À propos des produits vectoriels

Écrit par Pierre Lecomte
Publié le 9 octobre 2010
Version espagnole

Ce billet est consacré à quelques remarques que j’ai eu l’occasion de faire à propos de la notion de produit vectoriel. Il est écrit pour les lecteurs de IdM qui connaissent un peu d’algèbre.

J’ai toujours été fasciné par le produit vectoriel. Il a de belles propriétés qui étonnent lorsqu’on les rencontre pour la première fois car elles sont fort différentes de celles des opérations arithmétiques auxquelles on est habitué.

Dans R3, le produit de a=(a1,a2,a3) et b=(b1,b2,b3) est
ab=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)

En plus d’être bilinéaire et antisymétrique, il vérifie une identité remarquable, la formule du double produit vectoriel:
a(bc)=(ac)b(ab)c

dans laquelle le «point centré» représente le produit scalaire :
ab=a1b1+a2b2+a3b3

Ceci s’étend en fait à tout espace vectoriel réel E de dimension 3 muni d’un produit scalaire g et d’une orientation. Avec ces données, on peut en effet doter E d’une multiplication ayant les mêmes propriétés que le produit vectoriel de R3. On la note d’ailleurs avec le même symbole, le «wedge» , et on l’appelle aussi produit vectoriel 1Elle est caractérisée par sa table de multiplication. Dans toute base orthonormée directe (e1,e2,e3) de E, celle-ci se résume à
e1e2=e3,e2e3=e1,e3e2=e1
ce qui revient à dire qu’on calcule ce produit dans de telles bases de la même manière que le produit vectoriel de R3.
.

Tous ces produits vérifient l’identité du double produit vectoriel, à condition de remplacer dans la formulation originale de celle-ci le produit scalaire de R3 par g.

Cette formule, qui a des conséquences importantes, m’a toujours intrigué et je me suis demandé jusqu’à quel point elle est caractéristique autrement dit, si les produits construits ci-dessus sont les seuls à la vérifier.

Formellement, on aimerait savoir quels produits antisymétriques τ définis sur un espace vectoriel V, réel et de dimension finie n>1, et quelles formes bilinéaires β sur V peuvent tenir les rôles du produit vectoriel et du produit scalaire g et, en particulier, vérifier l’identité :

τ(u,τ(v,w))=β(u,w)vβ(u,v)w

Il s’avère qu’on peut classifier tous ces triples (V,τ,β). Je n’ai guère la place ici pour expliquer le résultat complet – ce n’est d’ailleurs peut-être pas l’endroit pour le faire – et je me bornerai donc à décrire les solutions pour lesquelles β est non dégénéré. Dans ce cas, n vaut nécessairement 3 et, à isomorphisme près, il y a exactement deux triples répondant aux conditions imposées.

Ce fut pour moi une réelle surprise : le traditionnel produit vectoriel avait donc un frère jumeau dont j’ignorais l’existence jusqu’il y a peu. J’en ai par la suite trouvé trace dans un tout autre contexte, dans le beau petit livre Hyperbolic Geometry}de Birger Iversen 2London Math. Soc., Students Texts 25, 1992, Cambridge University Press.. Je vais vous le présenter dans un instant.

Une conséquence de l’identité du double produit vectoriel, assez simple à obtenir, est que β est complètement déterminé par τ et, en particulier, qu’il est symétrique. Ceci implique à son tour que τ vérifie une autre identité remarquable, appelée identité de Jacobi :

τ(u,τ(v,w))+τ(v,τ(w,u))+τ(w,τ(u,v))=0

(on l’établit en appliquant l’identité du double produit à chacun de ses termes). Ainsi, compte tenu de l’antisymétrie de τ, V, muni de la multiplication τ, est ce qu’on appelle une algèbre de Lie .

Beaucoup d’algèbres de Lie sont des sous-espaces de l’ensemble des matrices carrées, réelles ou complexes. Leur produit, appelé crochet de Lie , est alors le commutateur des matrices

(A,B)[A,B]=ABBA

Nos deux jumeaux sont isomorphes à des algèbres de Lie de matrices bien connues.

Les produits vectoriels «classiques» (E,), ceux dont j’ai parlé au début de ce billet, sont isomorphes à l’algèbre des matrices carrées de taille 3 à coefficients réels et antisymétriques, qu’on note usuellement so(3) 3De manière précise, on obtient un isomorphisme explicite en faisant correspondre à aE la matrice représentant l’application xax dans une base orthonormée directe de E. :

(0a3a2a30a1a2a10)

Ce n’est pas bien difficile à vérifier ce que, conformément à l’esprit de ce billet, nous ne ferons pas.

Le «jumeau» est quant à lui isomorphe à l’algèbre sl(2,R) des matrices réelles de dimension 2 et de trace nulle :
(abca)
et β est une forme bilinéaire de signature (+,,).

La base naturelle
e=(0100),h=(1001),f=(0010)
vérifie la table de multiplication
[h,e]=2e,[e,f]=h,[h,f]=2f
Elle n’est pas «orthonormée» pour β mais
e1=12(fe),e2=12(f+e),e3=12h
l’est en ce sens que dans celle-ci, en effet,
β(a,b)=a1b1a2b2a3b3
De plus

[e1,e2]=e3,[e2,e3]=e1,[e3,e1]=e2

Ces relations subsistent dans toute base orthonormée de même orientation que (e,h,f) et définissent le personnage à propos duquel je souhaitais vous dire ces quelques mots.

Notes

  • [1]Elle est caractérisée par sa table de multiplication. Dans toute base orthonormée directe (e1,e2,e3) de E, celle-ci se résume à
    e1e2=e3,e2e3=e1,e3e2=e1
    ce qui revient à dire qu’on calcule ce produit dans de telles bases de la même manière que le produit vectoriel de R3.
  • [2]London Math. Soc., Students Texts 25, 1992, Cambridge University Press.
  • [3]De manière précise, on obtient un isomorphisme explicite en faisant correspondre à aE la matrice représentant l’application xax dans une base orthonormée directe de E.

ÉCRIT PAR

Pierre Lecomte

Professeur - Département de mathématiques de l'Université de Liège (Belgique)

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Par exemple, on pourra écrire que sont les deux solutions complexes de l’équation .

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