Andrew Wiles : ce que l’on ressent lorsqu’on « fait des maths »

Traduction de l’article de +Plus Magazine

En mathématiques, Andrew Wiles est une légende. Il est devenu célèbre pour sa preuve du grand théorème de Fermat, un problème qui a nargué les mathématiciens pendant des siècles. Dans cet entretien, Andrew Wiles raconte ce que l’on ressent à prouver un résultat si fondamental et, plus généralement, à faire des maths.

Cet article fait suite à une conférence de presse donnée par Andrew Wiles au Forum des Lauréats Heidelberg en septembre 2016. Nous voudrions remercier FLH pour leur permission, les journalistes pour leurs questions pertinentes et surtout Andrew Wiles pour ses réponses !

Traduction de l’article de +Plus Magazine par Julien Keller.

Qu’avez-vous ressenti en prouvant le dernier Théorème de Fermat après en avoir cherché la preuve pendant si longtemps ?

Ce fut tout simplement fantastique. Le genre de moment pour lequel on vit, qui apporte illumination et exaltation. C’est en fait difficile de revenir à un état normal et de faire quoi que ce soit après. J’étais sur un petit nuage pendant un ou deux jours. Il m’a été un peu difficile de reprendre mon travail, de revenir à des problèmes normaux.

Pensez-vous que la preuve du dernier Théorème de Fermat a été le début plutôt que la fin de quelque chose ?

Eh bien, cela a été les deux. Ce fut l’aboutissement pour ce problème classique, problème qui m’a conduit, enfant, à faire des mathématiques. Et cette touche finale a marqué la fin de ma vision romantique des mathématiques héritée de mon enfance. D’un autre côté, cela a ouvert une petite porte dans le programme de Langlands et fourni un nouvel angle d’attaque pour affronter ce programme. Ouvrir cette porte a permis à de nombreuses personnes d’avancer et c’est aussi ce que j’ai essayé de faire.

Pourquoi avez-vous travaillé en secret ?

En fait, je n’ai pas commencé à travailler en secret. Je l’ai dit à une ou deux personnes et j’ai réalisé que je ne pouvais le dire à personne d’autre : cela devenait stressant. Les gens voulaient savoir en permanence ce que je faisais, si je faisais des progrès, etc. Je suis certain que les gens qui travaillent sur l’hypothèse de Riemann [un autre problème célèbre encore ouvert], et je suis persuadé qu’il y a effectivement des gens dans ce cas, ne disent pas au monde entier que c’est précisément ce qu’ils sont en train de faire. En effet, quand vous avez une idée, vous cherchez juste à la faire marcher. Bien sûr, la plupart du temps, vous n’avez pas d’idée….

La présentation orale de votre preuve pour la première fois (dans une série de conférences à Cambridge) a-t-elle été une expérience comparable à la découverte de cette preuve ?

Non, la découverte a été plus excitante. J’avais un petit peu l’impression de la laisser s’échapper. Ce fut une lutte intérieure. C’était une sorte d’amie pour laquelle j’avais des sentiments ambigus, et qui m’a parfois maltraité [rires]. Mais en la révélant au monde, j’ai eu quelques petits regrets.

Vous êtes amené à intervenir devant des publics inhabituels pour un mathématicien professionnel. Que mettez en avant lorsque vous parlez à un large public ?

e pense que beaucoup de gens ont été dégoûtés jeunes des mathématiques. En fait, ce que l’on constate c’est que les enfants ont vraiment du plaisir à faire des mathématiques jusqu’au jour où ils ont une expérience négative. Une mauvaise expérience vient probablement d’un mauvais enseignement ou d’un environnement où les gens ont peur des mathématiques. Mais la plupart des enfants que j’ai rencontrés trouvent les mathématiques très excitantes. Les enfants naissent curieux, et aiment explorer le monde autour d’eux. J’essaye de leur expliquer que les gens qui font vraiment des mathématiques éprouvent un réel plaisir, que c’est une chose passionnante.

