Vauban es a los cerdos como Fibonacci es a los conejos

El 14 abril 2013 - Escrito por Pierre de la Harpe
El 14 abril 2013 - Traducido por Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Artículo original : Vauban pour les cochons comme Fibonacci pour les lapins Ver los comentarios
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Vauban fue un hombre de guerra; ingeniero militar, dirigió 53 asedios, reparó 300 plazas fuertes y construyó otras 33 nuevas. En 1703, a los 70 años, Luis XIV lo nombró Mariscal de Francia. Falleció de muerte natural en 1706.


Portrait de Vauban

Vauban fue también un hombre de corazón, preocupado por el bien común, y redactor infatigable de diversas memorias, reunidas en doce volúmenes bajo el nombre de ’’Ociosidades o afanes de muchos temas a mi modo’’. Por ejemplo, entristecido de ver a los campesinos agobiados por diversos impuestos, endeudados y mal nutridos, propuso generalizar la producción porcina. En ’’La crianza del cerdo, o cálculo estimativo para conocer hasta dónde puede llegar la descendencia de una cerda durante diez años plazo’’, muestra que una sola hembra puede engendrar tal cantidad de crías que, luego de doce generaciones, ’’habrá tantos [cerdos] como Europa sea capaz de alimentar’’.

Retomemos su cálculo. Teniendo en cuenta diversas pérdidas, enfermedades, accidentes y la acción de los lobos, Vauban estima prudentemente que cada camada esté constituida por seis cerdos: tres hembras que interesan para la continuación del cálculo, y tres machos de los cuales no hablará casi nada.
En su modelo, una cerda va a parir por primera vez en su segundo año, y luego dos veces al año por cuatro años seguidos, antes de quedar estéril en su séptimo año de vida.

Así, el primer año hay $1$ cerda. El segundo año, ésta tiene una camada, y por lo tanto $3$ nuevas hembras. Al tercer año, hay dos camadas de la primera cerda y una camada de cada una de sus hijas, por lo tanto, cinco camadas en total, es decir $15$ nuevas cerdas. Al cuarto año, el cálculo análogo entrega \[(1 \times 2 + 3 \times 2 + 15 \times 1) \times 3 = 69\]
nuevas cerdas. Aquí, $1 \times 2$ quiere decir que la primera cerda tiene dos camadas, $3 \times 2$ que cada una de sus hijas tiene dos camadas, y $15 \times 1$ que cada una de sus nietas tiene una camada: se multiplica el número de camadas por $3$ para obtener $69$. El lector habrá comprendido que los cálculos
\[ (1 \times 2 + 3 \times 2 + 15 \times 2 + 69 \times 1) \times 3 = 321, \]
\[ (1 \times 2 + 3 \times 2 + 15 \times 2 + 69 \times 2 + 321 \times 1) \times 3 = 1491 \]
proporcionan los números de nuevas cerdas después de cinco y seis años.
Hasta aquí, el número de términos a sumar dentro de los paréntesis ha aumentado con cada cálculo. A continuación, cada año, una nueva generación de abuelas queda estéril, de manera que siempre hay cinco términos por sumar en los paréntesis. Por ejemplo:
\[ (3 \times 2 + 15 \times 2 + 69 \times 2 + 321 \times 2 + 1491 \times 1) \times 3 = 6921 \]
nuevas cerdas después de siete años.
Los cálculos anteriores proporcionan por lo tanto los siete primeros términos de una secuencia que Vauban calcula hasta la undécima: las siete primeras como arriba
\[ 1, \hskip.2cm 3, \hskip.2cm 15, \hskip.2cm 69, \hskip.2cm 321, \hskip.2cm 1 \hskip.1cm 491, \hskip.2cm 6 \hskip.1cm 921, \ \]
luego cuatro más para hacer un extra
\[ 32 \hskip.1cm 139, \hskip.2cm 149 \hskip.1cm 229, \hskip.2cm 692 \hskip.1cm 919, \hskip.2cm 3 \hskip.1cm 217 \hskip.1cm 437 . \]
Luego de once años, la abuela habrá entonces engendrado —contando a los machos— más de seis millones de cerdos.

En notación más moderna, designamos como $T(n)$ el número de cerdas nacidas durante el año $n$. Los números $T(n)$ constituyen una secuencia, completamente definida como sigue:
$T(n) = 0$ si $n$ es negativo o nulo, $T(1) = 1$, y
\[ T(n) = 3T(n-1) + 6T(n-2) + 6T(n-3) + 6T(n-4) + 6T(n-5) \]
para $n \ge 1$.
Como está indicado más arriba por sus once primero términos, la secuencia de los $T(n)$ crece muy rápidamente. De hecho, su crecimiento es exponencial, o para ser más precisos, se acerca con rapidez a un crecimiento exactamente exponencial, con una tasa de crecimiento al año de $464 \%$. Con una calculadora se obtiene fácilmente otros valores, por ejemplo $T(20)$ y $T(30)$. Aquí están los órdenes de tamaño: $T(20)$ está cercano a $3 \times 10^{12}$ (tres seguido de doce ceros) y $T(30)$ cercano a $1,5 \times 10^{19}$ (quince seguido de dieciocho ceros).

A los matemáticos les gusta agregar que $464 \%$, es decir $464$ centésimas,
o incluso $4,64$, es el valor aproximado del único número real $c$ tal que
$c^5 - 3c^4 - 6c^3 -6c^2 -6c -6 = 0$; un pequeño computador entrega una aproximación más exacta: $c = 4,643 \hskip.1cm 310 \hskip.1cm 908 \hskip.1cm 249 \hskip.1cm 259$. En notación condensada, el hecho de que el crecimiento se acerque a un crecimiento exactamente exponencial de tasa $c$
puede escribirse $\lim_{n \to \infty} (T(n+1) / (T(n)) = c$.

