Autour du mot de Kolakoski

π=3,141592653589793… Voilà un nombre bien familier quand on fait un peu de mathématiques ! Et pourtant, même si on dispose de nombreux outils pour calculer une valeur approchée de π aussi précise qu’on le souhaite, les décimales de π recèlent encore bien des mystères. Par exemple, on ne sait pas dire si tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent aussi souvent les uns que les autres, même si tout laisse penser que c’est le cas.

Dans cet article, nous allons nous intéresser à une autre suite de chiffres, la suite de Kolakoski :

K=12211212212211211221211212211…

Cette suite de chiffres est encore plus facile à écrire que les décimales de π, puisqu’on verra qu’on peut déterminer très simplement les chiffres successifs qui la composent, sans faire le moindre calcul. Là aussi, on peut par exemple se demander si les chiffres 1 et 2 apparaissent avec la même fréquence dans cette suite. À nouveau, cette question n’a pas trouvé de réponse à l’heure actuelle, malgré les outils développés dans ce champ de recherche, qui relève de ce qu’on appelle la combinatoire des mots.

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