Maintenant, quand vous faites des mathématiques à l’adolescence ou à l’âge adulte, vous devez affronter le fait de rester bloqué. Beaucoup n’arrivent pas à l’accepter. Certains trouvent cela très stressant. Même les gens qui sont très bons en maths ont du mal à s’y faire et ont un sentiment d’échec. Mais cela fait partie du processus naturel et vous devez l’accepter, apprendre à aimer ce processus. Oui, vous ne comprenez pas quelque chose sur le moment, mais vous savez que plus tard vous comprendrez – c’est une étape obligée.

C’est comme l’entraînement en sport. Si vous voulez courir vite, vous devez vous entraîner. Quand vous voulez faire quelque chose de nouveau, vous devez passer par une période difficile. Il ne faut pas en avoir peur, tout le monde doit passer par là.

Dans un certain sens, ce que je combats le plus est cette idée, que vous trouvez par exemple dans le film Will Hunting, que les maths sont un don et que vous avez ou non ce don. Mais, ce n’est pas du tout l’expérience des mathématiciens. Nous trouvons tous les maths difficiles ; en cela nous ne sommes pas différents de quelqu’un qui se bat avec ses exercices de maths au lycée. C’est vraiment la même chose. Nous sommes juste entraînés à gérer le combat sur une plus grande échelle et nous avons acquis une plus grande résistance intérieure aux revers.

Oui, certaines personnes sont plus brillantes que d’autres, mais je crois vraiment que la plupart des gens peuvent arriver à un bon niveau en maths s’ils sont préparés à gérer ces difficultés psychologiques inhérentes au fait de sécher sur une question.

Que faites-vous quand vous êtes coincé sur une question ?

Il me semble que la recherche en maths consiste à s’imprégner de tous les aspects d’un problème, y réfléchir et tester toutes les techniques utilisées pour ce genre de questions. En général la résolution du problème demande encore autre chose et donc, oui, vous êtes bloqué.

Alors vous devez vous arrêter, laisser votre esprit se reposer un peu et revenir au problème ensuite. D’une manière ou d’une autre, des connexions vont se faire dans votre subconscient et vous allez recommencer peut-être l’après-midi qui suit, ou le lendemain, ou la semaine suivante et parfois cela revient tout seul à votre esprit. Il m’arrive de laisser de côté quelque chose pendant des mois, j’y repense et c’est devenu évident. Je ne peux pas expliquer pourquoi. Mais vous devez avoir confiance que ce phénomène se produira.

Certaines personnes travaillent simultanément sur plusieurs problèmes et basculent d’un projet à un autre quand elles sont bloquées. Cela ne marche pas pour moi. Quand je suis bloqué sur un problème, je n’arrive pas à penser à autre chose. C’est mon côté maniaque ! Certes c’est plus difficile ainsi. Donc, je prends un peu de repos et puis je reviens à mon problème.

Je pense qu’il n’est pas souhaitable d’avoir une trop bonne mémoire si vous êtes mathématicien. Vous devez avoir une mémoire un peu imparfaite parce que vous avez besoin d’oublier la façon dont vous avez abordé votre problème la dernière fois où vous y avez réfléchi. C’est un peu comme l’ADN et l’évolution. Vous avez besoin de faire des petites erreurs par rapport à votre dernière approche, ce qui va vous faire dévier un peu et c’est cela qui va vous permettre de contourner la difficulté.

Si vous vous souveniez de toutes les tentatives précédentes, vous ne les reprendriez pas. Mais ayant une mémoire imparfaite, je vais réessayer approximativement le même raisonnement et alors je vais réaliser qu’il me manquait juste un petit quelque chose.

Quand vous prenez du repos, que faites-vous de votre journée ?

J’aime me promener dans la région d’Oxford. Les alentours d’Oxford sont magnifiques à visiter, avec pleins de beaux jardins dessinés par Capability Brown, à Blenheim House et dans le coin.

