048}{393277344}\]
\[ a_3=\frac{2081028097}{786554688} , \; b_3=\frac{5505882816}{2081028097},\]
(nous ne donnons pas les réductions au même dénominateur de $a_3$ et $b_3$ ; les nombres en jeu comportent dix-neuf chiffres)
si bien que les différences successives $a_n-b_n$ valent $1/24$ (pour $a-b$), $1/6096$, $1/393277344$, $1/(2081028097*786554688)$. C’est beaucoup plus rapide qu’en partant du rectangle de côtés $7$ et $1$ !

La méthode de Héron

La méthode que nous venons de présenter est souvent
appelée méthode de Héron [5]. Résumons-la en l’algorithme suivant, qui a pour but d’approcher la racine (positive) d’un nombre $x>0$.

On part d’une première approximation $a$ située au-dessus de $\sqrt{x}$, c’est-à-dire que $a^2\geq x$,
et l’on pose $b=x/a$, ce qui revient à prendre un premier rectangle de côtés $a$ et $b$
avec $a$ choisi, et $b$ imposé par la relation d’aire $ab=x$.
Puis à chaque étape on remplace la paire $(a,b)$ disponible par la nouvelle paire $(a',b')$ définie par
\[ a'=\frac{a+b}{2}%=\frac{1}{2}(a+\frac{x}{a}) ,\quad b'=\frac{x}{a'}%=\frac{2x}{a+x/a}. \]
Cette opération est ensuite répétée pour produire une suite $(a_n,b_n)$. Alors $a_n\geq \sqrt{x}\geq b_n$ et les
deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers $\sqrt{x}$, la première en décroissant, la seconde en croissant.
Ceci fournit à chaque étape un encadrement $b_n\leq \sqrt{x}\leq a_n$ de la racine carrée cherchée.
On pourrait aussi « oublier les $b_n$ », en partant de $a=x$ et en posant $a_{1}=\frac{1}{2}(a+x/a)$, puis $a_2=\frac{1}{2}(a_1+x/a_1)$, etc.
Mais ce faisant on ne conserve que la majoration $\sqrt{x}\leq a_n$, avec $a_n$ qui s’approche de $\sqrt{x}$ ; c’est souvent moins pratique qu’un encadrement. [6] [7]

Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1L’aire du rectangle initial est égale à $2$ ; l’aire du carré obtenu est donc encore égale à $2$, et la longueur de ses côtés est donc $\sqrt{2}$. Ici, le théorème de Pythagore n’est pas directement utilisé, c’est la notion d’aire qui prime, et dont nous admettons les propriétés suivantes : invariance par découpage-collage, et formule pour le carré. Il faut aussi montrer que la figure obtenue est bien un carré : les quatre côtés ont la même longueur (celle de la diagonale d’un carré de côté $1$), et les quatre angles sont droits (par symétrie les angles des quatre triangles utilisés sont égaux à $90$ ou $45$ degrés).

[2De plus, en utilisant que $ab = 2$, le nouvel écart $a_1-b_1$ vaut
\[ a_1-b_1 = \frac{a+b}{2}-\frac{4}{a+b}= \frac{a^2+b^2+2ab-8}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)} \]
En particulier $a_1 > b_1$.

[3Ceci découle de la note précédente.

[4Toutes les solutions de cette équation ne sont pas obtenue à partir de la suite $a_n$ : par exemple, on n’obtient pas la solution $(99,70)$ qui se trouve entre $(17,12)$ et $(577,408)$. Les équations de Pell-Fermat sont aussi abordées dans les articles suivants d’IdM : Nombres puissants au bac S, Quand la géométrie vient au scours de l’arithmétique, Le nombre d’or en mathématique. La résolution complète des équations de Pell-Fermat peut s’appuyer sur l’écriture en fraction continues (ou continuées). Si vous souhaitez savoir ce qu’est cette écriture, vous pouvez lire l’article Calendriers et fractions continues.

[5En référence à Héron d’Alexandrie, mathématicien grec du premier siècle qui a décrit cette méthode. Mais le procédé était connu avant et il est aussi appelé méthode babylonienne.

[6Cette méthode coïncide avec la méthode de Newton. Si l’on utilise la notion de suite définie par récurrence, on peut dire que les paires $(a_n,b_n)$ sont définies par une condition initiale $(a_1,b_1)=(a,x/a)$ avec $a>0$ et $a^2\geq x$ et par la relation de récurrence $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$, $b_{n+1}=2x/(a_n+b_n)$.

[7On peut présenter le problème de la recherche de valeurs approchées de racines cubiques en termes géométriques analogues : comment rendre un pavé de plus en plus cubique sans en changer le volume ?

Donnons un nombre $A>1$, et commençons par un pavé dont les longueurs des côtés sont $a=A$, $b=1$, $c=1$.
Un nouveau pavé est alors construit, dont les côtés mesurent
\[a_1=\frac{1}{3}(a+b+c)=\frac{A+2}{3}, b_1=a_1\]
puis
\[c_1=\frac{A}{a_1b_1}=\frac{A}{a_1^2}\]
afin d’assurer un volume $a_1b_1c_1=A$ ; ainsi $c_1=\frac{9A}{(A+2)^2}$.
Et l’on continue de cette façon, passant du pavé numéro $n$ au suivant en imposant
\[ a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+b_n+c_n), \quad b_{n+1}=a_{n+1}, \quad c_{n+1}=\frac{A}{a_{n+1}b_{n+1}}=\frac{A}{a_{n+1}^2}.\]

Cela marche-t-il ? Eh bien oui ! Autrement dit, lorsque l’on répète cet algorithme, les trois nombres $a_n$, $b_n$, et $c_n$ s’approchent de la racine cubique de $A$.
Ici aussi le format de la figure de départ a une influence sur la qualité de l’approximation obtenue pour les petites valeurs de $n$.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat, Stéphane Le Borgne — «Valeurs approchées des racines» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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