Défi de la semaine
Combien de litres de lait à \(4\,\%\) de matière grasse doit-on ajouter à du lait à \(1\,\%\) de matière grasse pour obtenir \(12\) litres de lait à \(2\,\%\) de matière grasse ?
Solution du 3e défi d'août 2023
Réponse : \(3276\pi\)
Notons \(x\) le rayon du petit cercle et \(y\) le rayon du grand cercle.
Considérons le triangle rectangle représenté ci-dessous dont un des sommets est le centre du petit cercle.
Ses côtés de l’angle droit ont donc pour longueurs \(y-x\) et \(y-20\) et son hypoténuse a pour longueur \(x\).
En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient~:
\[
\begin{eqnarray*}
(y-x)^2+(y-20)^2 &=& x^2\\
y^2-2xy+x^2+y^2-40y+400 &=& x^2\\
y^2-xy-20y+200 &=& 0.
\end{eqnarray*}
\]
D’un autre côté, on a l’égalité \(2y = 36+2x\), donc \(x=y-18\).
En substituant dans la relation précédente, on obtient successivement~:
\[
\begin{eqnarray*}
y^2-(y-18)y-20y+200 &=& 0\\
y^2-y^2+18y-20y+200 &=&0\\
-2y + 200 &=&0\\
y &=& 100.
\end{eqnarray*}
\]
Il en découle que \(x=82\).
Par suite, l’aire du petit disque est \(82^2\pi\) et l’aire du grand disque est \(100^2\pi\).
Finalement, l’aire de la région colorée est \((100^2-82^2)\pi=3276\pi\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
7h53
La quantité de matière grasse est :
\(\dfrac{4x}{100}\) dans \(x\) litres de lait à \(4\)%
\(\dfrac{12-x}{100}\) dans \(12-x\) litres de lait à \(1\)%
\(\dfrac{2 \times 12}{100}\) dans \(12\) litres de lait à \(2\)%
Donc :
\(\dfrac{4x}{100} + \dfrac{12-x}{100} = \dfrac{2 \times 12}{100}\)
\(4x + 12 – x = 24\)
\(3x=12\)
\(x=4\)
14h24
Méthode arithmétique.
On part de 12l à 1%.
si on remplace 1l à 1% par 1l à 4% l’ensemble augmente de 3/12 = 0,25%
Puisqu’on veut passer de 1 à 2 il faudra répéter 4 fois l’opération.
22h11
0,04y+0,01(12-y)=0,02×12
> y=4