Ce sont de très beaux endroits et se balader au milieu de ces paysages créés il y a plusieurs siècles par des gens qui leur ont consacré leur vie, je trouve cela très apaisant.

À quel point la créativité en mathématiques est-elle importante ?

Eh bien, la créativité est l’essence même des mathématiques. Je sais qu’en dehors du monde des mathématiciens, les gens ont des opinions diverses au sujet des maths, se disant « mais tout n’est-il pas déjà connu ? », ou bien « tout ne se déduit-il pas de manière mécanique ? ».

Pas du tout, c’est extrêmement créatif. Nous trouvons des solutions complètement inattendues, que ce soit dans nos raisonnements ou dans nos résultats. Oui, pour communiquer nos découvertes aux autres mathématiciens, nous avons besoin de les rendre très formelles et très logiques. Mais ce n’est pas de cette manière que nous créons, ce n’est pas comme cela que nous réfléchissons. Nous ne sommes pas des automates. Nous essayons de sentir comment les choses doivent s’imbriquer, « ceci est important, je n’ai pas utilisé cela, je dois trouver une nouvelle façon d’interpréter ceci afin de pouvoir le mettre en équation », et ainsi de suite.

Nous nous voyons comme très créatifs. Je pense que c’est un peu frustrant pour nous, mathématiciens, qui pensons en terme de beauté et de créativité, que les autres nous voient plutôt comme des ordinateurs. Ce n’est pas du tout la façon dont nous nous voyons.

C’est un peu comme pour la musique. En un certain sens, la musique peut être écrite avec des nombres. Après tout, ce ne sont que des notes. C’est en haut, en bas, en haut, en bas, et puis vous mettez un rythme. Tout cela pourrait être écrit de manière numérique et, de fait, ça l’est. Mais quand vous écoutez Bach ou Beethoven, ce n’est pas une suite de chiffres, il y a bien autre chose. C’est la même chose pour les mathématiques. Il y a là quelque chose de vraiment très créatif, qui nous rend complètement passionnés.

Quand vous faites des maths, est-ce que vous sentez le moment où les choses commencent à s’harmoniser, à aller dans la bonne direction ?

Oui, tout à fait. Lorsque vous arrivez à ce moment, c’est la différence entre rêver et être éveillé. Tant que tout n’est pas en place il y a souvent cette sensation dans votre crâne que tout est encore trop compliqué. Mais quand tout se met en place ce sentiment disparait et laisse la place à « Ah ! Voila ! C’est ça ! »

Pensez-vous que les mathématiques soient découvertes ou inventées ?

À vrai dire, je ne crois pas connaître de mathématicien qui ne pense pas que les maths soient découvertes. Donc il me semble que nous penchons tous dans la même direction. En un certain sens, peut-être que les preuves sont des inventions, des créations, car elles sont susceptibles de contenir des erreurs et qu’il y a beaucoup de variantes possibles ; mais en ce qui concerne les résultats nous pensons qu’ils sont simplement découverts.

Est-ce une illusion nécessaire ? Pour faire votre travail de mathématicien, avez-vous besoin de croire que vous avez découvert et non inventé ?

Je ne voudrais pas dire que c’est faire preuve de modestie, mais lorsque vous trouvez la solution et que vous réalisez brusquement la beauté de ce paysage, alors vous sentez que cela a toujours été là. Vous n’avez pas le sentiment que ce paysage n’existait pas avant vous. C’est comme si vos yeux s’étaient ouverts.

Qui a créé ce paysage ?

Eh bien, les mathématiciens ne sont pas vraiment des philosophes [rires]. Nous sommes des artistes, nous nous contentons d’apprécier. Il y a des philosophes et des mathématiciens plus proches de la philosophie, ce sont eux qui se posent ce genre de questions, mais nous ne sommes pas tous des Bertrand Russell. Vraiment pas [rires]. Ce que nous voulons, c’est faire des maths. Nous en sommes les artistes ouvriers.