
Ce billet est consacré à quelques remarques que j’ai eu l’occasion de faire à propos de la notion de produit vectoriel. Il est écrit pour les lecteurs de IdM qui connaissent un peu d’algèbre.
J’ai toujours été fasciné par le produit vectoriel. Il a de belles propriétés qui étonnent lorsqu’on les rencontre pour la première fois car elles sont fort différentes de celles des opérations arithmétiques auxquelles on est habitué.
Dans
En plus d’être bilinéaire et antisymétrique, il vérifie une identité remarquable, la formule du double produit vectoriel:
dans laquelle le «point centré» représente le produit scalaire :
Ceci s’étend en fait à tout espace vectoriel réel
ce qui revient à dire qu’on calcule ce produit dans de telles bases de la même manière que le produit vectoriel de
Tous ces produits vérifient l’identité du double produit vectoriel, à condition de remplacer dans la formulation originale de celle-ci le produit scalaire de
Cette formule, qui a des conséquences importantes, m’a toujours intrigué et je me suis demandé jusqu’à quel point elle est caractéristique autrement dit, si les produits construits ci-dessus sont les seuls à la vérifier.
Formellement, on aimerait savoir quels produits antisymétriques
Il s’avère qu’on peut classifier tous ces triples
Ce fut pour moi une réelle surprise : le traditionnel produit vectoriel avait donc un frère jumeau dont j’ignorais l’existence jusqu’il y a peu. J’en ai par la suite trouvé trace dans un tout autre contexte, dans le beau petit livre Hyperbolic Geometry}de Birger Iversen 2London Math. Soc., Students Texts 25, 1992, Cambridge University Press.. Je vais vous le présenter dans un instant.
Une conséquence de l’identité du double produit vectoriel, assez simple à obtenir, est que
(on l’établit en appliquant l’identité du double produit à chacun de ses termes). Ainsi, compte tenu de l’antisymétrie de
Beaucoup d’algèbres de Lie sont des sous-espaces de l’ensemble des matrices carrées, réelles ou complexes. Leur produit, appelé crochet de Lie , est alors le commutateur des matrices
Nos deux jumeaux sont isomorphes à des algèbres de Lie de matrices bien connues.
Les produits vectoriels «classiques»
Ce n’est pas bien difficile à vérifier ce que, conformément à l’esprit de ce billet, nous ne ferons pas.
Le «jumeau» est quant à lui isomorphe à l’algèbre
et
La base naturelle
vérifie la table de multiplication
Elle n’est pas «orthonormée» pour
l’est en ce sens que dans celle-ci, en effet,
De plus
Ces relations subsistent dans toute base orthonormée de même orientation que
Notes
- [1]Elle est caractérisée par sa table de multiplication. Dans toute base orthonormée directe
de , celle-ci se résume à
ce qui revient à dire qu’on calcule ce produit dans de telles bases de la même manière que le produit vectoriel de . - [2]London Math. Soc., Students Texts 25, 1992, Cambridge University Press.
- [3]De manière précise, on obtient un isomorphisme explicite en faisant correspondre à
la matrice représentant l’application dans une base orthonormée directe de .
Il est possible d’utiliser des commandes LaTeX pour rédiger des commentaires — mais nous ne recommandons pas d’en abuser ! Les formules mathématiques doivent être composées avec les balises .
Par exemple, on pourra écrire que sont les deux solutions complexes de l’équation .
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