Défi de la semaine
Combien y a-t-il de chemins entre les points \(A \) et \(B\) si l’on se déplace de case en case, seulement de gauche à droite, de haut en bas et sans traverser les murs surlignés ?
Solution du 2e défi d'avril 2023
La réponse est : Abel, Daniel et Éloïse ont la même somme d’argent.
Soit \(S\) la somme d’argent dans le coffre.
Abel prend \(\frac{S}{8}\) et il reste donc \(\frac{7S}{8}\). On obtient successivement les actions suivantes~:
– ~Betti prend \(\frac{1}{6}\times\frac{7S}{8}\) et il reste \(\frac{5}{6}\times\frac{7S}{8}.\)
-~Puis Clélia prend \(\frac{1}{7}\times\frac{5}{6}\times\frac{7S}{8}=\frac{5S}{48}\)et il reste \(\frac{6}{7}\times\frac{5}{6}\times\frac{7S}{8} = \frac{5S}{8}.\)
-~Ensuite, Daniel prend \(\frac{1}{5}\times\frac{5S}{8} = \frac{S}{8} \)et il reste \(\frac{4}{5}\times\frac{5S}{8}=\frac{S}{2}.\)
-~Enfin, Éloïse prend \(\frac{1}{4}\times\frac{S}{2}=\frac{S}{8}.\)
Abel, Daniel et Éloïse ont donc la même somme d’argent.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
10h38
Si on écrit dans chaque case \(X\) le nombre de chemins qui mènent à la case \(B\), alors \(X\) doit contenir la somme de la case située à droite de \(X\) si le côté droit de \(X\) n’est pas un mur \(+\) la case située en bas de \(X\) si le côté bas de \(X\) n’est pas un mur.
En partant de la case \(B\) où l’on écrit \(1\), on peut alors remplir le tableau diagonale par diagonale, à la manière du triangle de Pascal, et on obtient :
\[\begin{array} (12 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 1 &1 & 1 \\ 7 & 6 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 &1 & 1 \end{array}\]
Il y a \(12\) chemins de \(A\) à \(B\).
12h13
Les chemins que vous calculez sont les plus courts (et implicitement qui passent au maximum une seule fois par une case). Le résultat est juste pour ce type de chemin.
Il y en a beaucoup plus si les chemins ne sont pas le plus courts. Encore plus si on laisse repasser par une même case sans passer par la même séparation et encore davantage si on laisse prendre la même séparation.
12h25
En effet mais l’énoncé précise qu’on ne peut aller que de gauche à droite et de bas en haut donc il est impossible de repasser par la même case.