Viaje sobre una pelota de tenis

Pelota de tenis, rompecabezas de perla y otros objetos esféricos

Piste bleue Le 5 avril 2013  - Ecrit par  Nicolas Juillet
Le 25 mars 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Voyage sur une balle de tennis Voir les commentaires
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Uno mira una pelota de tenis, sigue su línea blanca sobre el fieltro amarillo y en el camino se encuentra con Euler, Peano y algunos matemáticos contemporáneos. Estos últimos han descubierto cuál es la cuerda más larga que uno puede aplicar sobre una esfera.

Una pelota de tenis

¿Se ha dado cuenta que es de hecho bastante simple describir la huella marcada sobre una pelota de tenis ? [1] Veamos :

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La línea está hecha de... ¡cuatro semi-circunferencias idénticas ! ¿Las vse ? En la primera fotografía se perciben dos, como dos paralelos de un planeta : uno al sur y otro al norte. Al girar se descubre las dos semi-circunferencias del lado oculto (la parte de la pelota que se ve en la tercera foto, luego de tres cuartos de vuelta). Uno puede ser incluso más exacto, considerando la figura de abajo que corresponde a la primera foto ; en ella, se han denotado A, A’, B y B’ los puntos de unión entre la cara visible y la cara oculta. Eso va a permitirnos describir exactamente cómo las paralelas se separan.

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Hay que recordar en primer lugar que sobre la cara oculta el paralelo norte se une con el paralelo sur. Como es necesario conectar A con A’ y B con B’ mediante semi-circunferencias idénticas a las de la cara visible, se puede deducir que las distancias AA’, AB, BB’ y A’B’ son iguales, así como los ángulos AOA’, AOB, BOB’ y A’OB’. En particular AA’B’B es un cuadrado. De ahí se deduce también que los paralelos de la cara visible están situados en las latitudes 45°N y 45°S.
 [2]

Un rompecabezas esférico

He aquí un segundo objeto. Se trata de un rompecabezas que era vendido bajo el nombre de ’’Orb-it’’ en los años 80. El objetivo de ese rompecabezas es seleccionar las perlas de color haciendo comunicar los circuitos. Al final debe haber solo perlas de un color en cada una de las cuatro circunferencias, como es el caso en la primera foto (vea este video, donde se propone un método de resolución, y el sitio web de Jaap Scherphuis donde el número de posiciones es estudiado). Los dos paralelos de la pelota de tenis han sido reemplazados por cuatro paralelos dispuestos regularmente cada 45° (mientras todos estaban cada 90° sobre la pelota de tenis) y las dos caras están articuladas.

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Las disposiciones 1, 2 et 3 del ’’Orb-it’’ con las dos transiciones.

Veamos más en detalle lo que ocurre. Partiendo de la disposición 1 : ’’paralelos’’, se obtiene después de una muesca en disposición 2, una serpiente análoga a la de la pelota de tenis. La línea es solamente un poco más misteriosa. De nuevo una muesca hasta la posición 3 donde ocurre algo nuevo y que va a interesarnos más adelante : ya no es más un circuito de perlas lo que tenemos, ¡sino dos ! La posición 4 que no está fotografiada corresponde directamente a la segunda (sin embargo con una quiralidad diferente), mientras que con una muesca extra se reencuentra la primera posición, salvo que el amarillo está frente al azul y el verde frente al rojo. ¡Se hizo una media vuelta !

Más circuitos todavía

De la misma forma como la esfera tenía 2 paralelos y el rompecabezas 4, uno puede imaginar una esfera articulada con N paralelos (por ejemplo 6 o 7). Se la puede llamar « la pelota con N paralelos ». Estos paralelos están dispuestos regularmente cada 180º/N [3]. Para una representación en 3D de la pelota con seis paralelos, le animo a mirar la animación en video del matemático Henryk Gerlach, cuyas investigaciones vamos a explicar más tarde (¡no dude en apretar la tecla de pausa si lo necesita !)

También puede ser satisfactoria una vista esquemática a partir del polo norte, como lo hacemos en la figura de abajo para la pelota con 7 paralelos.

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Uno parte de las circunferencias concéntricas en posición 1. El círculo polar norte está en azul (pequeño) y el círculo polar sur es el gran círculo verde. Después de una muesca, todos los paralelos se desplazan (en 180º/N), y tal como sobre las otras pelotas se obtiene un círculo cerrado. Hay un solo circuito y está cerrado. Uno se convence de eso partiendo del S azul central que se bordea con arcos de círculo, alargando simultáneamente el camino en los dos extremos. Uno observa al final que el extremo sobre uno de los hemisferios (punto A) corresponde al otro extremo sobre el otro hemisferio (punto B). Así, hay una sola serpiente sobre el dibujo, ¡y se muerde la cola !

