Jade et Maëlle jouent ensemble.
Au départ, Jade choisit le nombre \(A=2\) et Maëlle le nombre \(B=1\). Maëlle effectue le calcul \(108B-83A\) et Jade \(82B-63A\).
Le résultat de leur calcul devient le nouveau nombre de chacune d’elles.Elle peuvent alors recommencer avec les nouveaux nombres A et B.
Combien de chiffres (décimaux) faudra-t-il pour écrire le nombre de Maëlle après avoir répéter 1000 fois ces calculs ?
Solution
\(M=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 83}&{108}\\
{ – 63}&{82}
\end{array}} \right]\)
s’écrit
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c} }
4&9\\
3&7
\end{array}} \right] \cdot
\left[ {\begin{array}{*{20}{c} }
{- 2}&0\\
0&1
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4}&{9}\\
{3}&{7}
\end{array}} \right]^{-1}\) où le \(\cdot\) désigne le produit entre deux matrices.
D’où, \({M^{10}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
4&9 \\
3&7
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1024}&0 \\
0&1
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
7&{ – 9} \\
{ – 3}&4
\end{array}} \right]\)
Donc, après milles répétitions, les nombres de Jade et de Maëlle seront \(20 \cdot 2^{1000} +9\) et \(15 \cdot 2^{1000} – 16\). Le nombre de Maëlle comportera donc 301 chiffres décimaux (autant que \(2^{1001}\)).
ÉCRIT PAR
Sébastien Kernivinen
Enseignant en mathématiques - CNED, Rennes.
