Défi de la semaine
La suite \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(7\), \(10\), \(11\), \(\ldots\) contient tous les nombres entiers positifs qui ne sont ni des carrés parfaits ni des cubes parfaits. Déterminer le \(500^{\text{e}}\) entier de cette suite.
Solution du 3e défi d'avril 2023
Réponse : il y a 12 façons d’aboutir au point B en ne traversant aucun mur.
Écrivons dans chaque carré le nombre de façons de le relier à \(A\).
Tous les carrés de la première ligne contiennent un \(1\), puisqu’il n’y a qu’une seule façon d’y accéder depuis \(A\)~: en se déplaçant vers la droite.
De même, le premier carré de la seconde ligne contient un \(1\), mais le second carré de la seconde ligne contient un \(2\), car il y a deux façons d’y accéder depuis \(A\) : en arrivant soit par le haut, soit par la gauche.
Les carrés suivants de la deuxième ligne contiennent un \(3\), un \(4\) et enfin un \(1\), puisque le dernier carré de la deuxième ligne n’est accessible que par le haut.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
7h50
525
Entre 2 et 500, il y a 6 cubes (7³=343) et 21 carrés (22²=484) , le 500° nombre de cette suite est donc 526 auquel il faut retirer 64 qui est compté 2 fois puisque à la fois cube (4³) et carré (8²)
8h26
Erratum :
il manque 8³=512 (<525) donc le 500° entier est 526
23h23
De \(2\) à \(501\), il y a \(500\) entiers.
\(\sqrt {501}\) vaut un peu plus de \(22\) donc il y a \(22\) carrés à retirer entre \(2\) et \(501\). Je peux donc aller désormais jusqu’à \(523 = 501 + 22\).
\(\sqrt {523}\) vaut toujours moins de \(23\) : je n’ai donc ajouté aucun carré nouveau en allant jusqu’à \(523\).
\(\sqrt[3]{523}\) vaut à peine plus de \(8\) donc il y a \(8\) cubes à retirer entre \(2\) et \(523\). Je peux donc aller jusqu’à \(531 = 523 + 8\).
\(9^3 = 729\) donc je n’ajouterai aucun cube avant d’arriver à \(729\).
Par contre, je viens d’ajouter \(23^2 = 529\) que je dois donc retirer puisque je suis arrivé à \(531\).
Donc \(532\) me semble être le \(500\)ème entier de cette suite.
23h25
Ah oui zut \(64\) !
Donc plutôt \(531\) ?
23h32
Ah mince, pas le carré et le cube de \(1\).
Donc alors seulement \(21\) carrés et \(7\) cubes à retirer donc \(501 + 21 + 7 = 529\). Or \(529\) est un carré à retirer donc mon dernier mot sera plutôt \(530\)…
Ouille ouille ouille..
12h03
Si l’on cherche la borne supérieure du 500e entier de la suite n’étant ni un carré, ni un cubique ni les 2 à la fois, dans ce cas c’est une puissance de 6. Il faut regarder combien il y a de carrés, de cubes et de puissances 6e.
Pour un intervalle d’entier allant de 1 à N, on a N^1/2 de carrés, N^1/3 de cubes et N^1/6 de puissances 6e environ. Cela donne l’équation suivante : f(N) = N – [N^(1/2)] – [N^(1/3)] + [N^(1/6)] = 500 où les [..] est la partie entière.
Note : on ajoute N^(1/6) pour éviter de soustraire 2 fois les nombres à la fois carrés et cubiques.
13h11
Très joli !!!
18h02
Comme une informaticienne, j’ai fait le code de génération de la suite et le 500ème de la suite est 528.
J’ai implémenté aussi la fonction f de pogarreau : f(528) = 500 et f(527) = 499.