Aléatoire ou arbitraire ?

Un responsable gouvernemental français a récemment associé contrôles aléatoires et discriminations. Le « hasard aveugle » n’est-il pas au contraire une garantie d’égalité ? Notre secrétaire d’Etat confondrait-il aléatoire et arbitraire ? En mathématique, ces deux notions s’opposent et cette distinction joue un rôle important.

Considérons un nombre aléatoire ⁷ Il faudrait préciser : un nombre tiré au hasard, uniformément, entre \(0\) et \(1\). On peut caractériser un tel tirage en disant que la probabilité de tomber entre deux nombres \(a\) et \(b\) (avec \(0≤a≤b≤1\)) est \(b−a\) ou imaginer que l’on choisit chaque décimale parmi les dix chiffres possibles de façon équiprobable, ces choix étant indépendants. Ce n’est bien sûr pas la seule notion utile de nombre aléatoire : on pourrait définir un nombre aléatoire parmi \(1,2,3,4,5,6\) par un lancer de dé.. Celui-ci peut prendre une valeur arbitraire \(x\) (pourquoi pas \(0,5\) ?). Toutefois on observe, avec une probabilité de 100%, des régularités qui font défaut aux nombres arbitraires, par exemple :

1. \(x\) est irrationnel (ce n’est pas le quotient de deux entiers comme \(1/2\)) ;

2. toute suite finie de chiffres, par exemple la date de naissance de Gauss (30041777) ou encore … la vôtre ! apparaît dans le développement décimal de \(x\).

La méthode probabiliste d’Erdös ⁸Des livres comme celui-ci sont consacrés à cette méthode toujours féconde. ⁹Ajouté le 6/9/2015 : Je remercie Patrick Popescu-Pampu de m’avoir rappelé l’article Probabiliser de Nils Berglund consacré précisément à ce sujet.exploite cette idée pour construire des objets pourvus de régularités inattendues que ce soient des graphes, des algorithmes ou des groupes (voir ici aussi).

En cryptographie ou en calcul scientifique, certains problèmes exigent de faire des choix aléatoires (et non arbitraires). C’est le cas aussi en théorie des jeux où la stratégie optimale pour jouer à pierre-feuille-ciseaux repose sur des choix aléatoires garantissant leur imprévisibilité.

La production d’aléa est donc importante mais elle s’avère plutôt délicate même en utilisant des appareils spécifiques ¹⁰On pourra lire la section « Production of the random numbers » ici.. L’imitation du hasard par les ordinateurs est un problème subtil ¹¹L’ouvrage fondamental de Donald Knuth, The Art of Computer Programming, y consacre 250 pages.. L’esprit humain quant à lui semble éprouver les plus grandes difficultés à produire du hasard ¹²Voir cette page ou ce rapport pour la RAND corp. de… John Milnor (médaille Fields en 1962 et prix Abel en 2011, pour des travaux tout différents)..

Malgré les clarifications ultérieures, je n’ai toujours pas compris si le secrétaire d’État voulait encourager les contrôles arbitraires (en raison de sa confiance en l’intuition des contrôleurs) ou bien les contrôles aléatoires (pour garantir équité et imprévisibilité). Le Brésil et l’Inde pratiquent des contrôles douaniers aléatoires dont ils laissent la décision à des dispositifs comme ces boutons aussi envisagés par les douaniers américains.