Una pelota de tenis

¿Se ha dado cuenta que es de hecho bastante simple describir la huella marcada sobre una pelota de tenis ? [1] Veamos :

La línea está hecha de... ¡cuatro semi-circunferencias idénticas ! ¿Las vse ? En la primera fotografía se perciben dos, como dos paralelos de un planeta : uno al sur y otro al norte. Al girar se descubre las dos semi-circunferencias del lado oculto (la parte de la pelota que se ve en la tercera foto, luego de tres cuartos de vuelta). Uno puede ser incluso más exacto, considerando la figura de abajo que corresponde a la primera foto ; en ella, se han denotado A, A’, B y B’ los puntos de unión entre la cara visible y la cara oculta. Eso va a permitirnos describir exactamente cómo las paralelas se separan.

Hay que recordar en primer lugar que sobre la cara oculta el paralelo norte se une con el paralelo sur. Como es necesario conectar A con A’ y B con B’ mediante semi-circunferencias idénticas a las de la cara visible, se puede deducir que las distancias AA’, AB, BB’ y A’B’ son iguales, así como los ángulos AOA’, AOB, BOB’ y A’OB’. En particular AA’B’B es un cuadrado. De ahí se deduce también que los paralelos de la cara visible están situados en las latitudes 45°N y 45°S.
 [2]

Un rompecabezas esférico

He aquí un segundo objeto. Se trata de un rompecabezas que era vendido bajo el nombre de ’’Orb-it’’ en los años 80. El objetivo de ese rompecabezas es seleccionar las perlas de color haciendo comunicar los circuitos. Al final debe haber solo perlas de un color en cada una de las cuatro circunferencias, como es el caso en la primera foto (vea este video, donde se propone un método de resolución, y el sitio web de Jaap Scherphuis donde el número de posiciones es estudiado). Los dos paralelos de la pelota de tenis han sido reemplazados por cuatro paralelos dispuestos regularmente cada 45° (mientras todos estaban cada 90° sobre la pelota de tenis) y las dos caras están articuladas.

Veamos más en detalle lo que ocurre. Partiendo de la disposición 1 : ’’paralelos’’, se obtiene después de una muesca en disposición 2, una serpiente análoga a la de la pelota de tenis. La línea es solamente un poco más misteriosa. De nuevo una muesca hasta la posición 3 donde ocurre algo nuevo y que va a interesarnos más adelante : ya no es más un circuito de perlas lo que tenemos, ¡sino dos ! La posición 4 que no está fotografiada corresponde directamente a la segunda (sin embargo con una quiralidad diferente), mientras que con una muesca extra se reencuentra la primera posición, salvo que el amarillo está frente al azul y el verde frente al rojo. ¡Se hizo una media vuelta !

Más circuitos todavía

De la misma forma como la esfera tenía 2 paralelos y el rompecabezas 4, uno puede imaginar una esfera articulada con N paralelos (por ejemplo 6 o 7). Se la puede llamar « la pelota con N paralelos ». Estos paralelos están dispuestos regularmente cada 180º/N [3]. Para una representación en 3D de la pelota con seis paralelos, le animo a mirar la animación en video del matemático Henryk Gerlach, cuyas investigaciones vamos a explicar más tarde (¡no dude en apretar la tecla de pausa si lo necesita !)

También puede ser satisfactoria una vista esquemática a partir del polo norte, como lo hacemos en la figura de abajo para la pelota con 7 paralelos.

Uno parte de las circunferencias concéntricas en posición 1. El círculo polar norte está en azul (pequeño) y el círculo polar sur es el gran círculo verde. Después de una muesca, todos los paralelos se desplazan (en 180º/N), y tal como sobre las otras pelotas se obtiene un círculo cerrado. Hay un solo circuito y está cerrado. Uno se convence de eso partiendo del S azul central que se bordea con arcos de círculo, alargando simultáneamente el camino en los dos extremos. Uno observa al final que el extremo sobre uno de los hemisferios (punto A) corresponde al otro extremo sobre el otro hemisferio (punto B). Así, hay una sola serpiente sobre el dibujo, ¡y se muerde la cola !

Pero como en el caso del ’’Orb-it’’, hay también disposiciones ’’malas’’ en las cuales el gran circuito se fracciona en pequeños circuitos. En el segundo 19 de la animación de Gerlach, por ejemplo, hay 3 circuitos cerrados. Entre la posición 1 ’’paralelos’’ y la posición número N se puede llamar φ(N) al número de posiciones encontradas ’’correctas’’, es decir, aquellas que dibujan un único circuito. Ya se pudo comprobar que φ(2)=1 y φ(4)=2, y que φ(N) vale al menos 1, ya que siempre se puede contar con el circuito ’’serpiente’’. En la película de Gerlach se observará que φ(6)=2 y dibujando sobre un papel esquemas análogos al presentado arriba, se podrá muy rápidamente encontrar los valores de φ(3), φ(5), ¡y tal vez de φ(7) !

