Défi de la semaine
Combien peut-on former de triangles rectangles dont les longueurs des côtés de l’angle droit sont entières et dont la longueur de l’hypoténuse est \(\sqrt{2023}\)?
Solution du 4e défi de juillet 2023
Réponse : on obtient huit paires d’entiers possibles.
Notons \(r,s\) et \(t\) (avec \(r\le s \le t\)) les trois solutions de cette équation. On a alors la factorisation~:
\[x^3-10x^2+ax-b=(x-r)(x-s)(x-t).\]
En développant cette expression, on obtient~:
\[(x-r)(x-s)(x-t) = x^3-(r+s+t)x^2+(st+tr+rs)x-rst,\]
et en identifiant les coefficients devant \(x^2\), on a~: \(r+s+t = 10\).
Comme ces trois valeurs sont des entiers strictement positifs, le triplet \((r,s,t)\)doit prendre une des valeurs suivantes~: \((1,1,8)\), \((1,2,7)\), \((1,3,6)\), \((1,4,5)\), \((2,2,6)\), \((2,3,5)\), \((2,4,4)\) ou \((3,3,4)\).
Si l’on identifie cette fois-ci les coefficients constants ou devant \(x\), on obtient les égalités
\(a=st+tr+rs\) et \(b=rst\).
Les paires \((a,b)\) qui conviennent sont donc
\((17,8)\), \((23,14)\), \((27,18)\), \((29,20)\), \((28,24)\), \((31,30)\), \((32,32)\) et \((33,36)\).
Par conséquent, on obtient huit paires d’entiers possibles.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
10h02
On cherche \(a\) et \(b\) entiers tels que \(a^2 + b^2 = 2023\).
Comme tout carré est congru à \(0\) ou \(1\) modulo \(4\) (\(0^2 \equiv 2^2 \equiv 0 [4]\) et \(1^2 \equiv 3^2 \equiv 1 [4]\)), une somme de carrés est congrue à \(0\), \(1\) ou \(2\) modulo \(4\).
Il n’existe donc aucune décomposition en somme de carrés pour \(2023 = 4 \times 505 + 3\), et plus généralement il n’y en a pas pour tout nombre congru à \(3\) modulo \(4\).
10h37
Il faudrait donc trouver \(a\) et \(b\) entiers tels que \(a^2 + b^2 = 2023\).
Un petit code qui génère des entiers a entre 1 et \([ \sqrt{2023} ]\) ne trouve aucune paire.
Je reste curieuse d’une solution élégante sur la non-existance de \((a,b)\).
19h38
Nous cherchons 2 naturels a et b tels que a^2+b^2=2023.
a et b n’ont pas la même parité car 2023 est impair.
Supposons a pair et b impair d’où il existe deux naturels k et l tels que a=2k et b= 2l+1.
En remplaçant a et b par ces valeurs nous obtenons : 4k^2+4l^2+4l+1=2023
D’où 4 divise 2022 ce qui n’est pas possible.
Donc il n’existe pas de naturels a et b.