À propos des produits vectoriels

Ce billet est consacré à quelques remarques que j’ai eu l’occasion de faire à propos de la notion de produit vectoriel. Il est écrit pour les lecteurs de IdM qui connaissent un peu d’algèbre.

J’ai toujours été fasciné par le produit vectoriel. Il a de belles propriétés qui étonnent lorsqu’on les rencontre pour la première fois car elles sont fort différentes de celles des opérations arithmétiques auxquelles on est habitué.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, le produit de $a=(a_1,a_2,a_3)$ et $b=(b_1,b_2,b_3)$ est
$$a\wedge b=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

En plus d’être bilinéaire et antisymétrique, il vérifie une identité remarquable, la formule du double produit vectoriel:
$$a\wedge (b\wedge c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c$$

dans laquelle le «point centré» représente le produit scalaire :
$$a\cdot b=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

Ceci s’étend en fait à tout espace vectoriel réel $E$ de dimension 3 muni d’un produit scalaire $g$ et d’une orientation. Avec ces données, on peut en effet doter $E$ d’une multiplication ayant les mêmes propriétés que le produit vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$. On la note d’ailleurs avec le même symbole, le «wedge» $\wedge$, et on l’appelle aussi produit vectoriel ¹Elle est caractérisée par sa table de multiplication. Dans toute base orthonormée directe $({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3)$ de $E$, celle-ci se résume à
$${\mathbf{e}}_1\wedge {\mathbf{e}}_2={\mathbf{e}}_3,{\mathbf{e}}_2\wedge {\mathbf{e}}_3={\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_3\wedge {\mathbf{e}}_2={\mathbf{e}}_1$$
ce qui revient à dire qu’on calcule ce produit dans de telles bases de la même manière que le produit vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$..

Tous ces produits vérifient l’identité du double produit vectoriel, à condition de remplacer dans la formulation originale de celle-ci le produit scalaire de ${\mathbb{R}}^3$ par $g$.

Cette formule, qui a des conséquences importantes, m’a toujours intrigué et je me suis demandé jusqu’à quel point elle est caractéristique autrement dit, si les produits construits ci-dessus sont les seuls à la vérifier.

Formellement, on aimerait savoir quels produits antisymétriques $\tau$ définis sur un espace vectoriel $V$, réel et de dimension finie $n>1$, et quelles formes bilinéaires $\beta$ sur $V$ peuvent tenir les rôles du produit vectoriel $\wedge$ et du produit scalaire $g$ et, en particulier, vérifier l’identité :

$$\tau (u,\tau (v,w))=\beta (u,w)v-\beta (u,v)w$$

Il s’avère qu’on peut classifier tous ces triples $(V,\tau ,\beta )$. Je n’ai guère la place ici pour expliquer le résultat complet – ce n’est d’ailleurs peut-être pas l’endroit pour le faire – et je me bornerai donc à décrire les solutions pour lesquelles $\beta$ est non dégénéré. Dans ce cas, $n$ vaut nécessairement 3 et, à isomorphisme près, il y a exactement deux triples répondant aux conditions imposées.

Ce fut pour moi une réelle surprise : le traditionnel produit vectoriel avait donc un frère jumeau dont j’ignorais l’existence jusqu’il y a peu. J’en ai par la suite trouvé trace dans un tout autre contexte, dans le beau petit livre Hyperbolic Geometry}de Birger Iversen ²London Math. Soc., Students Texts 25, 1992, Cambridge University Press.. Je vais vous le présenter dans un instant.

Une conséquence de l’identité du double produit vectoriel, assez simple à obtenir, est que $\beta$ est complètement déterminé par $\tau$ et, en particulier, qu’il est symétrique. Ceci implique à son tour que $\tau$ vérifie une autre identité remarquable, appelée identité de Jacobi :

$$\tau (u,\tau (v,w))+\tau (v,\tau (w,u))+\tau (w,\tau (u,v))=0$$

(on l’établit en appliquant l’identité du double produit à chacun de ses termes). Ainsi, compte tenu de l’antisymétrie de $\tau$, $V$, muni de la multiplication $\tau$, est ce qu’on appelle une algèbre de Lie .

Beaucoup d’algèbres de Lie sont des sous-espaces de l’ensemble des matrices carrées, réelles ou complexes. Leur produit, appelé crochet de Lie , est alors le commutateur des matrices

$$(A,B)\mapsto [A,B]=AB-BA$$

Nos deux jumeaux sont isomorphes à des algèbres de Lie de matrices bien connues.

Les produits vectoriels «classiques» $(E,\wedge )$, ceux dont j’ai parlé au début de ce billet, sont isomorphes à l’algèbre des matrices carrées de taille $3$ à coefficients réels et antisymétriques, qu’on note usuellement $so(3)$ ³De manière précise, on obtient un isomorphisme explicite en faisant correspondre à $a\in E$ la matrice représentant l’application $x\mapsto a\wedge x$ dans une base orthonormée directe de $E$. :

$$\left(\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right)$$

Ce n’est pas bien difficile à vérifier ce que, conformément à l’esprit de ce billet, nous ne ferons pas.

Le «jumeau» est quant à lui isomorphe à l’algèbre $sl(2,\mathbb{R})$ des matrices réelles de dimension $2$ et de trace nulle :
$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$$
et $\beta$ est une forme bilinéaire de signature $(+,-,-)$.

La base naturelle
$$e=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),h=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),f=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$
vérifie la table de multiplication
$$[h,e]=2e,[e,f]=h,[h,f]=-2f$$
Elle n’est pas «orthonormée» pour $\beta$ mais
$$e_1=\frac{1}{2}(f-e),e_2=\frac{1}{2}(f+e),e_3=\frac{1}{2}h$$
l’est en ce sens que dans celle-ci, en effet,
$$\beta (a,b)=a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3$$
De plus

$$[e_1,e_2]=-e_3,[e_2,e_3]=e_1,[e_3,e_1]=-e_2$$

Ces relations subsistent dans toute base orthonormée de même orientation que $(e,h,f)$ et définissent le personnage à propos duquel je souhaitais vous dire ces quelques mots.