La cuerda más larga que se puede aplicar sobre una esfera

Hechas las presentaciones con la pelota con N paralelos, podemos ahora mencionar el artículo de dos matemáticos contemporáneos [4]. No es tan habitual encontrar artículos de investigación actuales que uno pueda explicar con palabras simples, ¡así que no nos privemos de esto ! Los dos investigadores están interesados en las formas de enrollar una cuerda alrededor de una esfera. Más precisamente, se trata de encontrar la cuerda cerrada [5] más larga que uno pueda aplicar sobre una esfera. Hay que imaginar que las cuerdas en cuestión nos son dadas con una sección circular de espesor constante, y que ellas son suficientemente flexibles para poder realizar semi-vueltas tan ceñidas como uno desee. La única verdadera restricción es que la cuerda no se despegue nunca de la esfera. Por lo tanto, no pasa nunca sobre sí misma.

La primera comprobación de los dos autores es que, siguiendo las líneas de la pelota de tenis con N paralelos, se llega a veces a cubrir completamente la esfera, es decir, sin que haya lugar de la esfera que se vea detrás de la cuerda. Este resultado se obtiene ajustando correctamente el espesor de la cuerda en relación al tamaño de la esfera, y procurando que los puntos de contacto entre cuerda y esfera sigan una de las trayectorias cerradas presentadas al inicio. La longitud de la cuerda es, entonces, excepto algunas precisiones [6], igual a la superficie de la esfera dividida por el espesor de esta cuerda. Esta comprobación, igualmente válida para toda otra cuerda, demuestra que no se puede aplicar sobre la misma esfera una cuerda que tenga a la vez la misma anchura y mayor longitud.

La parte más interesante del trabajo de von der Mosel y Gerlach viene ahora : si una cuerda llega a recubrir completamente la esfera, esta se desenrrolla de hecho exactamente de la manera descrita antes :

• Por una parte, el espesor de la cuerda corresponde forzosamente a aquella utilizada en una de las pelotas de tenis con múltiples paralelos (digamos N paralelos).
• Por otra parte, el circuito seguido es exactamente uno de aquellos (de número φ(N)) proyectados para la pelota en cuestión. ¡Uno tiene por supuesto el derecho de reorientar la pelota como desee !

Se puede presentar esta parte del teorema de modo un poco diferente, con tiras de cáscaras de patatas (o de naranja) en lugar de cuerdas : si usted tiene una patata esférica (¡ !) de 24 cm de circunferencia y desea pelarla con un solo movimiento, terminando en el lugar donde usted comenzó el trabajo, solo será posible para tiras de cáscara cuya longitud sea 24/2=12cm, 24/4=6cm, 24/6=4cm, 24/8=3cm... La lista es infinita, pero solo los espesores de esta secuencia de números funcionan. A la inversa, si el ancho de sus cáscaras es de 2cm y usted desea pelar patatas (¡esféricas !) con un solo movimiento y terminando en el lugar donde comenzó, será posible solo con patatas de cincunferencia 2x2=4cm, 2x4=8cm, 2x6=12cm, 2x8=16cm o cuya circunferencia figure en esta serie infinita de números.

Colorear una esfera con una mina sin espesor... ¡Peano lo hizo !

No nos resistimos a las ganas de mencionar un resultado fascinante, y de ahí en adelante clásico, que se debe a los matemáticos Peano y Hilbert [7]. Se trata sin embargo de un teorema puramente matemático, que pide prudencia si se desea formularlo con palabras de la vida diaria. ¡Tratemos ! Con un cordel sin espesor (¡una curva matemática ideal !) de longitud infinita (¡eso no existe !) es posible recubrir toda la esfera (¡permitiéndose sin embargo pasar muchas veces por el mismo lugar !). Es un poco como si uno pudiera colorear enteramente una esfera con un lápiz de mina sin espesor. Incluso si tal lápiz sin espesor existiera, la mano no alcanzaría a trazar esta línea, por mucho que haga vueltas... ¡pero la mente humana logra describirla ! [8] Considerando las curvas sobre la pelota de tenis cuando el número de paralelos se vuelve muy grande, se obtiene en efecto curvas cada vez más largas y que recubren casi toda la esfera, pero no hay curva límite después de esas curvas.

La situación es diferente en la construcción de Hilbert de la curva de Peano, ya que las curvas que están en juego se deducen unas de otras por complicación, efectuando giros cada vez más ceñidos y permitiendo de ese modo definir una curva límite, que pasará por todas partes. Sobre la figura se ha representado así las cuatro primeras aproximaciones (en violeta, verde, azul y luego rojo) de una curva coloreando un pañuelo, así como en la parte derecha de la imagen se ha ilustrado el hecho de que se puede ’’sujetar’’ la curva sobre la esfera con ayuda de ese pañuelo.