Pero como en el caso del ’’Orb-it’’, hay también disposiciones ’’malas’’ en las cuales el gran circuito se fracciona en pequeños circuitos. En el segundo 19 de la animación de Gerlach, por ejemplo, hay 3 circuitos cerrados. Entre la posición 1 ’’paralelos’’ y la posición número N se puede llamar φ(N) al número de posiciones encontradas ’’correctas’’, es decir, aquellas que dibujan un único circuito. Ya se pudo comprobar que φ(2)=1 y φ(4)=2, y que φ(N) vale al menos 1, ya que siempre se puede contar con el circuito ’’serpiente’’. En la película de Gerlach se observará que φ(6)=2 y dibujando sobre un papel esquemas análogos al presentado arriba, se podrá muy rápidamente encontrar los valores de φ(3), φ(5), ¡y tal vez de φ(7) !

Más explicaciones acerca de φ(N), la ’’indicatriz de Euler’’.

Hay un medio bastante directo para calcular φ, ya que esta es una función famosa llamada ’’indicatriz de Euler’’. Fue introducida por el genial matemático suizo, en un contexto absolutamente diferente. No crea sin embargo que es sorprendente encontrar aquí esta función. En efecto, usted va a ver que la definición de φ tiene un falso aire de parentesco con nuestro problema...

En lenguaje un poco técnico, φ(N) es el número de enteros de 1 a N que son primos relativos con N. Una forma visual de explicar esto es la siguiente : sobre un circuito cerrado se dispone N límites. Un canguro da saltos cuya longitud lo hacen aterrizar en todos los k-ésimos límites. De este modo, da la vuelta en círculos y nunca se detiene. Uno dice que k es primo con N si en su paseo a saltos de tamaño k, el canguro ’’visita’’ todos los límites. Repetimos que φ(N) designa la cantidad de números k entre 1 y N que son primos con N. Así, es el número de longitudes de salto posibles por los cuales el canguro pasará sobre cada uno de los límites durante su trayecto. De ese modo, se tiene φ(12)=4, ya que solo los brincos de tamaño k=1,5,7 y 11 permiten pasar por todas partes. Uno puede ejercitarse fácilmente para verificar esto con la esfera de un reloj.

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¿Usted ya conoce la indicatriz de Euler ? Aquí explicamos rápidamente cómo aparece en el rompecabezas.

Interpretando los 2N extremos de las semi-circunferencias dibujadas sobre una de las dos semi-esferas como vértices de un polígono regular de 2N lados, se ve que cada semi-esfera con sus N semi-circunferencias representa una reflexión respecto a una recta que pasa por los puntos medios de aristas opuestas.

La composición de esas dos reflexiones es entonces una rotación de ángulo 2 k pi/N, y la curva final es conexa si y solamente si esta rotación engendra un grupo cíclico de orden N. De ahí la aparición de la indicatriz de Euler de N.

La cuerda más larga que se puede aplicar sobre una esfera

Hechas las presentaciones con la pelota con N paralelos, podemos ahora mencionar el artículo de dos matemáticos contemporáneos [4]. No es tan habitual encontrar artículos de investigación actuales que uno pueda explicar con palabras simples, ¡así que no nos privemos de esto ! Los dos investigadores están interesados en las formas de enrollar una cuerda alrededor de una esfera. Más precisamente, se trata de encontrar la cuerda cerrada [5] más larga que uno pueda aplicar sobre una esfera. Hay que imaginar que las cuerdas en cuestión nos son dadas con una sección circular de espesor constante, y que ellas son suficientemente flexibles para poder realizar semi-vueltas tan ceñidas como uno desee. La única verdadera restricción es que la cuerda no se despegue nunca de la esfera. Por lo tanto, no pasa nunca sobre sí misma.

La primera comprobación de los dos autores es que, siguiendo las líneas de la pelota de tenis con N paralelos, se llega a veces a cubrir completamente la esfera, es decir, sin que haya lugar de la esfera que se vea detrás de la cuerda. Este resultado se obtiene ajustando correctamente el espesor de la cuerda en relación al tamaño de la esfera, y procurando que los puntos de contacto entre cuerda y esfera sigan una de las trayectorias cerradas presentadas al inicio. La longitud de la cuerda es, entonces, excepto algunas precisiones [6], igual a la superficie de la esfera dividida por el espesor de esta cuerda. Esta comprobación, igualmente válida para toda otra cuerda, demuestra que no se puede aplicar sobre la misma esfera una cuerda que tenga a la vez la misma anchura y mayor longitud.

La parte más interesante del trabajo de von der Mosel y Gerlach viene ahora : si una cuerda llega a recubrir completamente la esfera, esta se desenrrolla de hecho exactamente de la manera descrita antes :

  • Por una parte, el espesor de la cuerda corresponde forzosamente a aquella utilizada en una de las pelotas de tenis con múltiples paralelos (digamos N paralelos).
  • Por otra parte, el circuito seguido es exactamente uno de aquellos (de número φ(N)) proyectados para la pelota en cuestión. ¡Uno tiene por supuesto el derecho de reorientar la pelota como desee !