Hay online una enciclopedia de secuencias de números enteros [1].

La secuencia de Vauban tiene una predecesora famosa: la serie propuesta hacia 1200 por Fibonacci. Una pareja de conejos produce cada mes una nueva pareja y cada nueva pareja es productiva desde su segundo mes; además, las parejas ¡son eternamente productivas! Si $F(n)$ designa el número de parejas durante el mes $n$, el uso aquí es plantear $F(0) = 0$, $F(1) = 1$, y
\[ F(n) = F(n-1) + F(n-2) \]
para $n \ge 2$. Dicho de otra manera, para $n \ge 2$, cada término es la suma de los dos anteriores. Este es el inicio de la serie
\[ 0, \hskip.1cm 1, \hskip.1cm 1, \hskip.1cm 2, \hskip.1cm 3, \hskip.1cm 5, \hskip.1cm 8, \hskip.1cm 13, \hskip.1cm 21, \hskip.1cm 34, \hskip.1cm 55, \hskip.1cm 89, \hskip.1cm ... \]
El crecimiento también es exponencial, con una tasa de crecimiento de $162 \%$ por mes. Más exactamente, esa tasa es el número de oro $\phi$, que es el número superior a $1$ tal que $\phi^2 - \phi - 1 = 0$
[2].

Volvamos a Vauban. Yo descubrí su programa sobre los cerdos en un lindo librito de Michel Pastoureau, «El cerdo, historia de un primo mal querido»
(Gallimard, 2009) [3]. Para comprender mejor las razones y propósitos del texto de Vauban, los derivaremos a una página de Pastoureau [4]. (La página contiene una errata: hay que corregir $473$ en vez de $479$.)

Este es un extracto:

Vauban ve en la crianza del cerdo un medio para tratar de luchar contra la hambruna y frenar la crisis campesina. Él observa que ’’este animal es de tan fácil alimentación que cada uno puede criarlo, no habiendo campesino, por pobre que sea, que no pueda criar un cerdo de su propiedad por año’’.

Después, como ingeniero, se aboca a una especie de proyección matemática para determinar el número de descendientes que una cerda puede tener en diez generaciones: ’’Una cerda de siete años de edad, época cuando deja de engendrar, habrá producido en diez generaciones, es decir en el undécimo año —ya sea ella misma o las hembras que dio a luz— 1 072 473 camadas, que, estimando que en promedio dan seis cerdos machos y hembras, producirán 6 434 338 animales, o sea neto 6 000 000, deducción hecha de las enfermedades, los accidentes y la acción del lobo de alrededor de un quinceavo’’. Ese cálculo ’’a la Perrette’’ tenía evidentemente algo de utópico, sobre todo en la Francia de los años 1700. Pero la posteridad le dio la razón a Vauban. Cien o ciento cincuenta años más tarde, la producción porcina —vinculada a la difusión de la patata— pasaba a ser una de las más dinámicas y más prolíficas en Europa occidental. Y el tratado De la crianza del cerdo, que permaneció manuscrito por largo tiempo, fue impreso por primera vez en París en 1843.

Para saber más sobre Vauban, se puede también leer el retrato que hizo Saint-Simon [5].

Vauban se apellidaba Leprêtre,

Vauban se apellidaba Leprêtre, pequeño gentilhombre de Bourgogne a lo sumo, pero posiblemente el hombre más honesto...y el más virtuoso de su siglo, y con la mayor reputación de hombre más sabio de su siglo en el arte de los asedios y de la fortificación, el más simple, el más verdadero y el más modesto. Era un hombre de tamaño regular, bastante achaparrado, que tenía fuerte aspecto de guerrero, pero al mismo tiempo un exterior basto, por no decir brutal y feroz. No era nada menos. Nunca un hombre más dulce, más compasivo, más atento, pero respetuoso, sin ninguna cortesía, y el más avaro dueño de casa, con un valor que tomaba todo sobre sí y entregaba todo a los demás. Es inconcebible que con tanta rectitud y franqueza, incapaz de prestarse para nada falso ni malévolo, él haya podido ganar, al punto que él lo hizo, la amistad y la confianza de Louvois y del rey. Ese príncipe estaba abierto a él un año antes de la voluntad que tuvo de hacerle mariscal de Francia. Vauban la había suplicado que reflexionara, que esta dignidad no estaba en absoluto hecha para un hombre de su condición, que no podía nunca comandar sus ejércitos y que los pondría en aprietos si, durante un asedio, el general fuera menos antiguo mariscal de Francia que él. Un rechazo tan generoso, basado en razones que solo la virtud proporcionaba, aumentó aún el deseo del rey por coronarla. Vauban había hecho cincuenta y tres asedios, una veintena de ellos en presencia del rey, que creyó hacerse a sí mismo mariscal de Francia y honrar sus propios laureles dándole el título a Vauban. Él lo recibió con la misma modestia con la cual había manifestado su desinterés. Todos aplaudieron en esta cumbre de honor, donde ningún otro de esta clase había llegado antes que él, y nadie llegó después.

Agradezco a Paul-Henry Leemann y a Roland Bacher que tuvieron a bien encargarse de diversos cálculos relacionados con este artículo.

Notas

[1] Vea http://oeis.org y aquí para más detalles sobre la secuencia de Vauban.

[2] Vea este artículo.

[3] vea La Cliothèque.

[4] Vea aquí.

[5] Ver acá.

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