Défi de la semaine
Simon et Noémie démarrent sur une piste circulaire en des points diamétralement opposés. Ils se mettent à courir à vitesse constante dans des sens opposées. Ils se rencontrent une première fois alors que Simon a couru \(100\,\textrm{m}\), puis une seconde fois alors que Noémie a couru \(150\,\textrm{m}\) depuis la première fois qu’ils s’étaient rencontrés. Quelle est la longueur de la piste ?
Solution du 5e défi de mars 2023
Solution : La somme des entiers de \(1\) à \(17\) vaut \(153\). Si \(a\) et \(b\) sont deux entiers qui conviennent, on a doit avoir
\[1+2+\cdots +17 -a -b = ab.\]
Cette équation est équivalente à \[ab+a+b=153,\] ou encore à
\[(a+1)(b+1)=154.\]
On en déduit que les nombres \(a+1\) et \(b+1\), compris entre \(2\) et \(18\), sont des diviseurs de \(154\). Ces diviseurs sont \(2\), \(7\), \(11\) et \(14\), et la seule paire de diviseurs qui convient est donc \(\{11,14\}\).
On obtient alors, pour \(a\) et \(b\), les nombres \(10\) et \(13\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
9h06
Soient \(s(t)\) et \(n(t)\) les distances parcourues respectivement par Simon et Noémie en un temps \(t\), et \(x\) la longueur de la piste.
Pendant la durée \(t_1\) entre le départ et la première rencontre, Simon parcourt \(s(t_1)=100\) m et Noémie parcourt \(n(t_1) = x/2 – 100\) m.
Pendant la durée \(t_2\) entre les deux premières rencontres, Simon parcourt \(s(t_2)=x-150\) m et Noémie parcourt \(n(t_2) = 150\) m.
Comme les vitesses \(\frac{s(t)}{t}\) et \(\frac{n(t)}{t}\) sont constantes, le rapport \(\frac{s(t)}{n(t)}\) est lui aussi constant donc :
\(\frac{x-150}{150}=\frac{100}{x/2-100}=\frac{200}{x-200}\)
\((x-150)(x-200)=200 \times 150\)
\(x^2-350x =0\)
\(x=350\)
3h42
Puisque Simon et Noémie courent à vitesse constante, la distance qu’ils parcourent (ajoutée ou séparément) est proportionnelle au temps. Ils mettent donc, à deux, deux fois plus de temps pour parcourir la longueur de la piste après leur première rencontre que pour en parcourir la moitié avant. Avec deux fois plus de temps, Simon a ainsi parcouru \(2\times100=200\) m en deuxième période. La longueur de la piste est donc \(200+150=350\) m
11h00
Très élégant !
15h28
Lorsqu’il se croisent la première fois, les deux enfants ont parcouru un demi-tour à eux deux. La seconde fois : trois demi-tours.
Tout calcul fait :
* 100 m et 75 m
* puis 300 m et 225 m.
On fait la somme totale : on obtient 2 tours et 700 m.
Puis pour un tour : 350 mètres.