Se puede presentar esta parte del teorema de modo un poco diferente, con tiras de cáscaras de patatas (o de naranja) en lugar de cuerdas : si usted tiene una patata esférica (¡ !) de 24 cm de circunferencia y desea pelarla con un solo movimiento, terminando en el lugar donde usted comenzó el trabajo, solo será posible para tiras de cáscara cuya longitud sea 24/2=12cm, 24/4=6cm, 24/6=4cm, 24/8=3cm... La lista es infinita, pero solo los espesores de esta secuencia de números funcionan. A la inversa, si el ancho de sus cáscaras es de 2cm y usted desea pelar patatas (¡esféricas !) con un solo movimiento y terminando en el lugar donde comenzó, será posible solo con patatas de cincunferencia 2x2=4cm, 2x4=8cm, 2x6=12cm, 2x8=16cm o cuya circunferencia figure en esta serie infinita de números.

Colorear una esfera con una mina sin espesor... ¡Peano lo hizo !

No nos resistimos a las ganas de mencionar un resultado fascinante, y de ahí en adelante clásico, que se debe a los matemáticos Peano y Hilbert [7]. Se trata sin embargo de un teorema puramente matemático, que pide prudencia si se desea formularlo con palabras de la vida diaria. ¡Tratemos ! Con un cordel sin espesor (¡una curva matemática ideal !) de longitud infinita (¡eso no existe !) es posible recubrir toda la esfera (¡permitiéndose sin embargo pasar muchas veces por el mismo lugar !). Es un poco como si uno pudiera colorear enteramente una esfera con un lápiz de mina sin espesor. Incluso si tal lápiz sin espesor existiera, la mano no alcanzaría a trazar esta línea, por mucho que haga vueltas... ¡pero la mente humana logra describirla ! [8] Considerando las curvas sobre la pelota de tenis cuando el número de paralelos se vuelve muy grande, se obtiene en efecto curvas cada vez más largas y que recubren casi toda la esfera, pero no hay curva límite después de esas curvas.

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El trazado originalmente hecho sobre un pañuelo cuadrado puede ser aplicado sobre una esfera. Si el cuadrado está completamente ’’coloreado’’, entonces la esfera también lo estará.

La situación es diferente en la construcción de Hilbert de la curva de Peano, ya que las curvas que están en juego se deducen unas de otras por complicación, efectuando giros cada vez más ceñidos y permitiendo de ese modo definir una curva límite, que pasará por todas partes. Sobre la figura se ha representado así las cuatro primeras aproximaciones (en violeta, verde, azul y luego rojo) de una curva coloreando un pañuelo, así como en la parte derecha de la imagen se ha ilustrado el hecho de que se puede ’’sujetar’’ la curva sobre la esfera con ayuda de ese pañuelo.

Post-scriptum :

Agradezco vivamente a Roland Bacher, Pierre Monmarché y a Serma por sus atentas relecturas y sus pertinentes sugerencias.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1De hecho, no es tan simple como se dice en este artículo. Sobre este tema, y más en general sobre el asunto de las líneas sobre pelotas y balones deportivos, se puede leer este artículo de Serge Cantat en este mismo sitio.

[2Pequeña adivinanza : partiendo del cuadrado inicial ABB’A’ y haciendo avanzar a la misma velocidad los cuatro puntos, cada uno sobre uno de los caminos circulares, se consigue formar un tetraedro regular. ¿En qué ángulo hay que avanzar sobre los arcos de circunferencia para obtener esta figura ? (Indicaciones : (1) Para ayudarse uno puede tomar un dado y encontrar el circuito de pelotas de tenis sobre el contorno de cuatro caras del dado. (2) Con 4 de los 8 ’’vértices’’ de un dado se puede formar un tetraedro regular. Respuesta : arctan(sqrt(2/3)), o sea, cerca de 39°)

[3¡Note que la fórmula ’’funciona’’ para la pelota de tenis y el rompecabezas Orb-it !

[4Heiko von der Mosel y Henryk Gerlach On sphere-filling ropes. Amer. Math. Monthly 118 (2011), no. 10 es un artículo de presentación y Heiko von der Mosel y Henryk Gerlach : What are the longest ropes on the unit sphere ? Arch. Ration. Mech. Anal. 201 (2011), no. 1, 303–342. es el artículo de investigación original.

[5Es decir sin puntas, como un collar.

[6Una de esas precisiones : al estar la cuerda posada sobre la esfera, los puntos de contacto de los pedazos de cuerda están entre sí ’’encima de la esfera’’, a una distancia del centro inferior de los dos radios, el de la esfera y el de la cuerda. Sin embargo, notamos que pese a que la cuerda recubre más superficie al exterior de las vueltas que dentro de ellas, esos efectos contrarios se compensan, si bien el área recubierta es verdaderamente proporcional a la longitud.

[7El artículo de Peano, en francés, utiliza la escritura de un número en base 3. Fue escrito en 1890, mientras que el de Hilbert, que data de 1891, propone una interpretación geométrica.

[8Acerca del tema de las curvas de relleno se puede consultar el artículo de Hamza Khelif en este mismo sitio.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Viaje sobre una pelota de tenis» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Gracias a Jaap Scherphuis, webmaster del sitio Jaaps que gentilmente ha aceptado tomar las fotos del « Orb-it ». Gracias también a Henrik Gerlach por haber puesto su video a disposición gracias a una licencia adaptada

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