¿a+b=c?

El 6 septiembre 2012  - Escrito por  Pierre Colmez
El 2 diciembre 2019  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Si $A,B,C$ son polinomios con coeficientes complejos, no constantes, sin ceros comunes, tales que $A+B=C$, entonces el número de ceros del producto $ABC$ es estrictamente más grande que los grados de los polinomios $A$, $B$ y $C$.

Pese a su simplicidad [1], ese resultado fue señalado recién en 1980. De ahí se deduce fácilmente el teorema de Fermat para los polinomios: si $n\geq 3$, y si $P, Q, R$ son polinomios con coeficientes complejos, sin ceros comunes, tales que $P^n+Q^n=R^n$, entonces $P$, $Q$ y $R$ son constantes.

Se dispone de un diccionario heurístico, que vincula polinomios y números enteros, una valiosa guía para tratar de adivinar lo que puede ser verdadero en teoría de números. En ese diccionario, el grado de un polinomio $P$ se convierte en $\log |n|$, si $n$ es un entero no nulo, y los ceros de $P$ se convierten en los números primos que dividen $n$. El enunciado de arriba se transforma en que para todo [2] $\epsilon>0$, existe $C(\epsilon)>0$ tal que, para un triplete de enteros $a,b,c$ sin factores primos tales que $a+b=c$, se debe cumplir:
\[\max(\log|a|,\log|b|,\log |c|)\leq (1+\epsilon)\log ({\rm rad}(abc))+C(\epsilon),\]
donde ${\rm rad}(abc)$ designa al producto de los divisores primos del producto $abc$. Este enunciado, conocido bajo el nombre de ’’conjetura $abc$’’, fue formulado por Masser y Oesterlé en 1985, partiendo de un enunciado más técnico de Szpiro. Si se pudiese hacer explícita la constante $C(10)$, por ejemplo, se deduciría fácilmente una demostración del teorema de Fermat, y del montón de otros enunciados actualmente fuera de alcance. Esto parecía totalmente inalcanzable (para que vea, la ecuación $a+b=c$ es más sutil de lo que uno podía pensar...), pero en 2012 Shinichi Mochizuki recientemente publicó un artículo en su pagina personal
(es el último de la lista) que contiene el anuncio de una prueba.

¡La comunidad matemática vivió excitada por un buen tiempo!

El fruto de 12 años de esfuerzos solitarios de Mochizuki parecía serio y fructífero.

Lamentablemente, en 2019, casi nadie cree que haya llegado a la demostración completa. Al parecer, tendremos «conjetura a,b,c» para rato...

Notas

[1La demostración constituye un buen ejercicio de inicios de una carrera matemáticas; ella consiste en mirar los ceros de los polinomios $A'B-AB'$, $A'C-AC'$ y $B'C-BC'$, donde $P'$ designa la derivada del polinomio $P$.

[2El diccionario no es perfecto, ya que los enteros son claramente más complicados que los polinomios (en especial, no se les puede derivar). Eso es lo que explica la presencia de ese $\epsilon$: en el caso de los polinomios se puede tomar $\epsilon=0$ y $C(\epsilon)=0$.

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿a+b=c?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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