Défi de la semaine
Claire, Marie, Louis, Peter et Julien vont au cinéma et s’installent sur cinq fauteuils consécutifs. Peter n’a pas de femme à sa gauche ; Marie est assise entre deux hommes ; Julien est entre deux femmes ; Claire et Louis ont chacun un homme à leur gauche. Comment sont-ils installés ?
Solution du 1er défi d'août 2023
Réponse : aucun.
Supposons qu’au moins un tel triangle rectangle existe et notons \(x\) et \(y\) les longueurs des deux côtés de l’hypoténuse.
Le théorème de Pythagore assure que l’on a l’égalité \(x^2+ y^2 = 2023\).
Les deux nombres \(x\) et \(y\) ne peuvent donc être simultanément pairs ou simultanément impairs (sinon, leurs carrés garderaient leur parité et dans tous les cas, la somme deviendrait paire, ce que n’est pas 2023).
Posons, sans perte de généralité, \(x=2n\) et \(y=2m+1\) (avec \(n\) et \(m\) entiers). On a alors
\[
\begin{eqnarray*}
4n^2+(2m+1)^2 &=& 2023\\
4n^2 + 4m^2 + 4m +1 &=& 2023\\
4n^2+4m^2+4m &=& 2022\\
n^2+m^2+m&=& 505{,}5.
\end{eqnarray*}
\]
La dernière égalité est impossible car \(n\) et \(m\) sont entiers~!
Il n’existe donc aucun triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l’angle droit sont entières et dont l’hypoténuse mesure \(\sqrt{2023}\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
7h44
Bonjour
Julien étant entre deux femmes, il n’est pas à gauche.
Marie étant entre deux hommes , elle n’est pas à gauche.
Claire et Louis ayant un homme à leur gauche, ils ne sont pas à gauche, donc
seul Peter peut être à gauche.
Louis ayant à sa gauche un homme, cet homme est Peter car Julien est entre deux femmes , donc Peter est à gauche et Louis à sa droite.
Marie étant entre deux hommes ne peut être qu’entre Louis et Julien.
De la gauche vers la droite, l’ordre est
Peter, Louis, Marie, Julien, Claire.
9h17
Pareil après un tâtonnement 🙂
