ℯ-day – 2/7/18

C’est aujourd’hui l’\(\mathrm{e}\)-day, le jour de \(\mathrm{e}\). Cette constante mathématique, définie comme la somme infinie

\[\mathrm{e}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\cdots=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!},\]

est aussi par définition l’exponentielle de \(1\). Elle vaut environ \(2,\!718\), ce qui correspond à la date d’aujourd’hui écrite à l’anglaise: 2/7/18 (avec le mois avant le jour).

À cette occasion, l’équipe d’Imaginary vous propose un e-gadget qui porte bien son nom, pour chercher votre date de naissance dans les chiffres de \(\mathrm{e}\) et plus…

Constante omniprésente en mathématiques (comme l’est la fonction exponentielle), on sait qu’elle est irrationnelle grâce à Leonhard Euler depuis 1739 et même transcendante grâce à Charles Hermite depuis 1873.

Pour célébrer \(\mathrm{e}\), voici quelques formules où ce nombre intervient. Pour commencer, une expression élégante d’où l’on peut déduire l’irrationalité :

\[\mathrm{e}=2+\frac1{1+\frac1{2+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{4+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{6+\ldots}}}}}}}}.\]
Remarquer la progression dans la fraction: un \(2\), puis deux \(1\), puis un \(4\), puis deux \(1\), puis un \(6\), puis deux \(1\), etc. On note en général:
\[\mathrm{e}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots].\]

On peut également la relier à la star \(\pi\). Voici une formule attribuée à Euler, que certains sondages présentent comme la plus belle de toutes:
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1\,;\]
C’est qu’elle est consensuelle, assez élémentaire sans être triviale, et elle relie \(\pi\), que l’on voit partout mais que l’on ne sait pas calculer; \(-1\), un nombre qui a longtemps défié l’imagination de l’humanité; \(\mathrm{i}\), un nombre inconcevable; et enfin \(\mathrm{e}\), bien connu dans certains cercles mais plus discret que les précédents.

Citons également cette formule approximative remarquable:
\[\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}}\simeq 640\,320^3+744-7,\!4\cdot10^{-13}.\]

Devinette: sachant que \(\mathrm{e}\) et \(\pi\) sont transcendants, saurez-vous montrer que \(\mathrm{e}+\pi\) ou \(\mathrm{e}\pi\) l’est?

Pourquoi un titre anglophone, protesterez-vous? C’est que le jour de \(\mathrm{e}\) francophone sera célébré le 2 juillet 18, bien sûr! Et n’oubliez pas: préparez-vous aussi pour le jour de \(\varphi\)!