Défi de la semaine
Cinq pirates se partagent le contenu d’un coffre au trésor. Abel prend un huitième du total. Ensuite, Betti prend un sixième de ce qui reste, puis Clélia un septième du reste, puis Daniel un cinquième du reste, puis Éloïse un quart du reste et ils conviennent d’enterrer l’argent restant. Quels sont les pirates qui ont reçu la même somme d’argent ?
Solution du 1er défi d'avril 2023
Réponse : la longueur de la piste est 350 mètres.
Notons \(L\) la longueur de la piste. Lorsqu’ils se rencontrent pour la première fois, ils ont parcouru, à eux deux, la moitié de la longueur de la piste.
Donc, comme Simon a couru \(100\,\textrm{m}\), Noémie a couru \(\frac{L}{2}-100\) mètres.
Entre la première et la seconde fois qu’ils se rencontrent, ils courent à eux deux \(L\) mètres.
Mais comme ils courent à vitesse constante, Noémie a donc nécessairement couru le double de la distance qu’elle avait courue avant la première fois qu’ils se sont croisés.
Ainsi, on a \(2(\frac{L}{2}-100)=150\) et donc \(L=350\,\textrm{m}\)
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
11h11
Abel : 12.5%
Betti : 14.6%
Clélia : 10.4%
Daniel : 12.5%
Éloïse : 12.5%
Reste : 37.5%.
Donc : Abel, Daniel et Éloïse.
13h16
Bonjour,
comment avez-vous fait ?
Cordialement,
16h02
Bonjour,
Cela ressemble à ce que propose Poss Jean-Louis ci-dessous, mais sous forme de tableau, peu pratique à transcrire.
Cordialement.
18h55
Vous pouvez joindre des images : une copie d’écran ?
Les réponses sans les démarches, ici, ça ne m’intéresse pas (dans des QCM d’examens ou de concours, ok, pourquoi pas, mais ici, non).
10h15
Pourquoi pas. Mais il faut que je le refasse. A plus tard.
11h44
Soit s le contenu du coffre.
— Abel reçoit a = s/8.
— Betti reçoit b=1/6(s−a)=7s/48.
— Clélia reçoit c=1/7(s−a−b)=5s/48.
— Daniel reçoit d=1/5(s−a−b−c)=s/8.
— Éloïse reçoit e=1/4(s−a−b−c−d)=s/8.
Abel, Daniel et Éloïse reçoivent la même somme d’argent.
Remarque : les pirates se sont partagé a + b + c + d + e = 5s /8.
11h53
Comme la somme totale doit être divisée successivement par 8, 6, 7, 5 et 4, on va créer un nombre arbitraire à l’aide de ces facteurs, calculer la part de chacun, la soustraire du total, et voir à la fin celles qui sont identiques.
Soit : 8 * 6 * 7 * 5 * 4 = 6’720
Part d’Abel : 6’720 / 8 = 840, reste : 6’720 – 840 = 5’880,
Part de Betti : 5’880 / 6 = 980, reste : 5’880 – 980 = 4’900,
Part de Clélia : 4’900 / 7 = 700, reste : 4’900 – 700 = 4’200,
Part de Daniel : 4’200 / 5 = 840, reste : 4’200 – 840 = 3’360,
Part d’Éloïse : 3’360 / 4 = 840, reste : 3’360 – 840 = 2’520.
Il ressort que les parts d’Abel, Daniel et Éloïse sont identiques.
9h32
Si dans un reste \(r\) un pirate prend une part \(P = \frac{r}{k}\), alors \(r=kP\) et il laisse après lui un nouveau reste \(r-P = (k-1)P\).
Ainsi :
\(B = \frac{8-1}{6}A=\frac{7}{6}A\)
\(C = \frac{6-1}{7}B=\frac{5}{7}\frac{7}{6}A=\frac{5}{6}A\)
\(D = \frac{7-1}{5}C=\frac{6}{5}\frac{5}{6}A=A\)
\(E = \frac{5-1}{4}D=D=A\)
10h33
Voici une capture d’écran, sur le calcul purement numérique ;Après je vous laisse compléter la partie algébrique.
16h26
Au moins dix caractères
18h38
Oui, c’est bien là l’idée.
18h45
Si un·e pirate prend 1/n du trésor, alors le reste du trésor est (n-1)/n. Si un·e deuxième pirate prend 1/m de ce qu’il reste, alors le reste est (n-1)(m-1)/nm. Le même que si l’on avait d’abord pris 1/m et ensuite 1/n ! Chacune des parts dépend de l’ordre dans lequel elles sont prises, mais le reste du trésor n’en dépend pas.
Deuxième observation, si un·e pirate prend 1/n du trésor, puis un·e deuxième en prend 1/(n-1), les deux pirates reçoivent la même somme.
Donc, si Cléia et Betti avaient échangé leur place, tout le monde aurait reçu la même somme ! En passant avant Cléia, Betti obtient une somme plus grande, Cléia une plus petite, mais les autres pirates ne sont pas impacté·e·s, et donc leurs parts sont identiques.